復變函數第五章習題及答案概要一、重點與難點重點：難點：留數的計算與留數定理留數定理在定積分計算上的應用2二、內容提要留數計算方法可去奇點孤立奇點極點本性奇點函數的零點與極點的關系留數定理留數在定積分上的應用31）定義

如果函數在

不解析,但在的某一去心鄰域內處處解析,則稱為的孤立奇點.1.孤立奇點的概念與分類孤立奇點奇點2）孤立奇點的分類依據在其孤立奇點的去心鄰域內的洛朗級數的情況分為三類:i)可去奇點;)極點;)本性奇點.4定義

如果洛朗級數中不含

的負冪項,那末孤立奇點

稱為

的可去奇點.i)可去奇點5)極點定義

如果洛朗級數中只有有限多個的負冪項,其中關于的最高冪為即級極點.那末孤立奇點稱為函數的或寫成6極點的判定方法在點的某去心鄰域內其中在的鄰域內解析,且的負冪項為有的洛朗展開式中含有限項.(a)由定義判別(b)由定義的等價形式判別(c)利用極限判斷.7如果洛朗級數中含有無窮多個那末孤立奇點稱為的本性奇點.的負冪項,注意:在本性奇點的鄰域內不存在且不為)本性奇點8i)零點的定義不恒等于零的解析函數如果能表示成其中在解析且m為某一正整數,那末稱為的

m級零點.3)函數的零點與極點的關系ii)零點與極點的關系如果是的m級極點,那末就是的

m級零點.反過來也成立.92.留數記作定義

如果的一個孤立奇點,則沿內包含的任意一條簡單閉曲線

C的積分的值除后所得的數稱為以101)留數定理

設函數在區域

D內除有限個孤外處處解析,C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,那末立奇點留數定理將沿封閉曲線C積分轉化為求被積函數在C內各孤立奇點處的留數.11(1)如果為的可去奇點,則如果為的一級極點,那末a)(2)如果為的本性奇點,則需將成洛朗級數求展開(3)如果為的極點,則有如下計算規則2)留數的計算方法12c)設及在如果那末為一級極點,且有都解析，如果為的級極點,那末b)13也可定義為記作1.定義設函數在圓環域內解析C為圓環域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線那末積分值為在的留數.的值與C無關,則稱此定3)無窮遠點的留數14如果函數在擴充復平面內只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點(包括

點)的留數的總和必等于零.定理153.留數在定積分計算上的應用1）三角函數有理式的積分當歷經變程時,z沿單位圓周的正方向繞行一周.16172）無窮積分183）混合型無窮積分19特別地20定義具有下列形式的積分:內零點的總個數,P為

f(z)在C內極點的總個數.其中,N為

f(z)在C且C取正向.21如果

f(z)在簡單閉曲線C上與C內解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C內零點的個數等于乘以當z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.輻角原理路西定理22三、典型例題解23解2425例2求函數的奇點，并確定類型.解是奇點.是二級極點;是三級極點.26例3證明是的六級極點.證27例4求下列各函數在有限奇點處的留數.解(1)在內,28解29解為奇點,當時為一級極點，3031解的一級極點為32例5計算積分為一級極點，為七級極點.解33由留數定理得34例6

解在內,3536解例7計算3738例8

計算解令39