3．4.2基本不等式的應用課標定位基礎知識梳理1．基本不等式與最值已知x、y都是正數，(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y時，積xy取得____________.(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得____________.上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．2．利用基本不等式求最值時，應注意的問題(1)各項均為正數，特別是出現對數式、三角函數式等形式時，要認真判斷．(2)求和的最小值需積為定值，求積的最大值需和為定值．(3)確保等號成立．以上三個條件缺一不可．可概括為“一正、二定、三相等”．(4)連續應用基本不等式時，要注意各不等式取等號時條件是否一致，若不能同時取等號，則不能求出最值．課堂互動講練題型一利用基本不等式求函數的最值1．運用該不等式求最值時，要注意三個條件：(1)一“正”(使用基本不等式時，各項必須為正數)；【分析】由題目可獲取以下主要信息：①函數解析式為分式且分子的次數高于分母；②由x＞1得x－1＞0.解答本題可先對分子添項湊出因式x－1，將分子中變量分離出來，再添項湊出乘積為定值的形式，用基本不等式求最值．例1【點評評】(1)利用用基基本本不不等等式式求求最最值值的的關關鍵鍵是是獲獲得得定定值值條條件件，，解解題題時時應應對對照照已已知知和和欲欲求求的的式式子子運運用用適適當當的的“拆項項、、添添項項、、配配湊湊、、變變形形”等方方法法創創設設應應用用基基本本不不等等式式的的條條件件．．(2)等號號取取不不到到時時，，注注意意利利用用求求函函數數最最值值的的其其他他方方法法，，如如利利用用單單調調性性、、數數形形結結合合、、換換元元法法、、判判變式訓練在利利用用基基本本不不等等式式求求最最值值時時，，除除注注意意“一正正、、二二定定、、三三相相等等”的條件外外，最重重要的是是構建“定值”，恰當變變形、合合理拆分分項或配配湊項是是常用的的解題技技巧．題型二含條件的最值的求法已知x＞0，y＞0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值值．【分析】解答本題題可先通通過不等等式的放放縮把方方程轉化化為不等等式，然然后通過過解不等等式求范范圍．例2【點評】對于通過過方程求求條件的的最值，，一般有有兩種思思路：一一是通過過不等式式的放縮縮將其變變為不等等式；二二是轉化化為函數數問題．．比較來來看，法法一運算算量小，，但對x、y的范圍有有限制，，且要求求取到“＝”；法二二的適適用范范圍更更廣，，更好好地體體現了了函數數的思思想．．互動探究求實際際問題題的步步驟：：(1)設變量量，建建立目目標函函數，，注意意實際際意義義對變變量范范圍的的影響響．(2)利用基基本不不等式式，求求函數數的最最值．．(3)得出實實際問問題的的解．．題型三利用基本不等式解應用題如圖所所示，，動物物園要要圍成成相同同面積積的長長方形形虎籠籠四間間，一一面可可利用用原有有的墻墻，其其他各各面用用鋼筋筋網圍圍成．．(1)現有36m長的材材料，，每間間虎籠籠的長長、寬寬各設設計為為多少少時，，可使使每間間虎籠籠面積積最大大？(2)若使每每間虎虎籠面面積為為24m2，則每每間虎虎籠的的長、、寬各各設計計為多多少時時，可可使圍圍成四四間虎虎籠的的鋼筋筋網總總長最最小？？例3【分析】由題目目可知知，問問題(1)中材料料一定定，問問題(2)中虎籠籠面積積為定定值．．解答本本題可可設每每間虎虎籠長長xm，寬ym，則問問題(1)是在4x＋6y＝36的前提提下求求xy的最大大值；；而問問題(2)則是在在xy＝24的前提提下求求4x＋6y的最小小值，，所以以可用用基本本不等等式求求解．．【解】(1)設每間間虎籠籠長xm，寬為為ym，則由條條件得得4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18，設每間間虎籠籠面積積為S，則S＝xy.【點評】在應用用基本本不等等式解解決實實際問問題時時，應應注意意如下下思路路和方方法：：(1)先理解解題意意，設設出變變量，，一般般把要要求最最值的的量定定為函函數；；(2)建立相相應的的函數數關系系，把把實際際問題題抽象象成函函數的的最大大值或或最小小值問問題；；(3)在定義域內內，求出函函數的最大大值或最小小值；(4)正確寫出答答案．變式訓練規律方法總結1．要注意應應用過程中中基本不等等式成立的的條件，尤尤其是取等等號的條件件是否具備備，否則可可能會出現現錯解．2．用均值不不等式求函函數的最值值，是值得得重視的一一種方法，，但在具體體求解時，，應注意考考查下列三三個條件：：(1)函數的解析析式中，各各項均為正正數；