§2-1概述

矩陣位移法的理論基礎是傳統的位移法，只是它的表達形式采用矩陣代數，而這種數學算法便于編制計算機程序，實現計算過程的程序化。一、矩陣位移法的基本思路

矩陣位移法又可以稱為桿件結構的有限元法；矩陣位移法的兩個基本步驟是（1）結構的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析，任務意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元剛度矩陣用矩陣形式表示桿件的轉角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結點力與結點位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個位移分量，這是平面結構桿件單元的一般情況。二、桿端位移、桿端力的正負號規定一般單元：凡是符號上面帶了一橫杠的就表示是基于局部座標系而言的。

現在討論單元剛度方程。單元剛度方程是指由單元桿端位移求單元桿端力時的一組方程，可以用“”表示，由位移求力稱為正問題。在單元兩端加上人為控制的附加約束，使基本桿單元的兩端產生任意指定的六個位移，然后根據這六個桿端位移來推導相應的六個桿端力。我們忽略軸向受力狀態和彎曲受力狀態之間的相互影響，分別推導軸向變形和彎曲變形的剛度方程?！?-2單元剛度矩陣(局部座標系)進行單元分析，推導單元剛度方程和單元剛度矩陣。一、一般單元首先，由兩個桿端軸向位移可推算出相應的桿端軸向力eeeee12其次，由桿端橫向位移可以用角變位移方程推導出相應的桿端橫向力eeeeeee將上面六個方程合并，寫成矩陣形式：EAl6EIl2

6EIl2

EAl12EIl3

12EI

l34EIl2EIl上面的式子可以用矩陣符號記為eeee這就是局部座標系中的單元剛度方程。e可求單元桿端力ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI

l206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2

EAl-12EIl3

12EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只與桿件本身性質有關而與外荷載無關通過這個式子由單元桿端位移局部座標系的單元剛度矩陣二、單元剛度矩陣的性質（1）單元剛度系數的意義e—代表單元桿端第j個位移分量等于1時所引起的第i個桿端力分量。例如代表單元桿端第2個位移分量時所引起的第5個桿端力分量的數值。（2）單元剛度矩陣是對稱矩陣，e即。（3）一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e從數學上可以證明一般單元的剛度矩陣e的行列式e=0因此它的逆矩陣不存在從力學上的理解是，根據單元剛度方程eeeeeee由有一組力的解答(唯一的)，即正問題。由如果e不是一組平衡力系則無解；若是一組平衡力系，則解答不是唯一的，即反問題。三、特殊單元若單元六個桿端位移中有某一個或幾個已知為零，則該單元稱為特殊單元，其剛度方程是一般單元剛度方程的特例。e以連續梁為例：12eeee12eeeeeeeee為了程序的標準化和通用性，不采用特殊單元，只用一般單元，如果結構有特殊單元，可以通過程序由一般單元來形成?！?-3單元剛度矩陣(整體座標系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee座標轉換矩陣單元桿端力的轉換式、單剛的轉換式一、單元座標轉換矩陣正交矩陣[T]-1=[T]T或

[T][T]T=[T]T[T]=[I]于是可以有同理可以有eeeeee??（解決與[k]

的關系）ee在局部座標系中桿端力與桿端位移的關系式表達為：eee在整體座標系中桿端力與桿端位移的關系式可以表達為：(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}

=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]T

ke[T]e(e)[k]e的性質與ek一樣