考綱要求考綱研讀空間向量及其運算(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示．(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示．(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.本節(jié)知識是代數(shù)化方法研究幾何問題的基礎(chǔ)，向量運算分為向量法與坐標法兩類，以通過向量運算推理，去研究幾何元素的位置關(guān)系為重點.第6講空間坐標系與空間向量1．空間向量的概念

在空間，既有大小又有方向的量，叫做_________，記作a或 2．空間向量的運算 (3)數(shù)乘向量：λa(λ∈R)仍是一個向量，且λa與a共線， |λa|＝|λ||a|. (4)數(shù)量積：a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，a·b是一個實數(shù)．空間向量

3．空間向量的運算律

(1)交換律：a＋b＝b＋a；a·b＝b·a. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)[注意:(a·b)c＝a(b·c)一般不成立]． (3)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)；a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空間向量的坐標運算

(x1±x2，y1±y2，z1±z2)λa＝____________________；a·b＝_______________；cos〈a，b〉＝_______________________.

(3)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，

(4)對于非零向量a與b，設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么有

a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2；a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.

(λx1，λy1，λz1)x1x2＋y1y2＋z1z21．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k值是()DA．1

1B. 5

3C. 5D.752．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，)則下列結(jié)論正確的是( A．a(chǎn)∥b，b⊥c

C．a(chǎn)∥c，a⊥b

B．a(chǎn)∥b，a⊥cD．以上都不對3．設(shè)一地球儀的球心為空間直角坐標系的原點O球面上有兩個點A，B的坐標分別為A(1,2,2)，B(2，－2,1)，則|AB|＝()A．18B．12CC4．(2010年廣東)若向量

a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝____.2

5．在空間直角坐標系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標是__________．

(0，－1,0)考點1向量的線性運算圖13－6－1解題思路：利用三角形法則轉(zhuǎn)化．(1)本題結(jié)合圖形特點運用向量的三角形法則或平行四邊形法則、共線向量定理等基本關(guān)系表示出有關(guān)的向量．

(2)向量的線性運算有一個常用的結(jié)論：如果點B是線段AC【互動探究】】圖13－6－2考點2向量的坐標運運算例2：已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為BB1，C1D1的中點，建立立適當?shù)淖鴺藰讼担笃矫婷鍭MN的法向量．解題思路：在平面AMN內(nèi)找兩個相交交向量分別與與法向量垂直．

解析：以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系．如圖D28.

圖D28【互動探究】】2．已知點A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則平面面ABC的法向量可以是()D考點3用用向量證明平平行與垂直問問題例3：如圖13－6－3，已知直三三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三三角形，∠BAC＝90°，且且AB＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.圖13－6－3解題思路：未引入空間向向量，用向量量代數(shù)形式來來處理立體幾幾何問題，引入入空間向量可可降低思維難難度，使解題題變得程序化化，但學生時常用傳傳統(tǒng)方法把問問題復雜化導導致解題困難難．故DE∥平面ABC.圖13－6－4【互動探究】】3．正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，求證：D1O∥平面A1BC1.圖D31證明：如圖D31，，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直直角坐標系．設(shè)正方體棱長長為2a則A1(2a,0,2a)，B(2a,2a,0)，C1(0,2a,2a)，D1(0,0,2a)，O(a，a,0)．考點4用用向量處理相相關(guān)計算例4：如圖13－－6－6，在在棱長為1的正方體體ABCD－A1B1C1D1中，，P是側(cè)側(cè)棱棱CC1上的的一一點點，，CP＝m.在在線線段段A1C1上是是否否存存在在一一個個定點點Q，使使得得對對任任意意的的m，D1Q在平平面面APD1上的的射射影影垂垂直直于于AP，并圖13－圖13－－6－－7解題題思思路路：：利用用向向量量轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化幾幾何何關(guān)關(guān)系系．．用向向量量代代數(shù)數(shù)形形式式來來處處理理立立體體幾幾何何問問題題，，淡淡化化了了傳傳統(tǒng)幾幾何何中中的的“形””到到““形形””的的推推理理方方法法．．【互互動動探探究究】】4．．如如圖圖13－－6－－5，，在在四四棱棱錐錐O－ABCD中，，底底面面ABCD是邊邊的中中點點，，N為BC的中中點點．．(1)證證明明：：直直線線MN∥平平面面OCD；(2)求求異異面面直直線線AB與MD所成圖13－－6－－5解法法一一：：(傳統(tǒng)統(tǒng)方方法法)(1)如圖圖D29，取取OB中點點E，連連接接ME，NE.∵ME∥AB，AB∥CD，∴∴ME∥CD.又∵∵NE∥∴平面MNE∥平面OCD.∴MN∥平面OCD.圖D29(2)∵CD∥AB，∴∠∠MDC為異異面面直直線線AB與MD所成成的的角角(或其其補補角角)．作AP⊥CD于P，連連接接MP.∵OA⊥平平面面ABCD，∴∴CD⊥MP.圖D301．．運運用空空間間向向量量的的坐坐標標運運算算解解決決幾幾何何問問題題時時，，首首先先要要恰恰當當建建立空空間間直直再結(jié)合公式進行論證、計算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．如利用兩個向量(非零)數(shù)量積為零，可證明空間直線垂直；利用數(shù)量積可計算兩異面直線的夾角，可求線段的長度；運用共面向量定理可證點共面、線面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求點面距、線面角、異面直線所成的角等．2.在在近近年年高高考考試試卷卷中中，，立立體體幾幾何何常常常常以以錐錐體體或或柱柱體體為為載載體體，，命題題呈呈現(xiàn)現(xiàn)一一題題兩兩法法的的新新格格局局．．一一直直以以來來立立體體幾幾何何解解答答題題都都是是讓讓廣廣大考生生又喜喜又憂憂．為為之而而喜是是因為為只要要能建建立直直角坐坐標系系，基基本上可以以處理理立體體幾何何絕大大多數(shù)數(shù)的問問題；；為之之而憂憂就是是對于于不規(guī)規(guī)則的圖形形來講講建系系的難難度較較大，，問題題不能能得到到很好好的解解決.2011年年廣東的立立體