03二月20231薄板穩定性03二月20232§7.1穩定基本概念

本章主要研究薄板穩定問題的有關理論和計算方法。03二月20233

在剛體力學中，一個處于平衡狀態的剛體，可以有三種性質不同的平衡狀態：穩定平衡不穩定平衡隨遇平衡03二月20234小球的平衡——平衡的穩定性的概念紅球:穩定平衡藍球：不穩定平衡03二月20235(a)剛球受到側向干擾力而稍離其平衡位置后，它仍能回復到原來的平衡位置，這種平衡是穩定的。

(b)剛球如果有一微小側向干擾力使其偏離平衡位置，則剛球將繼續沿著凸面滾動，不能恢復到原來的平衡位置，這種平衡是不穩定的。03二月20236(c)剛球偏離原來的平衡位置，則它既不回到原來的位置，又不繼續離開，而是能在任何一個新的位置處于平衡，這種平衡叫隨遇平衡或中立平衡。03二月20237構件在外力作用下，保持其原有平衡狀態(configuration)的能力。穩定性：①桿、柱、梁、軸、環、拱；②薄板、薄殼；③開口截面薄壁梁.存在穩定問題的構件：03二月20238顯然，上述剛球的平衡穩定性是決定于它所處位置的幾何形狀。彈性系統也有三種平衡狀態。現以受軸向壓力作用的直桿為例，如圖所示PABl03二月20239PABl壓桿的臨界力：傾覆力偶：恢復力偶：平衡狀態：M=m①穩

定

平

衡——②不穩定平衡——③臨

界

狀

態——xyPABPPABPQPByQPM彈性桿的平衡03二月202310(1)軸向壓力P小于某一臨界值Pcr時，桿軸是挺直的，倘若有一微小的橫向干擾力使桿軸產生微小的彎曲，而當橫向力除去后，桿軸仍能恢復到直線形狀。在這種情況下，桿在直線形式的平衡是穩定的。03二月202311(2)軸向壓力P大于臨界值Pcr時，只要有任一微小的橫向力使桿產生微小彎曲，那么，即使在橫向力消除后，桿軸仍將繼續彎曲而平衡于某一彎曲位置。在這種情況下，桿軸原來直線形式的平衡是不穩定的。03二月202312(3)軸向壓力P等于臨界值Pcr時，桿軸由于微小橫向力引起微小彎曲，不管橫向力是否消除，桿軸仍能保持任一微小彎曲狀態，這種平衡稱為隨遇平衡。03二月202313

由上述可知，當軸向壓力P超過某一臨界值時，桿件將由原來的穩定平衡狀態突然轉變為不穩定平衡狀態。而這載荷的臨界值就稱為臨界載荷。在飛機結構中，由于要滿足最小重量的要求，采用了大量的薄壁元件(薄壁桿、板、殼等)。當它們受到壓力或剪力時，也有一個穩定問題。03二月202314

求臨界載荷的方法很多，其中主要的是靜力法和能量法。(1)靜力法是根據結構處于臨界狀態時的靜力特征而提出的方法。(2)能量法是根據臨界狀態時結構的能量特征而提出的方法。03二月202315研究薄板穩定問題的目的

就是要找出薄板失穩的臨界載荷，分析薄板失穩的有關因素，以指導薄板設計和強度計算。03二月202316

本章主要討論靜力法。而且在研究的問題中，均假設系統的失穩是在小變形的彈性范圍內發生，屬于線性穩定問題。03二月202317§7.2薄板壓曲的基本微分方程

在前面討論中，假定薄板只受橫向載荷，而且假定薄板的撓度很小，可以不計中面內各點平行于中面的位移。這時，薄板的彈性曲面是中性面，不發生正應變和剪應變。這是薄板在橫向載荷作用下的小撓度彎曲問題。

當薄板在邊界上受有縱向載荷時，由于板很薄，可以假定只發生平行于中面的應力，而這些應力不沿薄板厚度而變化。03二月202318這是薄板在縱向載荷作用下的平面應力問題。這時，薄板每單位寬度上的平面應力將合成如下的所謂中面內力其中t是薄板厚度，Nx和Ny是單位寬度上的拉壓力，Nxy和Nyx是單位寬度上的縱向剪力。03二月202319

當薄板同時受到橫向載荷及上述縱向載荷時，如果縱向載荷很小，因而中面內力也很小，它對于薄板彎曲的影響可以忽略不計。那么，就可以分別計算兩種載荷引起的應力，然后疊加。但是，如果中面內力并非很小，那就必須考慮中面內力對彎曲的影響。下面來導出薄板在這種情況下的彈性曲面微分方程。03二月202320

試考慮薄板任一微分體的平衡，如圖所示。將橫向載荷及薄板橫截面上的內力用力矢和矩矢表示在中面上。首先，以通過微分體中心而平行于z軸的直線為矩軸，寫出力矩的平衡方程，得出

Nxy＝Nyx03二月20232103二月20232203二月202323簡化為03二月202324

當薄板受有已知橫向載荷q，并在邊界上受有已知縱向載荷時（1）首先按照平面應力問題由已知縱向載荷求出平面應力σx，σy，τxy由求解過程：03二月202325求出中面內力Nx，Ny和Nxy

（2）根據已知橫向載荷q和薄板彎曲問題的邊界條件，由微分方程式求解撓度w（3）求出薄板的彎曲內力，即彎矩、扭矩和橫向剪力。03二月202326這種問題的求解是比較繁難的。本節導出的微分方程，主要的目的是將它應用于求解薄板的穩定問題。03二月202327說明薄板在邊界上作用有縱向載荷時，板內將產生一定的中面內力。（1）當縱向載荷很小時，那么，不論中面內力是拉力還是壓力，薄板的平面平衡狀態都是穩定的。03二月202328（2）如果縱向載荷所引起的中面內力在某處是壓力，則當這一縱向載荷達到臨界載荷時，薄板的平面平衡狀態將是不穩定的。此時，薄板一受到干擾力，就會發生彎曲，而且，即使這干擾力被除去，薄板也不再恢復到原來的平面平衡狀態，而將處于某一彎曲平衡狀態，薄板在縱向載荷作用下而處于彎曲平衡狀態，這種現象稱為失穩或壓曲。03二月202329注意在分析薄板的壓曲問題或求臨界載荷時，我們總是假定縱向載荷的分布規律是指定的，而它的大小是未知的。然后我們來考察為使薄板可能發生壓曲，上述縱向載荷的最小數值是多大，而這個最小值就是臨界載荷的數值。03二月202330利用前面導出的微分方程，令q=0，得出如下的薄板壓曲微分方程這是撓度w的齊次微分方程03二月202331

其中系數Nx，Ny和Nxy是用已知分布而未知大小的縱向載荷表示的。而所謂“薄板可能發生壓曲”，是以這一微分方程具有“滿足邊界條件的非零解”表示的。03二月202332求臨界載荷的問題：為使壓曲微分方程具有滿足邊界條件的非零解，縱向載荷的最小值是多大。03二月202333§7.3四邊簡支軸壓穩定性

03二月202334無橫向載荷q，微分方程為只有x向載荷時，上式為03二月202335式中m、n分布為薄板壓曲以后沿x軸和y軸方向的正弦半波數03二月202336

Nx具有最小值時就是臨界載荷如,n=1,則Nxmin，表示壓曲后沿y向只有一個正弦半波03二月202337三階屈曲模態二階屈曲模態一階屈曲模態03二月202338

令m=1,2,…，算出a/b取不同值時的kσ

，得到如圖所示一條曲線03二月202339縱向均勻受壓簡支矩形板的穩定系數k03二月202340每根曲線起決定作用的部分用實線表示，這部分所給的kσ值小于其它曲線所給出的kσ值

鄰近兩條曲線間的交點極易求出，m=1和m=203二月202341最小臨界載荷總是相應于m=103二月202342工程中03二月202343臨界載荷（m=1時）03二月202344有了臨界載荷，可以求臨界應力其中t為板厚度，b為受壓邊寬度03二月202345臨界應力（對于金屬，ν=0.3）03二月202346

上面討論的是四邊簡支、單向受壓矩形板的臨界載荷，對于其它情況，形式與上式一樣，只是系數k值不同說明：系數k值決定于下列條件：（1）載荷形式，例如受壓或受剪；（2）四邊支持情況；（3）板的邊長比。03二月20234703二月202348SS表示簡支邊C表示夾持邊F表示自由邊03二月202349系數ε表示不同彈性程度ε＝0時，夾持邊蛻化為簡支邊ε＝∝時，夾持邊與固支邊相當03二月202350Nxy單獨作用下

ks是剪切應力系數，與邊界條件、長寬比a/b以及失穩皺損時長邊半波數有關。見下圖03二月20235103二月202352§7.4薄壁桿的局部失穩和總體失穩

飛機結構中的桁條、梁緣條廣泛采用薄壁桿件。其截面形狀有各種不同的形式：擠壓型材，如圖(a)所示板彎制成的型材，如圖(b)所示。03二月202353

擠壓型材各壁板的連接處比板彎型材剛硬，因此，在同樣條件下，擠壓型材的臨界應力比板彎型材高。

03二月202354薄板桿總體失穩

若薄板桿較長，受軸壓作用可能發生整個軸線彎曲失穩，通常稱總體失穩總體失穩只能發生在與板中線平行的軸上03二月202355其臨界應力可用壓桿的歐拉公式確定：其中：E彈性系數，L為桿長，i為桿截面的慣性半徑，C為支持系數，兩端鉸支時C=1，兩端固支時C=403二月20235603二月202357薄板桿局部失穩

若桿較短，受軸壓作用可能其壁失去穩定而壓曲，而桿軸仍為直線，通常稱局部失穩03二月202358薄壁桿局部失穩與薄板失穩類似，其局部失穩臨界應力可用薄板相應公式確定。薄壁桿局部失穩應力一般指截面的平均應力。對于由n個薄板組成的板彎型材薄壁桿，其臨界應力為03二月202359fi為第i個壁板的截面面積為第i個壁板的失穩臨界應力03二月202360§7.5加勁板受壓失穩后的工作情況——有效寬度概念飛機結構中所采用的薄壁結構，一般都是由縱向和橫向骨架加強的加勁板。如圖表示的是加勁板件的典型結構。03二月202361加筋板

在薄板上固定一系列筋條(或長桁)。筋條的軸線方向與壓載荷的方向一致，把有筋條加固的薄板叫做加筋板。目的提高薄板受壓時的承載能力。03二月202362屈曲從薄板中央開始

當壓載荷達到臨界值時，發生屈曲，首先發生屈曲的是板的中央部分，隨著載荷增加，屈曲區域隨之增大03二月202363

03二月202364對于縱向受壓的平板，如果兩側邊是自由邊界，當板失去穩定后，該板就不能承受繼續增加的外載荷，認為該板已達到破壞。但是，如果板四邊支持在骨架上，板被桁條加強，而桁條的臨界應力遠高于板的臨界應力。所以，當板件受壓的平均應力小于板的臨界應力時，板件的應力是均勻分布的。03二月202365

壓應力隨外載荷的增加而增大，直到平均應力等于板的臨界應力，板開始出現壓曲現象。因為板支持在桁條上，所以靠近桁條附近的板并不失穩，而可以承受增加的外載荷，這時板中間部分的應力不再增加，增加的外載荷由靠近桁條處的部分承受，橫截面上的壓應力呈不均勻分布，其分布規律如圖所示。03二月20236603二月202367在桁條支持處的應力最大，隨外載荷的增加而增加。直到桁條應力達到失穩臨界應力，才認為整個板件失去了承載能力。板所受的總載荷為式中t為板厚，b為板寬。03二月202368

實際應力的分布是較復雜的，它與桁條對板所提供的支持程度以及板的幾何參數有關。為計算方便，引入“有效寬度”概念。即假設板截面上的應力是均勻分布的，其大小等于σmax，03二月202369應力不是分布在整個寬度b上，而只分布在靠近桁條的一段寬度上，用2c(2c<b)表示，其余部分應力為零，如圖(b)所示。這個寬度2c被稱為板的“有效寬度”。03二月20237003二月20237103二月202372也就是說，假想失去穩定后的板仍象未失穩的平板那樣承受載荷，其應力為σmax

但不再用全部剖面面積F=bt，而是其中的一部分面積Fc=2ct承受應力，這部分面積稱為減縮面積。03二月202373減縮面積與全部面積之比稱為板的減縮系數中，即03二月202374

有時也采用平均應力概念，用表示板的平均應力；減縮前后板的總載荷保持不變，故有顯然03二月202375

有效寬度2c可由下式確定。如果取板的寬度等于2c，其臨界應力就等于σmax

，由下式確定03二月202376所以

在計算機翼或機身的強度時，經常粗略地取蒙皮的有效寬度

2c=40t這是因為一般桁條的臨界應力取16000N／cm2

，硬鋁的E=7×106N／cm2；蒙皮看成四邊簡支，k=4，代入上式可求得。03二月202377板的臨界應力為σcr0

，可得因此由03二月202378如果桁條與板的材料相同，板與桁條的連接處應變相同，其應力也必然相同。此時板的σmax應等于桁條的應力，用σst表示，則03二月202379

當減縮系數φ已知時，可求得板的有效寬度2c=φb，即可求得板件能承受的總載荷式中f為桁條的面積，σst為桁條的應力，為所有桁條的面積與板的有效面積之和03二月202380例題1

試計算圖所示加勁板件的最大受壓載荷。已知板的幾何尺寸如圖所示,桁條為等邊角材30×30×2，板與桁條材料相同，材料彈性系數為E=7×106N／cm2

03二月20238103二月202382【解】板的臨界應力為桁條截面積03二月202383等邊角材，兩緣板均可看成三邊筒支一邊自由的受壓板，其k值由表得03二月202384桁條局部失穩臨界應力為蒙皮的減縮系數為03二月202385加勁板件可承受的最大載荷為03二月202386

上式是根據桁條局部失穩臨界應力求得的加勁板件最大承載力。下面，再根據桁條若發生總體失穩時計算板件的最大承載力。03二月202387借用已算出的板的減縮系數φ=0.763計算板件橫截面的有效面積、形心位置以及截面對平行于板中心線的形心軸的慣性矩03二月202388C為支持系數，兩端鉸支時C=1，兩端固支時C=4L為桿長，i為桿截面的慣性半徑壓力桿的臨界應力公式為03二月202389式中：F為桁條截面積與板的有效面積之和；Jxx為組合面積