定量分析中的估計與假設檢驗摘要：本文闡述了定量分析的估計類型、置信區間與置信度，以及假設檢驗，研究了區間估計與假設檢驗的內在聯系及其區別，探討了這兩種方法的范圍及應注意的問題。關鍵字：點估計；區間估計；假設檢驗0引言數理統計是具有廣泛應用的數學分支，而區間估計與假設檢驗問題在其中占有很重要的地位。區間估計與假設檢驗作為兩種重要的統計推斷方法在農林科學、經濟管理、醫療衛生、金融保險、證券投資、科學研究、工程技術、質量控制及國防研究、災害防治等各方面應用日益廣泛，其對決策的科學性的作用也為越來越多的人所認識。這兩種方法都是通過對具體事物的隨機抽樣所得樣本數據,用數理統計學的方法進行統計分析并作出判斷的，掌握它們之間的關系、各自的適用范圍和應用條件以及應注意的問題對作出正確的統計推斷至關重要。在日常生活或工作中人們也不斷地做各種各樣的估計，例如一個違規亂穿馬路的人，要估計垂直車道上的汽車離開路口的距離、速度，判斷當時穿過馬路有沒有被車撞的可能，然后決定是立即過馬路，還是等一等；如果立即過去，能不能慢慢走，還是要快快跑？管理工作中，需要事前做估計的事情也非常多，例如銀行在貸款給某個企業的時候，對其還貸能力做出估計，然后決定是否給予貸款，貸給多少，還款期限，等等。人們總是在分析“過去資料”對現實或未來影響的基礎上做出估計。簡單的估計可以靠生活常識或經驗，復雜的、受多因素影響的估計，特別是對那些信息不完全狀況下的估計要依賴“統計推斷”。1、估計類型有兩種類型的估計，分別是點估計和區間估計。所謂點估計是估計某一個總體參數的具體值，例如：預計明年春運高峰火車旅客將達到1.85億人次；今年八月份手機銷量會增長10%,等等。點估計看似很方便、很明確，但是，由于點估計要求精確，所以估計的結果只有兩種可能性：或者正確或者錯誤，大多數情況下，要點估計絕對正確幾乎是不可能的，而如果使用區間估計，正確率就會大大提高。區間估計需要估計一個包含總體參數在內的區間，通常用區間的大小或者實際參數落在某個區間的概率兩種方式表達區間估計的結果。如此把上面的例子改為：明年春運高峰旅客數估計在1.6億人次到1.9億人次之間。當旅客人次落在這個區間內，那么估計就是正確的；否則就是不正確的。顯然，區間估計的正確率比點估計要高。任何一個統計量不可能都是“好的”。評價用作估計量的統計量好壞的標準有四條。（1）無偏性。即一個估計量在所估計的總體參數以上或以下的可能性（出現的頻率或取值范圍）相同。（2）有效性。無偏估計不是惟一的，許多個無偏估計中哪一個更好？應該選用平均誤差或標準誤差較小的那個。（3）一致性。如果隨著容量增加，統計量的值越來越接近總體參數值，那么這樣的統計量就是與總體參數一致的估計量。樣本容量越大，估計量的一致性越可靠。（4）充分性。如果一個估計量能夠為總體帶來大量的有用信息，而沒有其他的估計量能帶來比它更多的有用信息，就稱這個估計量是充分的。2、置信區間與置信度置信度是由置信區間給出的。如果由樣本X1，K，X0所確定的兩個統計量e.（x）=e.（x1，K，x0），i=i,2滿足P{e1（x）<e<e2（x）}=1-a，則隨機區間@（x））,e2（x））就是e的置信度為（i-a）的置信區間。置信區間@0））,e2（x））是一個隨機區間，對每次抽樣來說，它可能是不同的，有時包含參數e，有時不包含參數e。但對置信度為90%的置信區間而言，在ioo次抽樣得到的ioo個隨機區間中大約有90個包含參數e。由此可見，置信度是區間估計的可靠性度量。即置信度（1-a）表示該區間估計包含參數真值的可靠程度。可見，置信區間與置信度有密切相關。置信區間的長短，反映估計精度的高低。在實際問題中，通常是給定置信度，求盡可能短的置信區間。也可通過增加樣本容量來提高區間估計的精度，使區間長度控制在某一范圍之內。3、假設檢驗

假設檢驗又稱統計檢驗，是統計假設檢驗的簡稱。檢驗的基本方法是：先假設總體具有某些統計特性，再根據樣本的統計特性，驗證總體是否具有這些特征。最常用“假設檢驗”驗證一個均值的樣本是不是抽樣于均值為U的總體；也可以對兩個均值不同的樣本，判斷是否來源于同一個總體。假設檢驗方法需要利用樣本提供的信息構造適當的檢驗統計量，用來分析總體和樣本之間或樣本與樣本之間的相關統計量（統計值）是否存在顯著差異（這也是假設檢驗又稱為顯著性檢驗的原因），依此判斷是不是有足夠的理由相信原假設是可信的？檢驗的基本原理是：經過抽樣分析，如果小概率事件發生，原假設檢驗的假設的正確性將受到懷疑。顯著水平。是一個很小的值（譬如0.05），是檢驗者判斷小概率事件是否發生的標準。假設檢驗分為三種情況：雙側檢驗Hi聲=雙側檢驗Hi聲=4.Hi*產尹單側檢驗Hu: 4（或產=Q?Hm尸V奴假設檢驗的步驟可以歸納如下：第一步，做出原假設H。的備擇假設H1，確定顯著水平。；王一〃第二步，建立統計量Z=第三步，根據是雙側檢驗還是單側檢驗，決定取Z還是取Z/2；在單側檢驗時注意Z應用于左側還是右側；第四步，計算置信區間的上下限；第五步，根據顯著水平，將計算得到的統計量與相應的臨界值比較，做出接受還是拒絕H0的判斷。4、 兩類錯誤事實上，由于采用拒絕“小概率事件”的“概率反證法”確定對“原假設”接受還是拒絕，所以無論對原假設做出接受或拒絕的判斷時，都不能保證百分之百正確。可能犯的錯誤有兩類：第一類，“以真當假”的錯誤一一拒絕了原本為真的原假設。因為在原假設為真的前提下，大量重復抽樣，出現個別的統計量落入拒絕區是可能發生的“小概率事件”。但是卻根據小概率原理將原假設拒絕。當然出現小概率事件時，不可能知道這個拒絕是錯誤的，所以，拒絕原假設要冒一定的風險。第二類，“以假當真”的錯誤一一接受了原本應該拒絕的原假設。通常用P表示以假當真的概率。犯第一類錯誤的可能性與顯著水平。有關。減少a，響應的拒絕域也隨之減小，就可以少犯“以真當假”的錯誤；但是在減小a時，p就會增大，犯“以假當真”的第二類錯誤的概率就增加了。反之亦然：在減小6時a就會變大。所以在樣本容量固定時，要同時減小犯第一和第二類錯誤是比較困難的。避免犯錯誤的方法通常選用經驗積累的結果作原假設，一旦原假設被拒絕，可以及時采取調換樣本再檢驗；也可以采用不同的顯著水平做檢驗，當結果不相同時，增加樣本容量再檢驗。常把增加樣本的容量作為避免犯錯誤的主要方法。5、 參數的區間估計與假設檢驗的內在聯系統計推斷的基本問題分為兩類:一類是參數估計問題，另一類是假設問題。參數區間估計與假設檢驗雖然提法不同，但解決問題的途徑是相通的，統計推斷的思想方法是一樣的，都是基于數理統計理論的推斷方法，都是基于樣本信息來推斷總體的性質，即用部分來推斷總體。它們都是選取一個統計量，然后使這個統計量落在某個已知區間上的概率而由此得到結果。利用區間估計可以建立假設檢驗，反之亦然。

例1設總體X~N(M,。2),。2已知，若求p的區間估計，應選擇統計U=— ~N(O,1)按置信度1-a確定一個大概率事件戶｛|合T-口由此得到p的置信度為1-a的置信區間為:這個區間估計恰好是原假設H0：p=p。的一個接受域，顯著水平為。。問題如果是假設檢驗H0：p=p0；H1：p尹p0選擇統計量對給定的顯性水平為。，得到一個小概率事件IX-UCf/a/m由實測值點是否成立，決定是否拒絕原假設。X拒絕域為拒絕域為IX-UCf/a/m由實測值點是否成立，決定是否拒絕原假設。X拒絕域為拒絕域為接受域為接受域為將U0改為p，那么結果正是p的區間估計，置信度為1-a。6、參數的區間估計與假設檢驗之間的區別參數的區間估計和假設檢驗從不同的角度回答同一問題，它們的統計處理是相通的。但是它們之間又有區別，體現以下三點：第一，參數估計解決的是多少（或范圍）問題，假設檢驗則判斷結論是否成立。前者解決的是定量問題，后者解決的是定性問題。第二，兩者的要求各不相同。區間估計確定在一定概率保證程度下給出未知參數的范圍。而假設檢驗確定在一定的置信水平下，未知參數能否接受己給定的值。第三，兩者對問題的了解程度各不相同。進行區間估計之前不了解未知參數的有關信息。而假設檢驗對未知參數的信息有所了解，但作出某種判斷無確切把握。因而在實際應用中，究竟選擇哪種方法進行統計推斷，需要根據實際問題的情況確定相應的處理方法。否則將會產生不同的結論，做出錯誤的統計推斷。綜上所述，在通常情況下參數的區間估計與假設檢驗這兩種統計推斷方法是相通的。參數的區間估計可通過利用假設檢驗的方法來解決，同樣參數的假設檢驗問題可通過利用區間估計的方法來解決。但是，這兩種統計推斷方法的適用情況也有所不同。在實際應用中假若我們對問題有很多的了解或掌握一些非樣本的信息，這時采用假設檢驗的方法比較合適。如果我們對問題除樣本信息外再沒有其它要考慮的信息，則采用區間估計的方法較為穩妥。參考文獻:張靄珠，陳力君.定量分析方法[M].上海:復旦大學出版社.2003.樊明智，王芬