4.3.1等比數列的概念選擇性必修第二冊第四章數列情景引入我國古代數學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”問題1你能寫出“出門望九堤”問題構成的數列嗎？

構成數列：9，92，93，94，95，96，97，98.問題2根據數列相鄰兩項的關系，上述數列有什么特點？

上述數列中，從第2項起，每一項與前一項的比都是9，這種數列稱為等比數列.

請看下面幾個問題中的數列.

1.兩河流域發掘的古巴比倫時期的泥版上記錄了下面的數列:

①

②

③

2.《莊子·天下》中提到：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之錘”的長度看成單位“1”，那么從第1天開始，每天得到的“錘”的長度依次是

④．．

3.在營養和生存空間沒有限制的情況下，某種細菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個這種細菌從第1次分裂開始，各次分裂產生的后代個數依次是

⑤

4.某人存入銀行元，存期為5年，年利率為，那么按照復利，他5年內每年末得到的本利和分別是

⑥．．

探究

類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？你發現了什么規律？上述六組數列中，每一項與前一項的比都等于同一個常數．

類比等差數列的概念，從上述幾個數列的規律中，你能抽象出等比數列的概念嗎？思考一、等比數列的定義

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母

表示(顯然)．

例.

判斷下列數列是否是等比數列．如果是，寫出它的公比．

(1)3，9，15，21，27，33；

(4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；(3)，，，，，；

(2)4，-8，16，-32，-128.

思考：(1)等差數列的項、公差均可以是0嗎？等比數列呢？(2)常數列是等差數列嗎？是等比數列嗎？(3)是否存在既是等差數列又是等比數列的數列？(4)q>0時，等比數列各項的符號有何特點？q<0時呢？常數列是等差數列，公差為0；非零常數列是等比數列，公比為1.非零常數列既是等差數列又是等比數列，公差為0，公比為1.q>0時，等比數列各項符號和首項a1保持一致；q<0時，等比數列各項符號正負間隔，奇數項和偶數項分別同號。類比等差中項的定義，你能說出等比中項的定義嗎？說明：等比中項可能有兩個，那么什么時候是一個呢？二、等比中項應用探究練習2

若a，2a＋2，3a＋3成等比數列，求實數

a的值．解：∵a，2a＋2，3a＋3成等比數列

∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得

a＝－1，或

a＝－4.當a＝－1時，2a＋2，3a＋3均為0，舍去.∴

a＝－4.練習1(1)4與9的等比中項是______(2)-1，2，x，8，-16成等比數列，則x=______

6或-6-4探究

你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？設一個等比數列的公比為．根據等比數列的定義，可得所以

由此可得．

又，這就是說，當時上式也成立．因此，首項為，公比為的等比數列的通項公式為．

驗證n=1不完全歸納法探究你還可以用其他方法推導等比數列的通項公式嗎？設一個等比數列的公比為．根據等比數列的定義，可得

即

．

所以

左右兩側分別依次相乘

化簡得到．

累乘法又，這就是說，當時上式也成立．因此，首項為，公比為的等比數列的通項公式為．

驗證n=1三、等比數列通項公式

典型例題例1

若等比數列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項．

分析：等比數列由，唯一確定，可利用條件列出關于，的方程(組)，進行求解．解法1:

由，，得①②②的兩邊分別除以①的兩邊，得解得或把代入①，得．

此時把代入①，得．

此時因此，的第5項是24或

．

例1

若等比數列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項．

解法2:

因為是與的等比中項，所以所以．

因此，的第5項是24或．

例1

若等比數列的第4項和第6項分別為48和12，求的第5項．

例2已知等比數列{an}，若a1＋a2＋a3=7，a1a2a3

=8，求an.解得

或

當a1=1時，q=2；當a1=4時，故an

=2n－1或an=23－n

.法一：由等比數列的定義知a2=a1q

，a3=a1q2

，代入已知得例2已知等比數列{an}，若a1＋a2＋a3=7，a1a2a3

=8，求an.法二：從而解之得a1=1，

a3=4或a1=4，

a3=1.當a1=1時，

q=2；當a1=4時，故an

=2n－1或an=23－n

.【歸納總結】如何判斷數列是否為等比數列？探究：類似于等差數列與一次函數的關系，等比數列可以與哪類函數建立相似的關系？探究：類似于等差數列與一次函數的關系，等比數列可以與哪類函數建立相似的關系？

等比數列的第項是指數函數當時的函數值，即．

等比數列的序號和項對應的點是指數函數圖像上一系列離散的點。探究：類比指數函數的性質，判斷公比的等比數列的單調性？指數函數，時，指數函數單調遞增；

，指數函數單調遞減．

①當，因為，則單調性與相同，即，等比數列單調遞增，

，等比數列單調性不變，，等比數列單調遞減．

②當，因為，則單調性與單調性相反，即，等比數列單調遞減，

，等比數列單調性不變，，等比數列單調增．1、等比數列的定義2、