第二章邏輯代數基礎

2.1概述

2.2邏輯代數中的三種基本運算

2.3邏輯代數的基本公式和常用公式

2.4邏輯代數的基本定理

2.5邏輯函數及其表示方法

2.6邏輯函數的化簡方法2.7具有無關項的邏輯函數及其化簡*2.8（略）2.1概述邏輯代數是英國數學家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1847年首先進行系統論述的，也稱布爾代數；它是描述事物條件和結果之間邏輯關系的數學方法，是設計、分析數字電路的數學工具。邏輯：指事物間的因果關系邏輯代數中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0和1并不表示數值的大小，而是表示兩種不同的邏輯狀態。通常1表示條件的具備或結果的發生，而0表示條件的不具備或結果的不發生。這種只有兩種對立邏輯狀態的邏輯關系稱為二值邏輯。

邏輯運算：兩個表示不同邏輯狀態的二進制數碼之間按照某種因果關系進行推理運算。

基本概念邏輯：指事物間的因果關系邏輯運算的數學基礎：邏輯代數在二值邏輯中的變量取值：0/12.1概述三種電路的因果關系不同：2.2邏輯代數中的三種基本運算與（AND）或（OR）非（NOT）1表示開關閉合，燈亮；0表示開關斷開，燈不亮；一、基本邏輯運算1.與運算（邏輯乘）（AND）只有決定事件結果的全部條件同時具備時，結果才發生。ABY

ABY

000010100111與運算真值表與邏輯功能口訣：有“0”則“0”；全“1”則“1”。

與運算表達式

Y=A·B=AB

ABY

000010100111與運算真值表與運算表達式

Y=A·B=AB與門圖形符號&AYBYABAYB2.或運算（邏輯加）（OR）決定事件結果的諸條件中只要有任何一個條件滿足，結果就會發生。BYA

ABY

000011101111或運算真值表或邏輯功能口訣：有“1”則“1”；全“0”則“0”。

或運算表達式Y=A+B

ABY

000011101111或運算真值表或運算表達式Y=A+B或門圖形符號≥1

ABYYAB+

ABY3.非運算（邏輯反）（NOT）只要條件具備了，結果就不會發生；而條件不具備時，結果一定發生。

AY

0110

非運算真值表非運算表達式非門圖形符號1AYYAAYabcdAB～樓道燈開關示意圖二、幾種常用的復合邏輯運算1.與非運算（NAND）

ABY

001011101110與非邏輯真值表與非邏輯表達式與非邏輯功能口訣：有“0”則“1”；全“1”則“0”。

&AYBYAB與非門圖形符號AYB二、幾種常用的復合邏輯運算或非邏輯功能口訣：有“1”則“0”；全“0”則“1”。

ABY

001010100110或非邏輯真值表2.或非運算（NOR）或非邏輯表達式或非門邏輯符號≥1

ABYYAB+

ABY3.與或非運算（AND-OR-NOT）與或非邏輯表達式ABCDY

001010100110與或非邏輯真值表或非邏輯功能口訣：與項有“1”則出為“0”；全部與項為“0”則出“1”。

與或非門圖形符號YDCAB≥1&ABCDYYDCAB+異或邏輯功能口訣：相同為“0”；不同為“1”。

4.異或運算（XOR）

ABY

000011101110異或邏輯真值表異或邏輯表達式異或門圖形符號YAB=1AYBAYB⊕同或邏輯功能口訣：相同為“1”；不同為0”。

5.同或運算（XNOR）

ABY

001010100111同或邏輯真值表同或邏輯表達式⊙異或與同或互為反運算：⊙⊙同或門圖形符號=AYBYABA⊙YB2.3.1基本公式P24T表2.3.12.3邏輯代數的基本公式和常用公式例：用真值表證明反演律000101101111000110010101000證明:如果等式成立，那么將任和一組變量的取值代入公式兩邊所得的結果應該相等。因此，等式兩邊所對應的真值表也必然相同。求證:A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,重疊律=A(1+B+C)+BC;分配律=A?1+BC;0-1律=A+BC;自等律=左邊0000010100111001011101110000111100011111證明:例:用真值表證明A+BC=(A+B)(A+C)000100010011111101011111000111112.3.2若干常用公式P25T表2.3.3一、吸收律1、A+A·B=A——化簡中的吸收法(21)兩個乘積項相加時，若其中一項以另一項為因子，則該項多余，可刪去。2、A+A·B=A+B——化簡中的消因子法(22)兩個乘積項相加時，如一項取反后是另一項的因子，則此因子是多余的，可以消去。3、A·B+A·B=A——化簡中的并項法(23)兩個乘積項相加時，若它們分別包含B和B兩個因子而其它因子相同，則兩項可以合并，其結果為相同的部分。二、冗余律（冗余定理）*4、——化簡中的消項法

在兩個乘積項中，若有一個變量是互反的，那么由這兩個乘積項中的其它變量組成的乘積項就是多余的，可以消去。公式可推廣：2.3.2若干常用公式三、異或運算公式（58頁題2.1）1、交換率：2、結合率：3、分配率：4*、常量、變量異或：5、因果互換率：2.3.2若干常用公式2.4邏輯代數的基本定理2.4.1代入定理：任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現此變量的位置均代之以一個邏輯函數式，則此等式依然成立。例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律2.4.2反演定理：對于任意一個邏輯函數式F，做如下處理：①運算符號變：“●”變“+”,“+”變“●”；②常量變：“0”變成“1”，“1”變成“0”；③變量變：原變量變成反變量，反變量變成原變量。

那么得到的新函數式稱為原函數式F的反函數式。注意：

Δ遵守“括號、乘、加”（即括號→與→或）的運算優先次序。必要時適當地加入括號。

Δ不屬于單個變量上的非號應保留不變。2.4邏輯代數的基本定理，求。例：2.4邏輯代數的基本定理例：求：解：例：求：解：2.4.3對偶定理：對于任意一個邏輯函數式F，做如下處理：①運算符號變：“●”變“+”,“+”變“●”；②常量變：“0”變成“1”，“1”變成“0”；那么得到的新函數式稱為原函數式F的對偶式FD。對偶定理:若兩邏輯式相等，則它們對應的對偶式也相等。即若F1=F2,則F1D=F2D。注意：同反演定理相比較

Δ運算的優先次序相同；Δ只變換運算符號和常量，其變量是不變的。2.4邏輯代數的