5.1.3導數(shù)的幾何意義學習目標1.了解導函數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義.2.會求簡單函數(shù)的導函數(shù).3.根據(jù)導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程.問題導學達標檢測題型探究內(nèi)容索引問題導學知識點一導數(shù)的幾何意義如圖，Pn的坐標為(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐標為(x0，y0)，直線PT為在點P處的切線.思考1割線PPn的斜率kn是多少？思考2當點Pn無限趨近于點P時，割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關系？答案

kn無限趨近于切線PT的斜率k.梳理

(1)切線的定義：設PPn是曲線y＝f(x)的割線，當點Pn趨近于點P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為曲線y＝f(x)

的切線.(2)導數(shù)f′(x0)的幾何意義：導數(shù)f′(x0)表示曲線y＝f(x)在點

處的切線的斜率k，即k＝

＝

.(3)切線方程：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為___________________________.在點P處(x0，f(x0))f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)思考已知函數(shù)f(x)＝x2，分別計算f′(1)與f′(x)，它們有什么不同.知識點二導函數(shù)f′(1)是一個值，而f′(x)是一個函數(shù).梳理對于函數(shù)y＝f(x)，當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)，則當x變化時，f′(x)便是一個關于x的函數(shù)，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù)),即f′(x)＝y(tǒng)′＝

.特別提醒：

區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)是導函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導數(shù)，一般先求導函數(shù)，再計算導函數(shù)在這一點的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)1.函數(shù)在一點處的導數(shù)f′(x0)是一個常數(shù).(

)2.函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x＝x0處的函數(shù)值.(

)3.直線與曲線相切，則直線與已知曲線只有一個公共點.(

)[思考辨析判斷正誤]√√×題型探究類型一求切線方程解答解

將x＝2代入曲線C的方程得y＝4，∴切點P(2,4).∴k＝

＝4.∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思與感悟求曲線在某點處的切線方程的步驟跟蹤訓練1曲線y＝x2＋1在點P(2,5)處的切線與y軸交點的縱坐標是_____.答案－3解析∴k＝

＝4.∴曲線y＝x2＋1在點(2,5)處的切線方程為y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切線與y軸交點的縱坐標是－3.解答命題角度2曲線過某點的切線方程例2求過點(－1,0)與曲線y＝x2＋x＋1相切的直線方程.解

設切點為(x0，

＋x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2.當x0＝0時，切線斜率k＝1，過(－1,0)的切線方程為y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.當x0＝－2時，切線斜率k＝－3，過(－1,0)的切線方程為y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切線方程為x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.反思與感悟過點(x1，y1)的曲線y＝f(x)的切線方程的求法步驟(1)設切點(x0，f(x0)).(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，從而寫出切線方程.跟蹤訓練2求函數(shù)y＝f(x)＝x3－3x2＋x的圖象上過原點的切線方程.解答∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)故所求切線方程為x－y＝0或5x＋4y＝0.類型二利用圖象理解導數(shù)的幾何意義例3已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關系中正確的是

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B.0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)解析答案√f′(2)為函數(shù)f(x)的圖象在點B(2，f(2))處的切線的斜率，f′(3)為函數(shù)f(x)的圖象在點A(3，f(3))處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2).反思與感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決.跟蹤訓練3若函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是

解析答案√解析

依題意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則在函數(shù)f(x)的圖象上，各點的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足.例4已知曲線f(x)＝x2－1在x＝x0處的切線與曲線g(x)＝1－x3在x＝x0處的切線互相平行，求x0的值.類型三求切點坐標解答解對于曲線f(x)＝x2－1，對于曲線g(x)＝1－x3，引申探究若將本例條件中的“平行”改為“垂直”，求x0的值.解答反思與感悟求切點坐標的一般步驟(1)設出切點坐標.(2)利用導數(shù)或斜率公式求出斜率.(3)利用斜率關系列方程，求出切點的橫坐標.(4)把橫坐標代入曲線或切線方程，求出切點縱坐標.跟蹤訓練4直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：f(x)＝x3－x2＋1相切，則a的值為____，切點坐標為__________.答案解析解析

設直線l與曲線C的切點為(x0，y0)，又點(x0，f(x0))在直線y＝x＋a上，將x0＝1，y0＝1.代入得a＝0，與已知條件矛盾，舍去.達標檢測1.如果曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為x＋2y－3＝0，那么

A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0C.f′(x0)＝0 D.f′(x0)不存在12345解析答案√123452.設曲線f(x)＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于

解析答案√所以2a＝2，所以a＝1.3.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB)D.不能確定解析

由導數(shù)的幾何意義，知f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB).12345解析答案√答案解析4.已知曲線y＝f(x)＝2x2＋a在點P處的切線方程為8x－y－15＝0，則實數(shù)a的值為_____.12345－7由導數(shù)的幾何意義可得，∴x0＝2，∴P(2,8＋a).將x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.5.已知曲線f(x)＝x3在點(a，a3)(a≠0)處的切線與x軸，直線x＝a圍成的三角形的面積為

，則a＝_____.答案解析±1∴曲線f(x)＝x3在點(a，a3)處的切線斜率為f′(a)＝3a2，∴切線方程為y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.123451.導數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝

物理意義是運動物體在某一時刻的瞬時速度.

2.“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”