第一章1.4.1用空間向量研究直線、平面位置關系空間中直線、平面的平行用空間向量研究距離、夾角問題學習目標

能用向量方法得到兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個平面的夾角的向量表達式，解決立體幾何中有關角度的度量問題.教學重難點

重點:利用向量的數量積研究兩條直線所成的角、直線和平面所成的角、兩個平面的夾角.

難點:根據問題的條件選擇適當的基底.用空間向量研究距離、夾角問題直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角與距離類似，角度是立體幾何中另一個重要的度量．下面我們用向量方法研究直線與直線所成的角、直線與平面所成的角以及平面與平面的夾角，先看下列問題.例題精講——例七如圖，在邊長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.

例題精講——例七如圖，在邊長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M,N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.

直線與平面所成的角以上我們用向量方法解決了異面直線AM和CN所成角的問題，你能用向量方法求直線AB與平面BCD所成的角嗎?思考

直線與平面所成的角

二面角

圖中有幾個二面角？兩個平面的夾角與這兩個平面形成的二面角有什么關系？問題類比已有的直線、平面所成角的定義，你認為應如何合理定義兩個平面所成的角？進一步地，如何求平面和平面的夾角？二面角

問題如何求平面的法向量？求得的n=(x0，y0，z0)是法向量中的一個，不是所有的法向量，但所有法向量(x，y，z)可以用n=(x0，y0，z0).表示，即(x，y，z)=kn=k(x0，y0，z0).

例題精講——例如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.分析：因為平面PQR與平面A1B1C1的夾角可以轉化為平面PQR與平面A1B1C1的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．例題精講——例如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q,R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1,求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.

例題精講——例圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s,精確到0.01N).分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小，8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量.例題精講——例圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接,每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°.已知禮物的質量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s,精確到0.01N).

例題精講——例

分析：本題涉及的間題包括:直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角.這些問題都可以利用向量方法解決.由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素,進而解決問題.例題精講——例

例題精講——例

例題精講——例

課堂檢測

AA課堂檢測

A課堂檢測

C課堂檢測3.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，求平面AA1B與平面A1BC1夾角的余弦值.

課堂檢測

立體幾何坐