專題03解三角形技巧導圖技巧導圖技巧詳講技巧詳講射影內容中線定理1.中線定理推導2.三角形面積3.三角形的周長角平分線定理角平分線上的點到兩邊的距離相等三角形的一個角的角平分線,這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例即技巧舉證技巧舉證技巧一三角形的射影定理【例1】（2017?新課標Ⅱ）的內角，，的對邊分別為，，，若，則．【答案】【解析】技巧法：由射影定理可得，，，故答案為：常規法：，由正弦定理可得，，，，，，故答案為：【舉一反三】1.（2020?青島模擬）在中，內角，，所對的邊分別是，，，若，且，則B=【答案】【解析】技巧法：由射影定理可得，因為，則．常規法：因為，由正弦定理可得，，因為，所以，所以，因為，則．2（2020?安徽模擬）在中，角，，的對邊分別為，，．若，，，則的面積為。【答案】 【解析】技巧法：由射影定理可得，，得．，解得．則的面積．常規法：，，，即，，解得，，解得．，解得．則的面積．3（2020?南充模擬）的內角，，的對邊分別為，，，若，則內角C=。【答案】【解析】技巧法：由射影定理可得故，又，所以．常規法：由正弦定理得：，即，即，由于，故，又，所以．技巧2三角形的中線定理【例2】（2020·梅河口市第五中學高三（理））在中，，已知邊上的中線，則面積的最大值為__________．【答案】.【解析】技巧法：常規法：在△ABC中，，BC邊上的中線AD=3，，設AB＝c，AC＝b，平方可得9＝.化簡可得，，∴bc≤36，當且僅當時成立，故△ABC的面積S＝故答案為【舉一反三】1．（2020·廣東高三月考（理））在中，，已知BC邊上的中線，則面積的最大值為______.【答案】【解析】技巧法：常規法：中，，邊上的中線長為3，，設，，平方可得：，化簡可得，，可得：，故的面積．故答案為：．2．（2020·全國）在銳角三角形中，角、、的對邊分別為、、，向量，，且.（1）求角；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因為，，，所以，由正弦定理得.因為，所以，所以，因為，所以；（2）因為的面積為，所以，因為，，所以.在中，為的中點，，由余弦定理得.所以.技巧3角平分線的定理【例3】（2020·梅河口市第五中學）已知中，．是的角平分線，交于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的長．【答案】（I）；（II）.【解析】（Ⅰ）在中，，在中，因為是的角平分線，所以（Ⅱ）法一：由題知，所以，所以法二：所以【舉一反三】1．（2019·江蘇）在中，，，角A的角平分線，則______.【答案】【解析】由題意，，，角的角平分線，在中，由正弦定理：，可得，則，所以，那么，則，所以．在中，由正弦定理：，所以.可得．故答案為：.2．（2020·梅河口市第五中學高一期末（文））已知中，是的角平分線，交于.（1）求的值；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，，在中，，因為是的角平分線，所以.（2）設，則，所以，所以，所以.3．（2019·河南高考模擬（理））在中，，，為的內角平分線，.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求角的大小【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：在三角形ACD中,由正弦定理得：因為（Ⅱ）在三角形ABD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得又技巧強化技巧強化1.（2020春?上饒月考）在中，角，，的對邊分別是，，，且面積為，若，，則角等于【答案】 【解析】技巧法：由射影定理可得所以，故，，，，故，則角．常規法：因為，由正弦定理可得，，即，因為，所以，故，，，，故，則角．2.（2020春?路南區校級月考）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且．若，的面積為，則b+c=【答案】4 【解析】技巧法：由射影定理可得所以即，所以，，所以，因為，由余弦定理可得，，故．常規法：因為．由正弦定理可得，．因為，所以即，所以，，所以，因為，由余弦定理可得，，故．3．（2019·福建高三（理））已知為等腰三角形，，邊上的中線的長為7，則的面積為__________．【答案】【解析】【分析】先設等腰三角形的腰長為，進而可得底邊的長，再由余弦定理列出方程，即可求出，從而可得結果.【詳解】設等腰三角形的腰長為，因為，所以，由余弦定理可得：，，因為與互補，所以，即，解得，所以，所以故答案為4．（2020·本溪市燕東高級中學）已知三角形兩邊長分別為和，第三邊上的中線長為，則三角形的外接圓半徑為________.【答案】1【解析】分析：設AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點，BC=2x，則BD=DC=x，由余弦定理求出cos∠ADB，cos∠ADC通過cos∠ADB=﹣cos∠ADC，代入可求BC，則可得A=90°，外接圓的直徑2R=BC，從而可求結果．詳解：設AB=1，AC=，AD=1，D為BC邊的中點，BC=2x，則BD=DC=x，△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，△ADC中，由余弦定理可得，cos∠ADC=，因為cos∠ADB=﹣cos∠ADC所以=﹣∴x=1∴BC=2∴AB2+AC2=BC2即A=90°∴外接圓的直徑2R=BC=2，從而可得R=1故答案為：1．5．（2020·浙江省杭州第二中學高三）中，，，，則邊上的中線長_______.【答案】1【解析】設，，，由余弦定理得：，所以，或（舍去），在中，，由余弦定理得：，所以.故答案為：.6．（2020·商丘市第一高級中學）在中，，．邊上的中線，則_____．【答案】【解析】技巧法：常規法：設，中，，中，，,，解得：，，中，,,.故答案為：7．（2020·新疆高三月考（理））在中，已知,，BC邊上的中線，則________．【答案】【解析】如圖所示，由中線長定理可得：，由余弦定理得到：，即．聯立成方程組，解得：，故由可得，．故答案為：8．（2019·浙江）若銳角的面積為，則邊上的中線為_________．【答案】【解析】技巧法：銳角的面積為，，，則：，解得：，所以：，所以：，解得：．根據中線定理可得常規法：銳角的面積為，，，則：，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：故答案為9．（2019·遼寧高三（理））已知△，，，是邊上的中線，且，則的長為__________．【答案】【解析】取AB中點E，因為D為BC中點，所以,由余弦定理得，即10．（2020·全國高三月考（理））在中，角的平分線長，角，，則__________．【答案】.【解析】設角B的平分線為，由正弦定理得，即，得，，，．即答案為.11．（2020·濱海縣八灘中學高三）在中，，，的角平分線，則________.【答案】【解析】由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因為，所以．所以，所以＝，所以．12．（2020·全國）在中，，的角平分線交于點，若，，則______.【答