第4章平面向量、數系的擴充與復數的引入第4課時數系的擴充與復數的引入

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考溫故夯基·面對高考第4課時數系的擴充與復數的引入溫故夯基·面對高考1．復數的概念(1)復數：形如a＋bi(a，b∈R)的數，其中i叫做虛數單位，a和b分別叫做它的_____和_____．(2)復數相等：a＋bi＝c＋di?____________.(3)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?____________.實部虛部a＝c且b＝da＝c；b＝－db≠0a＝0a≠0思考感悟已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，若z1＞z2，則a＞c說法正確嗎？提示：正確．因為z1，z2至少有一個為虛數時是不能比較大小的，故z1，z2均為實數，即z1＝a，z2＝c，所以z1＞z2，即a＞c.

2．復數的幾何意義(1)復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面，橫軸叫做實軸，____叫做虛軸．實軸上的點都表示_____；除原點外，虛軸上的點都表示_______．(2)復數與點：復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．(3)復數與向量：復數z＝a＋bi平面向量＝(a，b)(a，b∈R)．(4)復數的模：向量的模r叫做復數z＝a＋bi的模，記作____________，即|z|＝|a＋bi|＝__________.豎軸實數純虛數|z|或|a＋bi|(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)考點探究·挑戰高考考點突破考點一復數的有關概念及其幾何意義當實數a為何值時，復數z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i(1)為實數；(2)為純虛數；(3)對應的點在第一象限內？【思路分析】由復數的分類條件和復數的幾何意義求解．【解】

(1)由z為實數，得a2－3a＋2＝0，即(a－1)(a－2)＝0，解得a＝1或a＝2.例1【規律小結】在復平面內內，實數全全部落在實實軸即x軸上，純虛虛數在除原原點外的虛虛軸即y軸上，而其其他復數均均在四個象象限內．在在第一象限限a＞0，b＞0；第二象限限a＜0，b＞0；第三象限限a＜0，b＜0；第四象限限a＞0，b＜0.互動探究將本例中的的第(3)問改為“對對應的點在在第三象限限”，又如如何求解？？考點二復數相等例2【思路分析】等式兩邊同同乘a＋bi，利用復數數相等列方方程．【答案】A考點三復數的四則運算復數的四則則運算類似似于多項式式的四則運運算，此時時含有虛數數單位i的看作一類類同類項，，不含i的看作另一一類同類項項，分別合合并即可，，但要注意意把i的冪寫成最最簡單的形形式，在運運算過程中中，要熟悉悉i的特特點點及及熟熟練練應應用用運運算算技技巧巧．．例3【思路路分分析析】主要要是是應應用用復復數數加加、、減減、、乘乘、、除除的的運運算算法法則則及及其其運運算算技技巧巧．．【答案案】C【名師師點點評評】在進進行行復復數數的的代代數數運運算算時時，，記記住住以以下下結結論論，，可可提提高高計計算算速速度度．．(1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－－2i；(3)＝i；(4)＝－－i；(5)－b＋ai＝i(a＋bi)．方法感悟方法法技技巧巧1．復復數數的的代代數數運運算算(1)復數數代代數數運運算算的的實實質質是是轉轉化化為為實實數數運運算算，，在在轉轉化化時時常常用用的的知知識識有有復復數數相相等等，，復復數數的的加加、、減減、、乘乘、、除除運運算算法法則則，，模模的的性性質質，，共共軛軛復復數數的的性性質質等等．．(2)復數數的的代代數數運運算算常常考考查查的的是是一一些些特特殊殊復復數數(如i、1±±i等)的運運算算，，這這就就要要求求熟熟練練掌掌握握特特殊殊復復數數的的運運算算性性質質以以及及整整體體消消元元的的技技巧巧，，才才能能減減少少運運算算量量，，節節省省運運算算時時間間，，達達到到事事半半功功倍倍的的效效果果．．2．復復數數的的幾幾何何意意義義(1)|z|表示示復復數數z對應應的的點點與與原原點點間間的的距距離離．．(2)|z1－z2|表示示兩兩點點間間的的距距離離，，即即表表示示復復數數z1與z2對應應點點間間的的距距離離．．失誤誤防防范范1．判判定定復復數數是是實實數數，，僅僅注注重重虛虛部部等等于于0是不不夠夠的的，，還還需需考考慮慮它它的的實實部部是是否否有有意意義義．．2．對對于于復復系系數數(系數數不不全全為為實實數數)的一一元元二二次次方方程程的的求求解解，，判判別別式式不不再再成成立立．．因因此此解解此此類類方方程程的的解解，，一一般般都都是是將將實實根根代代入入方方程程，，用用復復數數相相等等的的條條件件進進行行求求解解．．3．兩個虛數不不能比較大小小．4．利用復數相相等a＋bi＝c＋di列方程時，注注意a，b，c，d∈R的前提條件．．5．z2＜0在復數范圍內內有可能成立立，例如：當當z＝3i時z2＝－9＜0.考向瞭望·把脈高考考情分析從近幾年的廣廣東高考試題題來看，復數數的基本概念念、復數相等等的充要條件件以及復數的的代數運算是是高考的考點點，每套高考考試卷都有一一個小題，并并且一般在前前三題的位置置上，主要考考查對復數概概念的理解以以及復數的四四則運算．預測2012年廣東高考，，仍將以復數數的基本概念念以及復數的的代數運算為為主要考點，，重點考查運運算能力及轉轉化與化歸思思想、方程思思想．真題透析(2010年高考廣東卷卷)若復數z1＝1＋i，z2＝3－i，則z1·z2＝()A．4＋2iB．2＋iC．2＋2iD．3＋i【解析】∵z1＝1＋i，z2＝3－i，∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.【答案】A【名師點評】本題考查復數數代數形式的的乘法運算，，求解時應注注意按復數乘乘法的運算法法則進行，同同時應注意i2＝－1.例名師預測1．下列命題正正確的是()①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若a＞b，則a＋i＞b＋i；④若z∈C，則z2＞0.A．①②B．①③C．②③D．①②④答