會計學1第六章測量誤差的基本知識.2、測量誤差的產生

測量工作是在一定的條件下進行的，一般來說，外界環境、測量儀器和觀測者構成觀測條件。而觀測條件不理想或不斷變化，是產生測量誤差的根本原因。

1.外界環境

主要指觀測環境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、大氣折光、風力等因素的不斷變化，會導致觀測結果中帶有誤差。

2.儀器誤差

（1）

儀器制造誤差

（2）

檢校殘余誤差

第1頁/共22頁3.觀測誤差

觀測者的感官的鑒別能力、技術熟練程度和勞動態度等也會產生誤差。

可見，觀測條件不可能完全理想，測量誤差的產生不可避免。但是，在測量工作實踐中，可以采取一定的措施和方法來改善乃至控制觀測條件，從而能夠控制測量誤差。

綜上所述，觀測結果的質量與觀測條件的優劣有著密切的關系。觀測條件好，觀測誤差就可能會小一些，觀測質量相應地會高一些；反之，觀測結果的質量就會相應降低。當觀測條件相同時，可以認為觀測結果的質量是相同的。第2頁/共22頁§6-2偶然誤差的特點

偶然誤差的產生受多種因素的影響，難以消除。因而，偶然誤差便成為誤差理論中最核心的內容和主要的研究對象。

1、在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超出一定限值（有界性）；2、絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會要多（或稱概率大，密集性）；3、絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等（對稱性）；4、當觀測次數n無限增加時，誤差的算術平均值（數學期望）趨近于零，即

式中，[△]為真誤差代數和，即，[△]=△1+△2+……+△n。

上述偶然誤差的四個特性具有普遍性，對誤差理論的研究和測量實踐都有重要意義。第3頁/共22頁§6-3觀測值的算術平均值

在相同的觀測條件下，對某一未知量（如角度或邊長）的真值為X，對該量作n次觀測，設n次觀測值分別為l1、l2、…、ln。

則觀測值的真誤差為△i（i=1,2,…,n），即第4頁/共22頁等式兩邊求和并同除以n，有

式中[L]/n稱為“算術平均值”，習慣以x表示；當觀測次數無限增加時，根據偶然誤差特性（4），式中[?]/n趨近于零。于是可得x=X第5頁/共22頁在實際工作中，觀測次數總是有限的，算術平均值x作為未知量的估值，稱為未知量的“最或是值（或稱最可靠值）”，它比任何觀測值都接近真值。

算術平均值的一般表達式為

以上所述就是算術平均值原理，它是測量中重要理論之一。

第6頁/共22頁§6-4精度的概念及種類

從前面的分析可以知道，測量成果中會不可避免地含有誤差。但測量成果只有符合《規范》規定的限差要求時，才算合格，否則應重測。

1、精度的的概念：就是指誤差分布的離散程度。2、精度的種類（1）中誤差m高斯分布密度函數中的參數σ

，在幾何上是曲線拐點的橫坐標

，概率論中稱為隨機變量的標準差（方差的平方根）。當觀測條件一定時，誤差分布狀態唯一被確定，誤差分布曲線的兩個拐點也唯一被確定。用σ作為精度指標，可以定量地衡量觀測質量。

第7頁/共22頁所以在衡量觀測精度時，就不必再作誤差分布表，也不必繪制直方圖，只要設法計算出該組誤差所對應的標準差σ值即可。σ的平方稱為方差σ2

，在概率論中有嚴格的定義：方差σ2是隨機變量x與其數學期望E(x)之差的平方的數學期望，用數學公式表達就是

用測量專業的術語來敘述標準差σ：在一定觀測條件下，當觀測次數n無限增加時，觀測量的真誤差△的平方和的平均數的平方根的極限，由下式表示：

第8頁/共22頁式中

為真誤差

?i的平方和，等價于

通常，觀測次數n總是有限的，只能求得標準差的“估值”，記作m，稱為“中誤差”。其值可用下式計算：由中誤差的定義可知，中誤差m不等于每個測量值的真誤差，它只是反映這組真誤差群體分布的離散程度大小的數字指標。

第9頁/共22頁（2）平均誤差θ

定義：在一定觀測條件下，當觀測次數n無限增加時，真誤差絕對值的理論平均值的極限稱為平均誤差，記作

因觀測次數n總是有限的，故其估值表示：式中為真誤差絕對值之和。第10頁/共22頁（3）．或然誤差ρ

在一定觀測條件下，當觀測次數n無限增加時，在真誤差列中，若比某真誤差絕對值大的誤差與比它小的誤差出現的概率相等，則稱該真誤差為或然誤差，記作ρ。因觀測次數n有限，常將ρ的估值記作ω?；蛉徽`差ω可理解為：將真誤差列按絕對值從大到小排序，當為奇數時，居中的真誤差就是ω；當為偶數時，居中的兩個真誤差的平均值作為ω。平均誤差、或然誤差與中誤差有如下關系：θ≈0.7979mω≈0.6745m作為精度指標，中誤差最為常用，因為中誤差更能反映誤差分布的離散程度。

第11頁/共22頁例：設對某個三角形的內角用兩種不同精度的儀器各進行了10次觀測，求得每次觀測所得的三角形內角和的真誤差為

Ⅰ列：+3″，-4″，-3″，+4″，-5″，-2″，+3″，+3″，-4″，+5″

Ⅱ列：-1″，0″，+12″，0″，-1″，-10″，+1″，0″，+1″，-10″試求其觀測精度。

解：1.

用中誤差公式計算

第12頁/共22頁

2.用平均誤差公式計算

3.用或然誤差公式計算

按絕對值將誤差列由大到小排序，即

Ⅰ列：5″，5″，4″，4″，4″，3″，3″，3″，3″，2″

Ⅱ列：12″，10″，10″，1″，1″，1″，1″，0″，0″，0″第13頁/共22頁計算結果表明：用中誤差衡量觀測精度，第一列高于第二列，符合客觀實際，因第二列中有+12″，-10″，-10″三個大的誤差存在，誤差分布離散。很顯然，用平均誤差和或然誤差來衡量觀測精度，在本例均未有效地反映實際情況。第14頁/共22頁（4）、相對誤差

在進行精度評定時，有時僅利用絕對誤差還不能反映測量的精度。因為有些量，如長度，用絕對誤差不能全面反映觀測精度。定義：絕對誤差與測量值之比，記作K。習慣上相對誤差用分子為1的分數表達，分母越大，相對誤差越小，測量的精度就越高。例[3-2]用同一把已檢定過的鋼尺分別丈量兩條邊，長度分別為30m和90m，其中誤差（絕對誤差）均為±10mm。試衡量其測量精度。解：若用絕對誤差衡量測量精度，因m1=m2=±10mm,，無法判別那條邊長丈量的精度更高?，F計算相對誤差，有

第15頁/共22頁即第二條邊丈量精度高于第一條邊。距離測量中常用相對誤差衡量測量精度。

第16頁/共22頁§6-5誤差傳播定律在測量上的應用

1、距離測量的中誤差

用鋼尺量距：設用長度為l的鋼尺丈量A、B兩點之間的距離S，共量了n個尺段，若每尺段丈量中誤差均為ml，求S的中誤差。因為S為各尺段li的線性函數，即S=l1+l2+…+ln

S中誤差應為上式表明：距離丈量的中誤差與所測尺段數n的平方根成正比。

第17頁/共22頁2、水準測量的中誤差

設在A、B兩

點之間.共設n站，則A、B兩點之間的高差為：設每站的高差觀測中誤差均為m站，則A、B兩點之間的高差中誤差為：在平坦地區，各站的視線長度大致相等，每公里的測站數也大致相同，故可認為每公里水準測量高差的中誤差相同，設為mkm，則

第18頁/共22頁3、視距測量的中誤差

（1）.視距法測量水平距離的中誤差

由視距測量計算公式可直接寫出平距D的中誤差計算公式：就是視距測量中誤差的計算公式?？紤]到其他因素的影響，一般認