1第六章條件異方差模型

EViews中的大多數統計工具都是用來建立隨機變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的——建立變量的條件方差或變量波動性模型。我們想要建模并預測其變動性通常有如下幾個原因:首先，我們可能要分析持有某項資產的風險；其次，預測置信區間可能是時變性的，所以可以通過建立殘差方差模型得到更精確的區間；第三，如果誤差的異方差是能適當控制的，我們就能得到更有效的估計。2

§6.1自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進行預測的。

ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle,R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev,T.,1986)發展成為GARCH(GeneralizedARCH)——廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應用于經濟學的各個領域。尤其在金融時間序列分析中。按照通常的想法，自相關的問題是時間序列數據所特有，而異方差性是橫截面數據的特點。但在時間序列數據中，會不會出現異方差呢？會是怎樣出現的？

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恩格爾和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏觀數據時，發現這樣一些現象：時間序列模型中的擾動方差穩定性比通常假設的要差。恩格爾的結論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預測誤差會大量出現，表明存在一種異方差，其中預測誤差的方差取決于后續擾動項的大小。

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從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預測的研究工作者，曾發現他們對這些變量的預測能力隨時期的不同而有相當大的變化。預測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預測誤差的方差中有某種相關性。為了刻畫這種相關性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是時刻

t的ut的方差(=t2

)依賴于時刻(t1)的擾動項平方的大小，即依賴于

?t2-1

。

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6.1.1ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(6.1.1)

如果ut的均值為零，對yt取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關系：

(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估計值，所以式（6.1.1）也稱為均值方程。6

在這個模型中，變量yt的條件方差為

（6.1.3）其中：var(ytYt-1)表示基于(t-1)時刻的信息集合Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}的yt的條件方差，

假設在時刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動項

ut的條件分布是：

~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0為均值，(0+1u2t-1)為方差的正態分布。7

由于(6.1.7)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：通常用極大似然估計得到參數0,1,2,,k,0,1的有效估計。

容易加以推廣，ARCH

(p)過程可以寫為：

(6.1.8)這時方差方程中的(p+1)個參數0,1,2,,p也要和回歸模型中的參數0,1,2,,k一樣，利用極大似然估計法進行估計。8

如果擾動項方差中沒有自相關，就會有

H0：這時

從而得到擾動項方差的同方差性情形。恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設：其中，?t表示從原始回歸模型（6.1.1）估計得到的OLS殘差。9

在ARCH(p)過程中，由于ut是隨機的，ut2不可能為負，所以對于{ut}的所有實現值，只有是正的，才是合理的。為使ut2協方差平穩，所以進一步要求相應的特征方程（6.1.9）的根全部位于單位圓外。如果i（i=1,2,…,p）都非負，式（6.1.9）等價于1+2+…+p1。106.1.2ARCH的檢驗

下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應的兩種方法：ARCHLM檢驗和殘差平方相關圖檢驗。

1.ARCHLM檢驗

Engle在1982年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH效應的拉格朗日乘數檢驗（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM檢驗。自回歸條件異方差性的這個特殊的設定，是由于人們發現在許多金融時間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關。ARCH本身不能使標準的OLS估計無效，但是，忽略ARCH影響可能導致有效性降低。11ARCHLM檢驗統計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗原假設：殘差中直到q階都沒有ARCH，運行如下回歸：

式中?t是殘差。這是一個對常數和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。這個檢驗回歸有兩個統計量：（1）F統計量是對所有殘差平方的滯后的聯合顯著性所作的一個省略變量檢驗；（2）TR2統計量是Engle’sLM檢驗統計量，它是觀測值個數T乘以回歸檢驗的R2

；12

普通回歸方程的ARCH檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方程才有此項檢驗。Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustomTestWizard…圖6.4普通方程的ARCH檢驗列表132.殘差平方相關圖

顯示直到所定義的滯后階數的殘差平方?t2的自相關系數和偏自相關系數，計算出相應滯后階數的Ljung-Box統計量。殘差平方相關圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關和偏自相關系數應為0，且Q統計量應不顯著。可適用于LS，TSLS，非線性LS方程。在圖6.4中選擇ResidualsTests/CorrelogramSquaredResiduals項，它是對方程進行殘差平方相關圖的檢驗。單擊該命令，會彈出一個輸入計算自相關和偏自相關系數的滯后階數設定的對話框，默認的設定為36，單擊OK按鈕，得到檢驗結果。

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例6.1滬市股票價格指數波動的ARCH檢驗

為了檢驗股票價格指數的波動是否具有條件異方差性，本例選擇了滬市股票的收盤價格指數的日數據作為樣本序列，這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的樣本序列{sp}是1996年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數，為了減少舍入誤差，在估計時，對{sp}進行自然對數處理，即將序列{ln(sp)}作為因變量進行估計。15

由于股票價格指數序列常常用一種特殊的單位根過程——隨機游動（RandomWalk）模型描述，所以本例進行估計的基本形式為：

(6.1.12)

首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結果如下：(6.1.13)

(2.35)(951)

R2=0.997

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可以看出，這個方程的統計量很顯著，而且，擬合的程度也很好。但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性，。17

圖6.1

股票價格指數方程回歸殘差

觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群”現象：波動在一些較長的時間內非常小，在其他一些較長的時間內非常大，這說明殘差序列存在高階ARCH效應。18

因此，對式(6.1.26)進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數p=3時的ARCHLM檢驗結果如下。此處的P值為0，拒絕原假設，說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應。

可以計算式（6.1.26）的殘差平方?t2的自相關（AC）和偏自相關（PAC）系數，結果說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應。19

例6.2中國CPI模型的ARCH檢驗本例建立CPI模型，因變量為中國的消費價格指數（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數據，利用X-12季節調整方法對cpit和m1rt進行了調整，結果如下：

t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)

R2=0.99對數似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12

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這個方程的統計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現象：波動在一些時期內較小，在其他一些時期內較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。21

從自相關系數和偏自相關系數可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。再進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數p=1時的ARCHLM檢驗結果：

因此計算殘差平方?t2的自相關（AC）和偏自相關（PAC）系數，結果如下：

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從自相關系數和偏自相關系數可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型（6.1.14），結果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對數似然值

=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項的系數是統計顯著的，并且對數似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數據。23

再對這個方程進行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數p=1時的統計結果：此時的相伴概率為0.69，接受原假設，認為該殘差序列不存在ARCH效應，說明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的殘差序列的條件異方差性。式（6.1.15）的殘差平方相關圖的檢驗結果為：

自相關系數和偏自相關系數近似為0。這個結果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應。

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6.1.3

GARCH模型

擾動項ut的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領域，采用日數據或周數據的應用更是如此）。因此必須估計很多參數，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(6.1.8)不過是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設定：一個是條件均值，另一個是條件方差。

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在標準化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：

(6.1.18)其中：xt是

(k+1)×1維外生變量向量，是(k+1)×1維系數向量。

(6.1.17)中給出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數。由于t2是以前面信息為基礎的一期向前預測方差，所以它被稱作條件方差，式（6.1.18）也被稱作條件方差方程。26

(6.1.18)中給出的條件方差方程是下面三項的函數：

1．常數項（均值）：

2．用均值方程(6.1.11)的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut2-1（ARCH項）。

3．上一期的預測方差：

t2-1

（GARCH項）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預測方差t2-1的說明。

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在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態分布的假定下，通過極大似然函數方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t

時期的對數似然函數為：(6.1.19)

其中(6.1.20)

這個說明通常可以在金融領域得到解釋，因為代理商或貿易商可以通過建立長期均值的加權平均（常數），上期的預期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關于變動性的信息（ARCH項）來預測本期的方差。如果上升或下降的資產收益出乎意料地大，那么貿易商將會增加對下期方差的預期。這個模型還包括了經常可以在財務收益數據中看到的變動組，在這些數據中，收益的巨大變化可能伴隨著更進一步的巨大變化。28

有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：

1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（6.1.18）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權平均：

（6.1.21）我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數上的，擾動項的加權條件方差。29

2．設vt=ut2t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到關于擾動項平方的模型：

（6.1.22）因此，擾動項平方服從一個異方差ARMA(1,1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。30

方差方程的回歸因子

方程(6.1.18)可以擴展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程：

（6.1.23）注意到從這個模型中得到的預測方差不能保證是正的。可以引入到這樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產生負的預測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：31

高階GARCH(p,q)模型

高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(q,p)。其方差表示為：（6.1.24）

這里，q是GARCH項的階數，p是ARCH項的階數，p>0并且,

(L)和(L)是滯后算子多項式。

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為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應的ARCH(∞)模型（6.1.25）的所有系數都必須是正數。只要(L)和(L)沒有相同的根并且(L)的根全部位于單位圓外，那么當且僅當0=0/(1-(L))，(L)=(L)/(1-(L))的所有系數都非負時，這個正數限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1,1)模型

（6.1.26）這些條件要求所有的3個參數都是非負數。336.1.4IGARCH模型如果限定GARCH模型的方差方程中的參數和等于1，并且去掉常數項：（6.1.27）其中（6.1.28）這就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的單整GARCH模型（IntergratedGARCHModel，IGARCH）。346.1.5約束及回推

1．約束在估計一個GARCH模型時，有兩種方式對GARCH模型的參數進行約束（restrictions）。一個選擇是IGARCH方法，它將模型的方差方程中的所有參數之和限定為1。另一個就是方差目標（variancetarget）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常數項設定為GARCH模型的參數和無條件方差的方程：（6.1.29）這里的是殘差的無條件方差。352．回推在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數平滑算子（6.1.30）其中：?t

是來自均值方程的殘差，是無條件方差