第八章圓錐曲線方程直線與圓錐曲線的位置關系第講5（第一課時）1考點搜索●直線與圓錐曲線公共點的個數的判定●弦長公式，中點弦、焦點弦●直線與圓錐曲線的方程及其幾何性質高考猜想1.通過直線與圓錐曲線的位置關系，求曲線的方程.2.根據直線與圓錐曲線的位置關系研究有關性質.21.設直線l的方程為:Ax+By+C=0，圓錐曲線方程為f(x，y)=0.

由

消去x(或y).如消去y后得ax2+bx+c=0(注意：若f(x,y)=0表示橢圓，則方程中a≠0)，為此有：

(1)若a=0,當圓錐曲線是雙曲線時,直線l與雙曲線的漸近線____________;當圓錐曲線是拋物線時,直線l與拋物線的對稱軸____________.

平行或重合平行或重合3(2)若a≠0，Δ=b2-4ac.

當Δ>0時，直線與圓錐曲線_______;

當Δ=0時，直線與圓錐曲線_______;

當Δ<0時，直線與圓錐曲線_______.2.直線與雙曲線(或拋物線)有且只有一個公共點，是直線與雙曲線(或拋物線)相切的____________條件；直線與橢圓有且只有一個公共點，是直線與橢圓相切的______條件.3.設直線與圓錐曲線相交于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，則相交相切相離必要非充分充要4(1)|P1P2|=⑧___________________.(2)當直線方程寫成y=kx+b(k∈R)形式時,其弦長用x1、x2表示為:|P1P2|=___________;用y1、y2表示為：|P1P2|=_____________.(3)若弦過焦點，可用____________來表示弦長，簡化運算.焦半徑之和54.設直線l與圓錐曲線C相交于A、B兩點，點M(x0，y0)為弦AB的中點，直線l的斜率為k，則當曲線C為橢圓(a>b>0)時,k=________;當曲線C為雙曲線

(a>0，b>0)時，k=________;當曲線C為拋物線y2=2px(p≠0)時，k=____.61.已知雙曲線C：過點P(1，1)作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有()A.1條B.2條C.3條D.4條解：數形結合法，與漸近線平行、與拋物線相切，選D.D72.已知對k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓恒有公共點，則實數m的取值范圍是()A.(0，1)B.(0，5)C.［1，5)∪(5，+∞)D.［1，5)解：直線y-kx-1=0恒過點(0，1)，僅當點(0，1)在橢圓上或橢圓內時，此直線才恒與橢圓有公共點.所以≤1且m＞0，m≠5得m≥1且m≠5.故選C.C83.過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于A、B兩點,已知|AB|=8,O為坐標原點,則△OAB的重心的橫坐標為___.解：由題意知拋物線焦點為F(1，0).易知x=1，不滿足|AB|=8,所以設過焦點F(1，0)的直線為y=k(x-1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).將直線方程代入拋物線方程消去y，得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.29因為k2≠0，所以x1x2=1.因為所以k2=1.所以△OAB的重心的橫坐標為101.已知知直直線線l的一一個個方方向向向向量量為為(1，tanα)，且且過過點點(-，0)，l交橢橢圓圓x2+9y2=9于A、B兩點點，，若若α為l的傾傾斜斜角角，，且且|AB|的長長不不小小于于短短軸軸的的長長，，求求α的取取值值范范圍圍.解：：依題題意意l的方方程程為為y=tanαα(x+).題型型1圓錐錐曲曲線線的的弦弦長長問問題題11將l的方方程程與與橢橢圓圓的的方方程程聯聯立立，，消消去去y，得則所以以由|AB|≥≥2，得得所以以所以以α的取取值值范范圍圍是是12點評：求解關于弦長長問題的主要要步驟是：聯聯立方程組，，消去一個未未知數，得到到一元二次方方程，然后由由韋達定理將將弦長轉化為為方程系數的的式子，便獲獲得所求問題題的解.本題由于l的方程由tanα給出，所以可可以認定α≠，否則涉及弦弦長計算時，，還應討論α=時的情況.13設直線l過雙曲線的的一個焦點點，交雙曲線線于A、B兩點，O為坐標原點.若求求|AB|的值.解：不妨設直線AB過右焦點F(2，0)，其斜率為k，則直線AB的方程為y=k(x-2).代入雙曲線方方程，得3x2-k2(x-2)2=3，即(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則14從而y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2［x1x2-2(x1+x2)+4］=因為即即x1x2+y1y2=0，所以解解得此時Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)>0.15又當AB⊥x軸時,點A(2,3),B(2,-3)不滿足足條件件，所以所以162.已知定定點F(1,0),過F作拋物物線E：y2=4x的兩條條互相相垂直直的弦弦AB、CD，設AB、CD的中點點分別別為G、H.求證：：直線線GH必過定定點Q(3，0).證明：：設A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)，H(xH，yH)，直線線AB的方程程為y=k(x-1)，①則②.由①-②，得yA+yB=，即yG=.題型2圓錐曲曲線的的中點點弦問問題17代入方方程y=k(x-1)，解解得所以點點G的坐標標為同理可可得點點H的坐標標為(2k2+1，，-2k).故直線線GH的斜率率為所以其其方程程為整理得得y(1-k2)=k(x-3).不論為為何值值，(3，，0)均滿滿足上上述方方程，，所以，，直線線GH必過定定點Q(3，，0).18點評：：解決與與中點點弦有有關的的問題題，一一般采采用““點差差法””，即即先將將弦端端點的的坐標標代入入圓錐錐曲線線的方方程，，然后后兩方方程相相減，，得到到弦中中點的的坐標標及連連線斜斜率的的式子子.同19已知知雙雙曲曲線線的的方方程程是是2x2-y2=2.(1)求以以A(2,1)為中中點點的的雙雙曲曲線線的(2)過點B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點，且點B是弦Q1Q2的中點？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.

解：(1)設以A(2,1)為中點的弦兩端點分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2)，則有x1+x2=4,y1+y2=2.20又由由對對稱稱性性知知x1≠x2，所所所在直線的斜率.由P1、P2在雙曲線上,則有2x12-y12=2,2x22-y22=2.兩式相減得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2×4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以所求中點弦所在的直線方程為y-1=4(x-2)，即4x-y-7=0.21(2)可假假定定直直線線l存在在，，同同理理，，求得得l的方方程程為為y-1=2(x-1)，即即2x-y-1=0.聯立立方方程程消去去y,得2x2-4x+3=0,然而而方方程程的的判判別別式式Δ=(-4)2-4××2××3=-8<0，無無實實根根，，因此此直直線線l與雙雙曲曲線線無無交交點點，，這這一一矛矛盾盾說說明了了滿滿足足條條件件的的直直線線l不存存在在.22如圖圖,已知知橢橢圓圓與拋拋物物線線(y-m)2=x的公公共共弦AB經過過橢橢圓圓的的右右焦焦點點F，且拋拋物物線線解：由橢圓方程知，點F(1，0).

據題意，直線AB不與x軸垂直，從而可設直線AB的方程為y=k(x-1)，題型型圓錐錐曲曲線線的的焦焦點點弦弦問問題題23代入入整整理理得得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.設點點A(x1,y1),B(x2,y2),則因為AB是橢圓圓的焦焦點弦弦，所所以又AB是拋物物線的的焦點點弦，，所以24從而有有所以于于是得k2=6，所以以因為拋拋物線線的焦焦點在在直線線AB上，所以251.在解析析幾何何中，，直線線與圓圓錐曲曲線的的位置置關系系可以以轉化化為二二元二二次方方程組組的解解的問問題進進行討討論，，但直直線與與曲線線只有有一個個交點點時須須除去去如下下兩種種情況況，此此直線線才是是曲線線的切切線：：一是是直線線與拋拋物線線的對對稱軸軸平行行；二二是直直線與與雙曲曲線的的漸近近線平平行.2.斜率為為k的直線線被圓圓錐曲曲線截截得弦弦AB，若A、