課時5課時5二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質基礎鞏固基礎鞏固【知識點1二次函數y=a(x?h)2+k的圖象和性質】1.二次函數y=(x+2)2?1的圖象大致是() 【答案】D【解析】由y=(x+2)2?1，知圖象開口向上，頂點坐標為(?2，?1)，結合選項，知選D.2.已知函數y=2(2x?4)2+1，當y隨x的增大而增大時，x的取值范圍是()A.x>4 B.x<4 C.x>2 D.x<2【答案】C【解析】∵y=2(2x?4)2+1=8(x?2)2+1，∴該二次函數圖象開口向上，對稱軸是直線x=2，∴當x>2時，y隨x的增大而增大.故選C.3.拋物線y=(x+2)2+m2+1(m為常數)的頂點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】∵y=(x+2)2+m2+1，∴頂點坐標為(?2，m2+1)，∵?2<0，m2+1>0，∴頂點在第二象限.故選B.4.關于二次函數y=2(x+1)2?3，下列說法不正確的是()A.圖象與y軸的交點坐標為(0，?1)B.圖象的對稱軸在y軸左側C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.函數的最小值為?3【答案】C【解析】當x=0時，y=?1，∴圖象與y軸的交點坐標為(0，?1)，故A不符合題意.由y=2(x+1)2?3，知圖象開口向上，對稱軸為直線x=?1，頂點坐標為(?1，?3)，∴圖象的對稱軸在y軸左側，當x<?1時，y隨x的增大而減小，函數的最小值為?3，故B，D不符合題意，C符合題意.故選C.5.設A(?3，y1)，B(?2，y2)，C(12，y3)是拋物線y=(x+1)2?m上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為.(用“>”連接【答案】y1>y3>y2【解析】拋物線y=(x+1)2?m開口向上，對稱軸為直線x=?1.∵A(?3，y1)，B(?2，y2)，C(12，y3)是拋物線y=(x+1)2?m上的三點，|?1?(?3)|>|?1?12|>|?1?(?2)|，∴y1>y3>y6.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(0，2)，點B的坐標為(4，2).若拋物線y=?32(x?h)2+k(h，k為常數)與線段AB交于C，D兩點，且CD=12AB，則k的值為【答案】72【解析】∵點A的坐標為(0，2)，點B的坐標為(4，2)，∴AB=4.∵CD=12AB，∴CD=2.由拋物線的對稱性，可得點C的坐標為(h?1，2)，把點C的坐標代入y=?32(x?h)2+k，得2=?32(h?1?h)2+k，解得k7.已知拋物線y=a(x?3)2+2經過點(1，?2).(1)求a的值；(2)若點A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小.【答案】(1)a=?1；(2)y1<y2【解析】(1)∵拋物線y=a(x?3)2+2經過點(1，?2)，∴?2=a(1?3)2+2，解得a=?1；(2)∵函數y=?(x?3)2+2的對稱軸為直線x=3，∴A(m，y1)，B(n，y2)(m<n<3)在對稱軸左側，∵拋物線開口向下，∴在對稱軸左側，y隨x的增大而增大，∴y1<y2.8.如圖是二次函數y=(x+m)2+k的圖象，其頂點坐標為M(1，?4).(1)求二次函數的圖象與x軸的交點A，B的坐標；(2)在二次函數的圖象上是否存在點P，使S△PAB=54S△MAB?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】(1)A，B兩點的坐標分別為(?1，0)，(3，0)；(2)存在，理由見解析.【解析】(1)∵M(1，?4)是二次函數y=(x+m)2+k圖象的頂點，∴y=(x?1)2?4=x2?2x?3.令x2?2x?3=0，解得x1=?1，x2=3；∴A，B兩點的坐標分別為(?1，0)，(3，0).(2)在二次函數的圖象上存在點P，使S△PAB=54S△MAB.理由如下設P(x，y)，由(1)知AB=4，則S△PAB=12AB×|y|=2|y|又S△MAB=12AB×|?4|=8∴2|y|=54×8，∴y∵二次函數的最小值為?4，∴y=5.當y=5時，x=?2或4.故點P的坐標為(?2，5)或(4，5).【知識點2二次函數y=a(x?h)2+k與y=ax2的圖象間的關系】9.將拋物線y=x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得到的拋物線的解析式為()A.y=(x+3)2+5 B.y=(x?3)2+5C.y=(x+5)2+3 D.y=(x?5)2+3【答案】D10.將二次函數y=?2(x?1)2?2的圖象先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，則所得到的二次函數圖象的頂點坐標為()A.(0，0) B.(1，?2) C.(0，?1) D.(?2，1)【答案】C【解析】解法一：將二次函數y=?2(x?1)2?2的圖象先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得拋物線的解析式為y=?2(x?1+1)2?2+1，即y=?2x2?1，所以其頂點坐標為(0，?1).故選C.解法二：二次函數y=?2(x?1)2?2的圖象的頂點坐標為(1，?2)，將其先向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得(0，?1).故選C.11.已知拋物線y=(x+2)2?1向左平移h個單位長度，向下平移k個單位長度，得到的拋物線的解析式為y=(x+3)2?4，則h和k的值分別為()A.1，3 B.3，?4 C.1，?3 D.3，?3【答案】A【解析】解法一：因為拋物線y=(x+2)2?1的頂點坐標是(?2，?1)，所以向左平移h個單位長度，向下平移k個單位長度后的坐標為(?2?h，?1?k)，所以平移后拋物線的解析式為y=(x+2+h)2?1?k.因為平移后拋物線的解析式為y=(x+3)2?4，所以2+h=3，?k?1=?4，所以h=1，k=3.故選A.解法二：根據拋物線的平移規律“左加右減，上加下減”得到平移后的拋物線為y=(x+2+h)2?1?k=(x+3)2?4，所以2+h=3，?1?k=?4，所以h=1，k=3.故選A.能力提升能力提升1.二次函數y=a(x+m)2+n的圖象如圖所示，則一次函數y=mx+n的圖象經過()A.第一、第二、第三象限 B.第一、第二、第四象限C.第二、第三、第四象限 D.第一、第三、第四象限【答案】C【解析】由題中圖象，得頂點(?m，n)在第四象限，所以?m>0，n<0，所以m<0，n<0，所以一次函數y=mx+n的圖象經過第二、第三、第四象限.故選C.2.作拋物線A關于x軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個單位長度，向上平移1個單位長度，得到的拋物線C的解析式是y=2(x+1)2?1，則拋物線A的解析式是()A.y=?2(x+3)2?2 B.y=?2(x+3)2+2C.y=?2(x?1)2?2 D.y=?2(x?1)2+2【答案】D【解析】拋物線C的頂點坐標為(?1，?1).∵將拋物線B向左平移2個單位長度，向上平移1個單位長度得到拋物線C，∴拋物線B的頂點坐標為(1，?2)，∴拋物線B的解析式為y=2(x?1)2?2.∵拋物線A與拋物線B關于x軸對稱，∴拋物線A的解析式為y=?2(x?1)2+2.故選D.3.已知二次函數y=?(x?2)2+c，當x=x1時，函數值為y1；當x=x2時，函數值為y2.若|x1?2|>|x2?2|，則y1，y2的大小關系是()A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.無法確定【答案】A【解析】二次函數y=?(x?2)2+c的圖象開口向下，對稱軸為直線x=2，∵|x1?2|>|x2?2|，∴點(x1，y1)到對稱軸的距離比點(x2，y2)到對稱軸的距離大，∴y1<y2.故選A.4.已知二次函數y=(x?h)2+1(h為常數)，在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數值y的最小值為5，則h的值為()A.1或?5 B.?1或5 C.1或?3 D.1或3【答案】B【解析】根據題意，知h不在1≤x≤3的范圍內，當x>h時，y隨x的增大而增大，當x<h時，y隨x的增大而減小.①若h<1，則當x=1時，y取得最小值5，即(1?h)2+1=5，解得h=?1或h=3(舍去)；②若h>3，則當x=3時，y取得最小值5，即(3?h)2+1=5，解得h=5或h=1(舍去).綜上，h的值為?1或5.故選B.5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?23(x?3)2+k經過坐標原點O，與x軸的另一個交點為A，過拋物線的頂點B分別作BC⊥x軸于點C，BD⊥y軸于點D，則圖中陰影部分的面積和為【答案】18【解析】把(0，0)代入y=?23(x?3)2+k，得0=?23(0?3)2+k，解得k=6，所以拋物線的解析式為y=?23(x?3)2+6，所以點B的坐標為(3，6).根據拋物線的對稱性及BC⊥x軸，BD⊥y軸，得圖中陰影部分的面積和為S6.已知二次函數y=?(x+a)2+2a?1(a為常數)，當a取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”.如圖是當a取四個不同數值時此二次函數的圖象，發現它們的頂點在同一條直線上，那么這條直線的解析式是.【答案】y=?2x?1【解析】拋物線y=?(x+a)2+2a?1的頂點坐標為(?a，2a?1)，設x=?a①，y=2a?1②，①×2+②，得2x+y=?1，即y=?2x?1，故這條直線的解析式為y=?2x?1.7.如圖，已知拋物線的頂點為A(1，4)，拋物線與y軸交于點B(0，3)，與x軸交于C，D兩點(點C在點D的左側)，點P是拋物線對稱軸上的一個動點.(1)求此拋物線的解析式；(2)當PC+PB的值最小時，求點P的坐標.【答案】(1)y=?(x?1)2+4；(2)P(1，2)【解析】(1)∵拋物線的頂點為A(1，4)，∴設拋物線的解析式為y=a(x?1)2+4.∵B(0，3)在拋物線上，∴3=a(0?1)2+4，解得a=?1.∴此拋物線的解析式為y=?(x?1)2+4.(2)在y=?(x?1)2+4中，令y=0，得x1=3，x2=?1，∴D(3，0)，C(?1，0).由拋物線的對稱性，知點C與點D關于拋物線的對稱軸x=1對稱.連接BD交直線x=1于點P，此時PC+PB的值最小.設直線BD的解析式為y=kx+b(k≠0)，∴b=3，3k+b=0，當x=1時，y=2，∴P(1，2).8.如圖，頂點為M的拋物線y=a(x+1)2?4分別與x軸相交于點A，B(點A在點B的右側)，與y軸相交于點C(0，?3).(1)求拋物線的解析式；(2)判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由；(3)拋物線上是否存在點N(點N與點M不重合)，使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等?若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=(x+1)2?4；(2)是，理由見解析；(3)存在，有3個滿足條件的點N，它們分別為N1(?2，?3)，N2(-2+222，32)【解析】(1)∵拋物線y=a(x+1)2?4與y軸相交于點C(0，?3)，∴?3=a(0+1)2?4，∴a=1.∴拋物線的解析式為y=(x+1)2?4；(2)△BCM為直角三角形.理由如下：解法一：將y=0代入y=(x+1)2?4，解得x1=?3，x2=1.∴A(1，0)，B(?3，0).∴OC=OB，∴∠OCB=45°.如圖1，過點M作MH⊥y軸于點H，∵頂點M的坐標為(?1，?4)，∴MH=CH=1，∴∠MCH=45°，∴∠BCM=180°?∠OCB?∠MCH=90°，∴△BCM為直角三角形.解法二：將y=0代入y=(x+1)2?4，解得x1=?3，x2=1.∴A(1，0)，B(?3，0).∵頂點M的坐標為(?1，?4)，∴由勾股定理得BC2=32+32=18，CM2=[(?3)?(?4)]2+12=2，BM2=[(?1)?(?3)]2+42=20，∴BC2+CM2=BM2，∴△BCM為直角三角形.(3)存在.由(2)知，BC2=18，CM2=2，∴BC=32，CM=2，∴S△BCM=12×BC×CM設點N的坐標為(t，t2+2t?3).①當點N位于x軸下方時，點N只能位于直線BC下方.如圖2，過點N作ND∥y軸交BC于點D，則D(t，?t?3).∴DN=(?t?