6.2.2

向量的減法運算

必備知識·自主學習1.相反向量導思1.相反向量的含義是什么?2.平面向量減法運算的定義是什么?其幾何意義是什么?定義與向量a長度_____,方向_____的向量,叫做a的相反向量,記作___規定零向量的相反向量仍是零向量結論a和-a互為相反向量,于是-(-a)=__a+(-a)=(-a)+a=__如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=__相等相反-aa002.向量的減法(1)定義:向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即a-b=_______.求兩個向量差的運算叫做向量的減法.(2)本質:向量加法的逆運算,運算結果仍是一個向量.(3)應用:①求兩個向量的差;②為向量的綜合運算奠定基礎.a+(-b)3.向量減法的幾何意義作法已知向量a,b,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=____圖示

a-b【思考】(1)已知a,b是不共線的向量,如何在同一個平行四邊形中作出a-b和a+b?提示:如圖所示,作平行四邊形OACB,設=a,=b,

根據向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則,有=a+b,=a-b.(2)在代數運算中的移項法則,在向量中是否仍然成立?提示:成立.在向量等式的兩邊都加上或減去同一個向量仍得到向量等式,因此移項法則對向量等式也是適用的.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量. (

)(2)相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.(

)(3)與是相反向量,且-=. (

)提示:(1)×.相反向量是長度相等,方向相反的向量.(2)×.由平行向量與相反向量的定義可知,相反向量必為平行向量,平行向量不一定是相反向量.(3)√.根據相反向量的定義可知其正確.√××2.在平行四邊形ABCD中,下列結論錯誤的是 (

)C【解析】選C.因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以=,所以=0,A正確;=+,由向量加法的平行四邊形法則可知,+=,B正確;=,C錯誤;因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以與互為相反向量,所以=0,D正確.3.(例題改編)已知?ABCD的對角線AC和BD相交于O,且=a,=b,則=

,=

.(用a,b表示)

【解析】如圖,

答案:b-a

-a-b關鍵能力·合作學習類型一向量減法的幾何意義(直觀想象)【例1】1.對于非零向量a,b,當且僅當

時,有|a-b|=||a|-|b||.

2.如圖,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.【思路導引】1.根據向量減法的幾何意義分析a,b之間的關系.2.先作a+b,再作a+b-c.作向量的差時,可以依據定義也可以依據向量減法的三角形法則.【解析】1.當a,b不同向時,根據向量減法的幾何意義,知一定有|a-b|>||a|-|b||,所以只有兩向量同向時,才有|a-b|=||a|-|b||.答案:a與b同向2.方法一:如圖所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,則=a+b-c.方法二:如圖所示,在平面內任取一點O,作=a,=b,則=a+b,再作=c,連接OC,

則=a+b-c.【變式探究】在本例2的條件下,作出向量:a-b+c.【解析】如圖所示:【解題策略】作兩個向量的差的兩種方法(1)用向量減法的三角形法則①步驟②口訣:共起點,連終點,指向被減.(2)用向量減法的定義根據a-b=a+(-b)轉化為向量加法運算,再作圖.【跟蹤訓練】如圖所示,O為△ABC內一點,=a,=b,=c,求作:b+c-a.【解析】方法一:以,為鄰邊作平行四邊形OBDC,連接OD,AD,

則方法二:作=b,

連接AD,則=c-a,=c-a+b=b+c-a.【變式訓練】如圖,已知向量a,b,c,求作a-b-c.【解析】如圖,以A為起點分別作向量和,使=a,=b.連接CB,得向量,再以C為起點作向量,使=c.連接DB,得向量.則向量即為所求作的向量a-b-c.類型二向量的加減法運算(數學運算)【例2】1.(2020·運城高一檢測)化簡:=

.

2.化簡:(1)【思路導引】首先用向量加法的運算律或向量減法的定義進行恰當轉化,然后用向量加法(或減法)的三角形法則化簡.【解析】1.答案:

2.(1)(6)方法一:方法二:【解題策略】向量減法運算的常用方法【跟蹤訓練】1.下列四式中不能化簡為的是 (

)D【解析】選D.A中,B中,C中,D中,顯然不能化簡為.2.化簡下列各式:(1)(2)【解析】(1)(2)【變式訓練】下列各式中不能化簡為的是 (

)D【解析】選D.選項A中,選項B中,選項C中,

選項D中,類型三向量加減法運算的綜合應用(數學運算、邏輯推理)

角度1利用已知向量表示未知向量

【例3】如圖所示,四邊形ACDE是平行四邊形,點B是該平行四邊形外一點,且=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示向量【思路導引】利用向量加減法運算的三角形法則及相等向量的定義進行解答.【解析】由平行四邊形的性質可知=c,由向量的減法可知:=b-a,由向量的加法可知=b-a+c.【變式探究】本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內一點”,其他條件不變,其結論又如何呢?【解析】如圖,因為四邊形ACDE是平行四邊形,所以=c,=b-a,=b-a+c.角度2向量加減法與平面幾何知識的綜合應用

【例4】若O是△ABC所在平面內一點,且滿足試判斷△ABC的形狀.【思路導引】先進行向量加減法運算,化簡后分析以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的形狀.【解析】因為所以以AB、AC為鄰邊的平行四邊形對角線相等,所以以AB、AC為鄰邊的平行四邊形為矩形,所以∠BAC=90°,得△ABC的形狀是直角三角形.【解題策略】1.用已知向量表示其他向量的三個關注點(1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系,確定已知向量與被表示向量的轉化渠道.(2)注意綜合應用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結合律、交換律來分析解決問題.(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則.例如,在四邊形ABCD中,=0.2.平行四邊形中有關向量的結論平行四邊形中有關向量的以下結論,在解題中可以直接使用:(1)對角線的平方和等于四邊的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).(2)若|a+b|=|a-b|,則以a,b為鄰邊的平行四邊形為矩形.【跟蹤訓練】1.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,||=2,則||=

.

【解析】因為∠DAB=60°,AB=AD,所以△ABD為等邊三角形.又因為||=2,所以OB=1.在Rt△AOB中,所以答案:22.如圖所示,在正八邊形ABCDEFGH中,=a,=b,=c,=d,=e,

(1)試用已知向量表示;(2)試用已知向量表示.【解析】(1)由題圖可知=-(b+c+d+e);(2)由題圖可知,=c+d+e+=c+d+e-=c+d+e-b.【補償訓練】1.已知菱形ABCD邊長都是2,求向量的模.【解析】因為所以2.如圖,在△ABC中,D,E分別為邊AC,BC上的任意一點,O為AE,BD的交點,已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.【解析】在△OBE中,有=e-c,在△ABO中,=e-c-a,在△ABD中,=a+b,所以在△OAD中,=e-c-a+a+b=e-c+b.核心知識方法總結易錯提醒核心素養1.相反向量.2.向量減法的概念.3.向量減法的幾何意義.（1）起點必須相同；（2）指向被減向量的終點.用三角形法則作向量減法時相反向量:

從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量．1.數學抽象：向量減法的定義.2.邏輯推理：向量減法的法則.3.數學運算：求兩個向量的差.4.直觀想象：向量減法的幾何意義.課堂檢測·素養達標1.設b是a的相反向量,則下列說法一定錯誤的是 (

)

A.a與b的長度相等 B.a∥bC.a與b一定不相等 D.a是b的相反向量【解析】選C.由相反向量的定