復習：

導數的定義定義1

設函數在點

存在,

并稱此極限為記作：則稱函數若

的某鄰域內有定義

,在點處可導,在點的導數.書P.35加上四則運算公式，復合函數求導法則。以及計算技巧。

初等函數的求導

例：求函數f（x）=x2sinx+2cosx

的導數。解復習：微分的定義定義(微分的實質)二、微分的求法求法:計算函數的導數,乘以自變量的微分.1.基本初等函數的微分公式P402.函數和、差、積、商的微分法則例解例解例解在下列等式左端的括號中填入適當的函數,使等式成立.第四章不定積分

§4.1不定積分的概念與性質

§4.2不定積分的積分方法：（換元積分法、分部積分法）

§4.3幾種特殊類型函數積分舉例1011

回顧:微分學的基本問題是“已知一個函數,

如何求它的導數.”

積分學包括兩個基本部分:不定積分和定積分.

本章研究不定積分的概念、性質和基本積分方法.

那么,如果已知一個函數的導數,要求原來的函數,這類問題,是微分法的逆問題.這就產生了積分學.12問題:

若已知某一函數F(x)

的導數為?(x),求這個函數.則稱F(x)是已知函數?(x)在該區間I上的一個原函數.一.原函數的定義定義1

設?(x)定義在區間I上,若存在函數F(x),使得對

§4.1不定積分的概念和性質有例因為，所以因為所以13定義：

若函數?(x)在區間I上連續,則?(x)在區間I上的原函數一定存在。簡言之：連續函數一定有原函數.(證明略)原函數存在性定理:定義：

設F(x)是函數?(x)在區間I上的一個原函數,則對任何常數C,F(x)+C也是函數?(x)的原函數.證

因為問題：(1)原函數是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯系？所以F(x)+C也是函數?(x)的原函數.14定理1

設F(x)和G(x)都是函數?(x)的原函數,則

G(x)=F(x)+C(常數)證由拉格朗日定理知由此可見:

若F(x)是?(x)的一個原函數,則表達式F(x)+C可表示?(x)的所有原函數。二.不定積分的定義定義2

函數?(x)的全體原函數稱為?(x)的不定積分.記為顯然，若F(x)是函數?(x)的一個原函數,則

15任意常數積分號被積函數被積表達式積分變量例如16例1

求解解例2

求17例3

求下列不定積分18三.不定積分的幾何意義而是?(x)的原函數一般表達式,所以它對應的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族,其特點是:

(1)積分曲線族中任意一條曲線可由其中某一條(如y=F(x))沿y軸平行移動|c|個單位而得到.(如圖)當c>0時,向上移動;當c<0時,向下移動.oxyxy=F(x){|c|19

oxyxy=F(x)(2)即橫坐標相同點處,每條積分曲線上相應點的切線斜率相等,都為?(x).從而相應點的切線相互平行.注:當需要從積分曲線族中求出過點的一條積分曲線時,則只須把代入y=F(x)+C中解出C即可.20例4

已知一條曲線在任意一點的切線斜率等于該點橫坐標的倒數,且過點求此曲線方程.解

設所求曲線為y=?(x),則故所求曲線為y=ln|x|+221四、不定積分與微分的關系22五、基本積分表2324導數公式表積分公式表以上基本積分公式是求不定積分的基礎,必須記牢！25例5

求下列不定積分4.1.3不定積分性質

2627直接積分法:

利用基本積分公式和性質求不定積分的方法稱為直接積分法.用直接積分法可求出某些簡單函數的不定積分.例6

求下列不定積分2829例8

一種流感病毒每天以的速率增加,其中t是首次爆發后的天數,如果第一天有50個病人,試問在第10天有多少個人被感染？解設在第t天有Q(t)個人被感染,則

30由題意知當t=1時,Q(t)=50.代入上式可解出C=–69,則即在第10天有10931個人被感染.31練習題無窮多

常數

全體原函數

積分曲線

積分曲線族

平行

連續

3233

能利用直接積分法求出的不定積分是很有限的.一.湊微分法(第一換元法)例

計算分析:此不定積分在積分表中查不到.§5.2換元積分法為了求出更多函數的不定積分,下面建立一些有效的積分法.這是因為被積函數cos2x的變量是“2x”,與積分變量“x”不同.但如果能把被積表達式改變一下,使得被積函數的變量與積分變量變得相同,那么就可用公式求出此不定積分.

(u是x的函數)34注:

這種方法的實質是當被積函數為復合函數時,可采用恒等變形將原來的微分dx湊成新的微分d()使原積分變成可直接用積分公式來計算.這種方法稱為湊微分法.其理論依據為35定理4

證利用不定積分的定義及復合函數的求導法則即可.注1.定理4中,若u為自變量時,當然有當u換為(x)時,就有成立.——不定積分的這一性質稱為積分形式的不變性.注2.

湊微分法的關鍵是“湊”,湊的目的是把被積函數的中間變量變得與積分變量相同.即成立.36(1)根據被積函數是復合函數的特點和基本積分公式的形式,依據恒等變形的原則,把

dx湊成d(x).如

(2)把被積函數中的某一因子與dx湊成一個新的微分d(x).如“湊微分”的方法有:37例1

求下列各不定積分結論1:383940以下常見的湊微分公式！4142例2

求不定積分結論2:同理可得43例3

求下列各式的不定積分44結論3:45或原式同理可得46例4

求下列各式的不定積分同理可得結論4:一般地,對形如這樣的不定積分當n為偶數時應先降次后再積分；當n為奇數時應先湊微分再積分；47一般地,對形如這樣的不定積分若n≠m，且一奇一偶時，則應湊奇次冪的三角函數；若同為偶，則化為48對形如這樣的不定積分應先積化和差后再積分.49(5)

求解還有其他方法嗎？50練習兩次湊微分51例5

求解法1解法2解法3注:對于同一個不定積分,采用的方法不同,有時得到的原函數的表達式就完全不同,但這些不同的表達式之間僅相差一個常數.如52解例6

設求.令53二.第二換元法（作代換法）注:用直接積分和湊微分法是不易計算此積分的.但作變換從而注:這種經過適當選擇變量代換x=(t)將積分求出此積分后回代t的方法稱為第二換元積分法.化為積分(較易積出)54定理5

設函數?(x)連續,

x=(t)單調可微,

且,而證明在此方法中要注意兩個問題:1.函數的原函數存在.2.要求代換式x=(t)的反函數存在且唯一.則55注1:第二換元積分法是先換元,再積分,最后回代.這與湊微分法(先湊后換元)不一樣.注2:第二換元積分法主要用來求解被積函數為無理函數的不定積分.換元的目的是將無理函數的不定積分轉換為有理函數的積分.分兩類講:1.根號里是一次式的,即2.根號里是二次式的,即等。1.被積函數含有的因子時,可令例1

求下列積分化簡函數后再積分.5657解58但在具體求解時要根據被積函數所含二次根式的不同情況作不同的三角代換,作法如下：2.被積函數含有的因子時,可作三角變換,利用三角函數恒等式使二次根式有理化.例2

求下列各積分59?tax如圖6061?tax如圖解

x=atant,t∈(-,)，

則dx=adt,

=asect,因此有62?tax則dx=asecttantdt,=atant,故思考：求63例3

求解令64例4

求令解3.倒代換

——當被積函數的分母的次數較高時，可采用倒代換

65例5

求66解由題意知則例6(1)設函數?(x)的一個原函數是arctanx,求不定積分67(2)若己知

,求：

通過上述幾種積分方法的學習,將以下幾個公式補充在積分表里：6869定理5

設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續的導數,則§5.3分部積分法IntegrationbyParts直接積分和換元積分法可以解決大量的不定積分的計算問題;但對形如等類型的不定積分,下面利用兩個函數乘積的求導法則來推得分部積分法.證由d(uv)=vdu+udv,得udv=d(uv)–vdu,對此式兩邊同時求不定積分,得采用這兩種方法卻無效.70而不定積分易于計算,則可采用分部積分公式,使計算大為簡化.注1:不定積分不易計算,例1

求解

(1)設

由分部積分公式得71(2).要比容易積出.注2:分部積分法是基本積分法之一,常用于被積函數是兩種不同類型函數乘積的積分這類積分在具體計算過程中,如何正確地選定u和v卻顯得非常重要.一般說來要考慮以下兩點:(1).v要容易求得;后一積分更難求72例2

求一般按“反對冪指三”的順序,后者先湊入的方法確定u和v.73比原積分更難積出.例3求下列不定積分否則若

7475練習：76參考答案：77例4求這是一個關于的方程,移項并兩邊同除以2,得注:有些不定積分需要將積分的幾種方法綜合起來使用.還有不同的解法嗎？78例5

求解令先換元再分部積分先湊微分再分部積分79(3)設f(x)有連續的二階導函數，求80是f(x)的一個原函數,求解

因為(4)已知是f(x)的一個原函數所以81例6求不定積分解綜合練習題82例7求不定積分解83例7求不定積分解原式84例8求不定積分解令則還有解法嗎？先分部積分再換元85例9解法1求先分部積分,設則于是再設則于是后換元.86代入上式,得例9解法1求87解法2先換元,例9求后分部積分.設則再設則88例10解求已知的一個原函數是根據題意再注意到兩邊同時對求導,得89例11解求不定積分令則于是原式其中90例12解求不定積分先折成兩個不定積分,再利用分部積分法.原式91例13解求不定積分92例14解求其中為正整數.用分部積分法,當時有即于是93例14解求其中為正整數.用分部積分法,當時有于是以此作遞推公式,即可得并由94例15解利用分部積分計算選于是95例15解利用分部積分計算選于是方便.注:本題選比選更能使解題96一、有理函數的積分有理函數的定義:兩個多項式的商表示的函數.其中、都是非負整數;及都是實數,并且假定分子與分母之間沒有公因式:(1)這有理函數是真分式;(2)這有理函數是假分式.97一、有理函數的積分利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例981.由代數學知,任何多項式在實數范圍內總能分解成一次因式和二次質因式的乘積,即其中為常數;k…,s?α,…,β為正整數,且2.任何一個真分式均可唯一地分解為若干個最簡分式之和.注意99一、有理函數的積分(1)分母中若有因式則分解后為(其中都是常數)若分解后有(2)分母中若有因式其中則分解后為真分式化為最簡分式之和的一般規律:100一、有理函數的積分則分解后為(都是常數)若分解后有注:求有理函數積分的關鍵是分式化為最簡分式之和.利用待定系數法將真101例1分解有理分式解設整理得即102例2分解有理分式解設代入特殊值來確定系數取并將值代入()取取(*)103例3分解有理分式解兩邊同乘以得:令得再將上式兩邊求導:104例3分解有理分式解令得同理,兩邊同乘以令得所以105一、有理函數的原函數將有理函數化為部分分式之和后,只出現三類情況:(1)多項式;(2)(3)討論情況(3):而其中106有理函數的原函數而其中時,107一、有理函數的原函數上述三類積分均可積出,且原函數都是初等函數.緒論有理函數的原函數都是初等函數.時,108例4求不定積分解根據例1的結果原式109例5求不定積分解根據例2的結果原式110例6求不定積分解根據例5的結果,有111解根據上述方法,有112