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第二章自動控制系統的數學模型1/17/20232本章的主要內容

控制系統的微分方程-建立和求解控制系統的傳遞函數控制系統的結構圖-等效變換控制系統的信號流圖-梅遜公式1/17/20233概述

對由微分方程描述的動態數學模型，若已知輸入量和變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到輸出量的時域表達式，據此可對系統進行分析。所以建立控制系統的數學模型是對系統進行分析和設計的首要工作。概述

在控制系統的分析和設計首先要建立系統的數學模型。控制系統的數學模型是描述系統內部物理量(或變量)之間關系的數學表達式。在靜態條件下(即變量各階導數為零)，描述變量之間關系的代數方程叫靜態數學模型；而描述變量各階導數之間關系的微分方程叫動態數學模型。控制理論研究的是動態模型。

常用的數學模型有微分方程，傳遞函數，結構圖，信號流圖，頻率特性以及狀態空間描述等。1/17/20234概述

建立控制系統數學模型的方法有分析法(又稱機理建模法)和實驗法(又稱系統辨識)

。

分析法是根據組成系統各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。對于結構已知的系統常用此法。

實驗法是根據元件或系統對某些典型輸入信號的響應或其他實驗數據建立數學模型，當元件或系統比較復雜，其運動特性很難用幾個簡單的數學方程表示時，實驗法就顯得非常重要了。

本章僅介紹分析法，系統辨識由專門課程介紹。

無論是用分析法還是用實驗法建立模型，都存在模型精度和復雜性之間的矛盾。即描述系統運動特性的數學模型越精確，則方程的階次越高，對系統的分析與設計越困難。所以，在控制工程上總是在滿足分析精度要求的前提下，盡量使數學模型簡單，為此在建立數學模型時常做許多假設和簡化，最后得到的是有一定精度的近似模型。1/17/20235第一節控制系統的微分方程1/17/20236這是一個線性定常二階微分方程。控制系統的微分方程①②[解]：據基爾霍夫電路定理：輸入輸出LRCi[例1]：列寫RLC串聯電路的微分方程。由②：，代入①得：這是所謂時間常數形式的微分方程。1/17/20237根據牛頓定理，可列出質量塊的力平衡方程如下：mfF圖1mF圖2這也是一個線性定常二階微分方程。x為輸出量，F為輸入量。在國際單位制中，m、f和k的單位分別為：控制系統的微分方程[例2]求如圖1所示彈簧-質量-阻尼器的機械位移系統的微分方程。設輸入量為外力F，輸出量為位移x。阻尼器是一種產生粘性摩擦的裝置，由活塞和充滿油液的缸體組成。活塞和缸體之間的任何相對運動都將受到油液的阻滯。阻尼器用來吸收系統的能量并轉變為熱量而散失掉。[解]：系統受力分析圖如圖2所示。圖中，m為質量，f為粘滯阻尼系數，k為彈性系數。（思考題：上述方程中為何沒有受重力mg的影響？）1/17/20238控制系統的微分方程[例3]機械轉動系統的微分方程。設外加轉矩M為輸入量，轉角θ為輸出量。[解]：對于轉動物體，可用轉動慣量代表慣性負載。根據機械轉動系統的牛頓定理可列出微分方程式中f和k分別為粘滯阻尼系數和扭轉彈性系數。此式與機械位移系統的方程形式上是一樣的。若方程中忽略扭轉彈性系數的影響，方程為若令則方程為若再忽略粘滯阻尼系數，方程為1/17/20239直流電動機的工作原理1/17/202310直流電動機的工作原理動畫1/17/202311[例4]電樞控制式直流電動機這里輸入是電樞電壓ua和等效到電機轉軸上的負載轉矩Mc，輸出是轉速w

電樞回路方程為①

此時激磁電流為常數，所以Ce稱為電動機電勢常數

Cm稱為電動機轉矩常數，再根據牛頓定律可得機械轉動方程電機通電后產生轉矩控制系統的微分方程其中

為反電勢②

③

④

此式已略去摩擦力和扭轉彈性力。1/17/202312其中

和分別稱為電磁時間常數和機電時間常數整理得分別是轉速與電壓傳遞系數和轉速與負載和傳遞系數。控制系統的微分方程也可寫為1/17/202313這是一個線性定常二階微分方程(兩個輸入)。從數學的角度可以分別考慮單獨輸入的影響。如當mc=0時，方程為該方程稱為空載模型。若再假設電樞電感很小則這是一個一階微分方程。若Ra和J都可忽略，則Tm=0,于是這說明電機轉速與電樞電壓成正比，當不考慮電樞電阻和電感時，電樞電壓將與反電勢表達式相同。這時反電勢表達式就是測速發電機的方程。控制系統的微分方程1/17/202314微分方程的增量化表示上式中若電機處于平衡狀態，各變量的各階導數為零，則這表示電機處于平衡狀態下輸入量和輸出量之間的關系，稱為靜態模型。當mc=常數時，稱為控制特性，反映了電樞電壓由ua1變到ua2后，經過一段時間，轉速將從w1變到w2。若用ua0、mc0和w0表示平衡狀態下ua、mc和w的數值,則(a)式寫為當ua=常數時，稱為機械特性，反映了負載與轉速之間的關系。1/17/202315令代入考慮到可得此式稱為增量化方程設mc=常數，即Dmc=0，則設ua=常數，即Dua=0，則1/17/202316可見，同一物理系統有不同形式的數學模型，而不同類型的系統也可以有相同形式的數學模型。[需要討論的幾個問題]：1、相似系統和相似量：若令（電荷），則方程為：相似系統和相似量若令，則LRCi對于例2-1RLC串聯電路其微分方程形式為

前面注意到彈簧-質量-阻尼器的機械位移系統和機械轉動系統的微分方程形式是完全一樣的。1/17/202317[定義]具有相同的數學模型的不同物理系統稱為相似系統。

如例1和例2稱為力-電壓相似系統，在這對相似系統中分別與為相似量。[作用]利用相似系統的概念可以用一個易于實現的系統來模擬相對復雜的系統，實現仿真研究。

在相似系統中占據相應位置的物理量稱為相似量。1/17/2023182、非線性元件（環節）微分方程的線性化在經典控制領域，主要研究的是線性定常控制系統。如果描述系統的數學模型是線性常系數的微分方程，則稱該系統為線性定常系統，其最重要的特性便是可以應用線性疊加原理，即系統的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。非線性環節微分方程的線性化[非線性系統]：如果不能應用疊加原理，則系統是非線性的。

下面是非線性系統的一些例子：1/17/202319

若描述系統的數學模型是非線性（微分）方程，則相應的系統稱為非線性系統，這種系統不能用線性疊加原理。在經典控制領域對非線性環節的處理能力是很小的。但在工程應用中，除了含有強非線性環節或系統參數隨時間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對于非線性方程，可在工作點附近用泰勒級數展開，取前面的線性項。可以得到等效的線性環節。非線性環節微分方程的線性化AByx0設具有連續變化的非線性函數y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態為工作點，如圖中的A(x0,y0)。A點附近有點為B(x0+Dx,y0+Dy)，當Dx很小時，AB段可近似看做線性的。1/17/202320AByx0設f(x)在點連續可微，則將函數在該點展開為泰勒級數，得：若Dx很小，則，即式中，K為與工作點有關的常數，顯然，上式是線性方程，是非線性方程的線性表示。為了保證近似的精度，只能在工作點附近展開。非線性環節微分方程的線性化1/17/202321

對于具有兩個自變量的非線性方程，也可以在靜態工作點附近展開。設雙變量非線性方程為：，工作點為。則可近似為：[注意]：⑴上述非線性環節不是指典型的非線性特性(如間隙、庫侖干摩擦、飽和特性等)，它是可以用泰勒級數展開的。⑵實際的工作情況在工作點附近。⑶變量的變化必須是小范圍的。線性化數學模型是近似的表示，其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。非線性環節微分方程的線性化式中：，。

為與工作點有關的常數。1/17/202322[例]：倒立擺系統非線性環節微分方程的線性化

該系統由小車和安裝在小車上的倒立擺構成。倒立擺是不穩定的，如果沒有適當的控制力作用到它上面，它將隨時可能向任何方向傾倒。這里我們只考慮二維問題，即認為倒立擺只在圖所在的平面內運動。

若有合適的控制力u作用于小車上可使擺桿維持直立不倒。這實際是一個空間起飛助推器的姿態控制模型(姿態控制問題的目的是要把空間助推器保持在垂直位置)。設小車和擺桿的質量分別為M和m，擺桿長為2l

，且重心位于幾何中點處，小車距參考坐標的位置為x，擺桿與鉛垂線的夾角為q，擺桿重心的水平位置為，垂直位置為

1/17/202323畫出倒立擺系統隔離體受力圖非線性環節微分方程的線性化設擺桿和小車結合部的水平反力和垂直反力為H和V，略去擺桿與小車、小車與地面的摩擦力。可得方程如下：⒈擺桿圍繞其重心的轉動運動

⑴

式中J為擺桿圍繞其重心的轉動慣量，為垂直力關于其重心的力矩，為水平力關于其重心的力矩。

⒉擺桿重心的水平運動 ⑵

⒊擺桿重心的垂直運動 ⑶

⒋小車的水平運動 ⑷

1/17/202324非線性環節微分方程的線性化⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻由⑹和⑻可得 ⑼由⑸、⑺和⑻得 ⑽

當忽略轉動慣量J時

當考慮轉動慣量

時因為在這些方程中包含sinq和cosq，所以它們是非線性方程。若假設角度q很小，則sinq≈q和cosq≈1。可線性化如下

1/17/2023253.線性系統微分方程的編寫步驟：⑴確定系統和各元部件的輸入量和輸出量。⑵對系統中每一個元件列寫出與其輸入、輸出量有關的物理方程。⑶對上述方程進行適當的簡化，比如略去一些對系統影響小的次要因素，對非線性元部件進行線性化等。⑷從系統的輸入端開始，按照信號的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統輸入和輸出關系的微分方程。線性系統微分方程的編寫步驟⑸一般情況下，還需把微分方程寫成標準形式，即與輸入量有關的各項寫在方程的右邊，與輸出量有關的各項寫在方程的左邊。方程兩邊各導數項均按降冪排列。有時還要把各導數項的系數進行處理，用具有一定物理意義的系數（例如時間常數、傳遞系數等等）來表示。1/17/202326[例]：編寫下圖所示的速度控制系統的微分方程。[解]：⑴該系統的輸出量是，輸入量是，擾動量是線性系統微分方程的編寫例子[例2-6]測速機-運放Ⅰ運放Ⅱ功放電動機⑵速度控制系統方塊圖：負載-+-+

功率放大器測速發電機＋－＋1/17/202327線性系統微分方程的編寫例子[例2-6]⑷消去中間變量，得：⑶各環節微分方程：運放Ⅰ：運放Ⅱ：功率放大：反饋環節：電動機環節：顯然，轉速既與輸入量有關，也與干擾有關。這里1/17/202328線性系統微分方程的編寫例子[例2-6]⑶若和都是變化的，則對于線性系統應用疊加原理分別討論兩種輸入作用引起的轉速變化，然后相加。[增量式分析](上式等號兩端取增量)：⑴對于恒值調速系統，=常量，則。轉速的變化僅由負載干擾引起。增量表達式如下：⑵對于隨動系統，則