河南省九師聯盟2023～2023學年高三1月質量檢測數學（文科）一、選擇題1.已知集合A＝{3，2，1，0，－1}，B＝{x|≤1}，則A∩B＝()A.{2，1}B.{2，1，0}C.{3，2，1}D.{1，0}【答案】A【解析】【分析】根據集合的交集運算求解即可.【詳解】B＝{x|≤1}，集合A＝{3，2，1，0，－1}，A∩B＝{2，1}.故答案為：A.【點睛】這個題目考查了集合的交集的運算，題目簡單.2.已知i是虛數單位，若復數（a，b∈R），則ab＝()A.－1B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根據復數相等的概念得到參數值，進而求解.【詳解】已知i是虛數單位，若復數，根據復數相等得到故ab=-1.故答案為：A.【點睛】這個題目考查了復數相等的概念，只需要實部和虛部分別相等即可.3.“x＞5”是“＞1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件【答案】D【解析】【分析】解出不等式的解集，得到不等式的充要條件，進而判斷結果.【詳解】,故得到“x＞5”是“＞1”的充要條件.故答案為：D.【點睛】這個題目考查了充分必要條件的判斷，題目基礎.判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．4.以A（－2，1），B（1，5）為半徑兩端點的圓的方程是()A.（x＋2）2＋（y－1）2＝25B.（x－1）2＋（y－5）2＝25C.（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25D.（x＋2）2＋（y－1）2＝5或（x－1）2＋（y－5）2＝5【答案】C【解析】【分析】根據題干條件得到圓心，由兩點間距離公式得到半徑，進而得到結果.【詳解】根據條件知，圓心為A（－2，1）或B（1，5），半徑為兩點AB間的距離，根據兩點間距離公式得到.根據圓心和半徑依次判斷選項得到方程為：（x＋2）2＋（y－1）2＝25或（x－1）2＋（y－5）2＝25.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了圓的標準方程的求法，一般已知圓的半徑和圓心，則考慮用圓的標準方程，已知圓上3個點，則考慮用圓的一般方程.5.某單位為了制定節能減排的目標，調查了日用電量y（單位：千瓦時）與當天平均氣溫x（單位：℃），從中隨機選取了4天的日用電量與當天平均氣溫，并制作了對照表：x171510－2y2434a64由表中數據的線性回歸方程為，則a的值為()A.42B.40C.38D.36【答案】C【解析】【分析】由公式計算得到樣本中心的坐標，代入方程可得到參數值.【詳解】回歸直線過樣本中心，樣本中心坐標為,,代入方程得到+60，解得a=38.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了回歸直線方程的應用，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關關系的變量的數據間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與y之間的關系，這條直線過樣本中心點．6.在△ABC中，，b＝2，其面積為，則等于()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由面積公式得到c=4,再由余弦定理得到a邊長度，最終由正弦定理得到結果.【詳解】△ABC中，，b＝2，其面積為由余弦定理得到，代入數據得到故答案為：B.【點睛】這個題目考查了正余弦定理解三角形的應用，在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.7.若拋物線的準線經過雙曲線的一個焦點，則實數m的值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根據題干得到雙曲線的一個焦點為，再由雙曲線中a,b,c的隱含關系得到參數值.【詳解】拋物線的準線為，雙曲線的一個焦點為根據雙曲線的標準方程得到故答案為：A.【點睛】這個題目考查了拋物線的標準方程的應用，以及雙曲線標準方程的求法，題目基礎.8.已知三棱錐的四個頂點均在同一個球面上，底面滿足，，若該三棱錐體積的最大值為3，則其外接球的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，所以外接圓的半徑是，設外接球的半徑是，球心到該底面的距離，如圖，則，由題設最大體積對應的高為，故，即，解之得，所以外接球的體積是，應選答案D。9.下面框圖的功能是求滿足1×3×5×…×n＞111111的最小正整數n，則空白處應填入的是()A.輸出i＋2B.輸出iC.輸出i－1D.輸出i－2【答案】D【解析】【分析】根據框圖，寫出每一次循環的結果，進而做出判斷.【詳解】根據程序框圖得到循環是：M=……之后進入判斷，不符合題意時，輸出，輸出的是i-2.故答案為：D.【點睛】這個題目考查了循環結構的程序框圖，這種題目一般是依次寫出每一次循環的結果，直到不滿足或者滿足判斷框的條件為止.10.設a＞1，若僅有一個常數c使得對于任意的x∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]滿足方程axay＝c，則a的取值集合為()A.{4}B.{，2}C.{2}D.{}【答案】C【解析】【分析】首先將函數變形為是減函數，x∈[a，a3]時，問題轉化為再由c的唯一性得到c值，進而得到參數a的值.【詳解】方程axay＝c,變形為是減函數，當x∈[a，a3]時，因為對于任意的x∈[a，a3]，都有y∈[1＋loga2－a3，2－a]滿足axay＝c，故得到因為c的唯一性故得到進而得到a=2.故答案為：C.【點睛】這個題目考查了指對運算，考查了函數的值域的求法，以及方程的思想，綜合性比較強.11.已知正方形ABCD內接于⊙O，在正方形ABCD中，點E是AB邊的中點，AC與DE交于點F，若區域M表示⊙O及其內部，區域N表示△AFE及△CDF的內部，如圖所示的陰影部分，若向區域M中隨機投一點，則所投的點落入區域N中的概率是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設出正方形的邊長，表示出圓的面積，進而得到陰影部分的面積，根據幾何概型的概率公式求解即可.【詳解】設正方形的邊長為2，則圓的半徑為根據△AFE及△CDF的相似性得到△AFE的高為△CDF高為，面積之和為所投的點落入區域N中的概率是：.故答案為：B.【點睛】本題考查了幾何概型概率的求法；在利用幾何概型的概率公式來求其概率時，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度，面積、體積時的等可能性主要體現在點落在區域Ω上任意位置都是等可能的，而對于角度而言，則是過角的頂點的一條射線落在Ω的區域（事實也是角）任意位置是等可能的．12.設函數f（x）是定義在區間（1，＋∞）上的函數，f'（x）是函數f（x）的導函數，且xf'（x）lnx＞f（x）（x＞1），f（e2）＝2，則不等式f（ex）＜x的解集是()A.（－∞，2）B.（2，＋∞）C.（1，2）D.（0，2）【答案】D【解析】【分析】構造函數，對函數求導，得到函數的單調性，進而得到解集.【詳解】構造函數，定義在區間（，＋∞）上,對函數求導得到：xf'（x）lnx＞f（x）（），即xf'（x）lnx-f（x）>0,故得到，函數單調遞增，不等f（ex）＜x即，，根據函數的定義域以及函數單調性得到.故答案為：D.【點睛】這個題目考查了導數在研究函數的單調性中的應用，對于解不等式的問題，比較簡單的題目，可以直接解不等式；直接解比較困難的問題，可以研究函數的單調性，奇偶性等，直接比較自變量的大小即可.二、填空題13.向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影為________．【答案】【解析】【分析】根據投影的定義得到向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影為計算得到結果即可.【詳解】設兩個向量的夾角為，向量＝（1，1）在＝（2，3）上的投影為根據向量的點積的坐標公式得到，代入得到結果為.故答案為：.【點睛】這個題目考查了向量的點積公式的應用，以及模長的計算，投影的定義，題目基礎.14.為了解世界各國的早餐飲食習慣，現從由中國人、美國人、英國人組成的總體中用分層抽樣的方法抽取一個容量為m的樣本進行分析．若總體中的中國人有400人、美國人有300人、英國人有300人，且所抽取的樣本中，中國人比美國人多10人，則樣本容量m＝________．【答案】100【解析】【分析】根據分層抽樣的定義，根據條件建立比例關系即可得到結論．【詳解】根據分層抽樣的概念得到三國的人抽得的比例為4：3：3，設中國人抽取x人，則美國人抽取x-10,英國人抽取x-10人，根據比例得到.美國人：30人，英國人30人，共100人.故答案為：100.【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件建立比例關系是解決此類問題的基本方法，比較基礎．15.當時，函數y＝x2（2－3x2）的最大值為________．【答案】【解析】【分析】通過換元得到，結合二次函數的性質得到結果.【詳解】當,,結合二次函數的性質得到函數的最值在軸處取得，代入得到故答案為：.【點睛】這個題目考查了二次函數的性質的應用，考查了二次函數在給定區間上的最值的求法.一般要考慮二次函數的對稱軸是否在區間內.16.已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側棱垂直于底面，且底面是平行四邊形，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為16，AD＝2，DC＝4，則此球的表面積為________．【答案】24π【解析】【分析】通過分析題干得到四棱柱是長方體，外接球的球心是體對角線的中點，體對角線長為：，進而得到球的面積.【詳解】已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側棱垂直于底面，且底面是平行四邊形,因為四棱柱的底面會位于一個圓面上，故四邊形應該滿足四點共圓，對角互補，結合這些性質得到上下底面是長方形，故該四棱柱是長方體，體積為：外接球的球心是體對角線的中點，體對角線長為：故球的表面積為：故答案為：24π【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題17.已知在等比數列{an}中，＝2，，＝128，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且{}為等差數列．（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；（2）求數列{bn}的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)根據等比數列的性質得到＝64，＝2，進而求出公比，得到數列{an}的通項，再由等差數列的公式得到結果；（2）根據第一問得到通項，分組求和即可.【詳解】（1）設等比數列{an}的公比為q．由等比數列的性質得a4a5＝＝128，又＝2，所以＝64．所以公比．所以數列{an}的通項公式為an＝a2qn－2＝2×2n－2＝2n－1．設等差數列{}的公差為d．由題意得，公差，所以等差數列{}的通項公式為．所以數列{bn}的通項公式為（n＝1，2，…）．（2）設數列{bn}的前n項和為Tn．由（1）知，（n＝1，2，…）．記數列{}的前n項和為A，數列{2n－2}的前n項和為B，則，．所以數列{bn}的前n項和為．【點睛】這個題目考查了數列的通項公式的求法，以及數列求和的應用，常見的數列求和的方法有：分組求和，錯位相減求和，倒序相加等.18.2023年雙11當天，某購物平臺的銷售業績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？對服務好評對服務不滿意合計對商品好評140對商品不滿意10合計200（2）若針對服務的好評率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易，并從中選擇兩次交易進行客戶回訪，求只有一次好評的概率．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）詳見解析（2）0.5【解析】【分析】(1)根據題干條件得到列聯表，由公式得到的觀測值k，進行判斷即可；（2）采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易，則好評的交易次數為3次，不滿意的次數為1次，從4次交易中，取出2次的所有取法為6種，其中只有一次好評的情況是3種，由古典概率的公式得到結果.【詳解】（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯表：對服務好評對服務不滿意合計對商品好評14040180對商品不滿意101020合計15050200則．由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關．（2）若針對商品的好評率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出4次交易，則好評的交易次數為3次，不滿意的次數為1次．記好評的交易為A，B，C，不滿意的交易為a，從4次交易中，取出2次的所有取法為（A，B），（A，C），（A，a），（B，C），（B，a），（C，a），共6種情況，其中只有一次好評的情況是（A，a）、（B，a）、（C，a），共3種，因此只有一次好評的概率為．【點睛】這個題目考查了分層抽樣的概念，古典概型的公式，對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可.19.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直于底面，∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，AA1＝3．（1）求三棱柱ABC－A1B1C1的體積；（2）若M是棱BC的一個靠近點C的三等分點，求證：AM⊥平面ABB1A1．【答案】（1）（2）詳見解析【解析】【分析】(1)根據體積公式底面積乘以高，代入數據即可；（2）根據余弦定理得到AM=CM,結合等腰三角形底角相等得到AM⊥AB，再由側楞垂直于底面得到AA1⊥AM，進而得證.【詳解】（1）因為∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，所以．所以．（2）證明：在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2×AC×AB×cos∠BAC，所以．因為M是棱BC的一個靠近點C的三等分點，所以．因為∠BAC＝120°，AC＝AB＝2，所以∠ACB＝∠ABC＝30°．由余弦定理，得AM2＝AC2＋CM2－2×AC×CM×cos∠ACB，所以．所以CM＝AM．所以∠ACM＝∠CAM＝30°．所以∠MAB＝∠CAB－∠CAM＝120°－30°＝90°．即AM⊥AB．易知AA1⊥平面ABC，AM平面ABC，所以AA1⊥AM．又因為AB∩AA1＝A，所以AM⊥平面ABB1A1．【點睛】這個題目考查了棱柱體積的求法，以及線面垂直的證明，證明線面垂直一般先證線線垂直；或者可以由面面垂直的性質得到線面垂直.20.已知點O為坐標原點，橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，點I，J分別是橢圓C的右頂點、上頂點，△IOJ的邊IJ上的中線長為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點H（－2，0）的直線交橢圓C于A，B兩點，若AF1⊥BF1，求直線AB的方程．【答案】（1）（2）x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0【解析】【分析】(1)由直角三角形中線性質得到，再根據條件得到求解即可；（2）設出直線AB，聯立直線和橢圓得到二次方程，由AF1⊥BF1，得到，整理得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0，代入韋達定理即可.【詳解】（1）由題意得△IOJ為直角三角形，且其斜邊上的中線長為，所以．設橢圓C的半焦距為c，則解得所以橢圓C的標準方程為．（2）由題知，點F1的坐標為（－1，0），顯然直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y＝k（x＋2）（k≠0），點A（x1，y1），B（x2，y2）．聯立消去y，得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－2＝0，所以Δ＝（8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）＝8（1－2k2）＞0，所以．（*）且，．因為AF1⊥BF1，所以，則（－1－x1，－y1）·（－1－x2，－y2）＝0，1＋x1＋x2＋x1x2＋y1y2＝0，1＋x1＋x2＋x1x2＋k（x1＋2）·k（x2＋2）＝0，整理，得（1＋2k2）（x1＋x2）＋（1＋k2）x1x2＋1＋4k2＝0．即．化簡得4k2－1＝0，解得．因為都滿足（*）式，所以直線AB的方程為或．即直線AB的方程為x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0．【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．21.已知函數（a＞0）．（1）討論函數f（x）的單調性；（2）證明：對任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】(1)對函數求導，分情況討論導函數的正負，進而得到單調區間；（2）構造函數，對函數求導，研究函數的單調性，得到函數的最值，證明函數的最大值小于0即可.【詳解】（1）解：．①當0＜a≤1時，由f'（x）＜0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＜0，解得；由f'（x）＞0，得[（1＋a）x－1][（1－a）x＋1]＞0，解得．故函數f（x）的單調遞減區間為（0，），單調遞增區間為（，＋∞）．②當a＞1時，由f'（x）＜0，得或；由f'（x）＞0，得．故函數f（x）的單調遞減區間為（0，），（，＋∞），單調遞增區間為．（2）證明：構造函數，則．因為Δ＝（2a）2－4（1＋a2）＜0，所以（1＋a2）x2－2ax＋1＞0，即g'（x）＜0．故g（x）在區間[1，＋∞）上是減函數．又x≥1，所以g（x）≤g（1）＝－（1＋a2）＋1＋a2＝0．故對任意x∈[1，＋∞），有f（x）≤2x－a2．【點睛】利用導數證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數.根據差函數導函數符號，確定差函數單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據條件，尋找目標函數.一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數轉化為一元函數.22.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為，且直線l經過曲線C的左焦點F．（1）求直線l的普通方程；（2）設曲線C的內接矩形的周長為L，求L的最大值．【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）【解析】【分析】(1)由極坐標化直角坐標的公式可得到曲線C的普通方程，消去參數t可得到直線普通方程，再代入F點坐標可得到直線方程；（2）橢圓C的內接矩形在第一象限的頂點為（，sinθ）內接矩形的周長為，化一求最值即可.【詳解】（1）因為曲線C的極坐標方程為，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2．將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，代入上式，得x2＋2y2＝2，即．所以曲線C的直角坐標方程為．于是c2＝a2－b2＝1，所以F（－1，0）．由消去參數t，得直線l的普通方程為．將F（－1，0）代入直線方程得．所以直線l的普通方程為x＋2