第四章

立體的投影§4-1立體及其表面上的點和線

平面立體——由若干個平面圍成的實體。

工程上常用的平面立體是棱柱和棱錐（棱臺）。棱臺棱柱棱錐一、平面立體VWH體的投影，實質上是構成該體的所有表面的投影總和。繪制平面立體的投影，就是繪制平面立體上各平面間的交線和各頂點的投影。平面體的投影特征：⑴平面立體上各組成平面的投影，一般表現為一個封閉的線框，特殊則積聚為一直線。⑵投影圖上各線框的分界線，表示物體表面發生變化（凹、凸或轉折）⑴棱柱的組成由兩個底面和若干側棱面組成。側棱面與側棱面的交線叫側棱線，側棱線相互平行。1.棱柱VHWZXY

分析三棱柱的形狀及各表面間的相對位置；b'a'e'c'd'b(c)a(d)e(f)a"b"c"d"(e")(f")BECDFA

分析三棱柱各表面的可見性。(2)正三棱柱的投影圖OXZYWYHb(c)a(d)e(f)正三棱柱的投影圖a"d"b"(e")c"(f")b'a'e'c'd'f'[例題]求立體的側面投影(3)屬于棱柱表面的點

當點屬于幾何體的某個表面時，則該點的投影必在它所從屬表面的各同面投影范圍內。OXZYWYHa'aa"

若該表面的投影可見，則該點同面投影也可見；反之為不可見。OXZYWYHa'(b")ab'a"bHVWXYZ分析：它由底面ΔABC和三個相等的棱面ΔSAB，ΔSBC，ΔSAC所組成。2、棱錐abcss"b"a"(c")a's'b'ASCB底面為水平面，ΔSAC為側垂面，其他面為一般位置平面。OXZYWYHs"b"a"(c")a's'b'c'abcs（1）正三棱錐的投影圖HVWXYZabss"b"a"a's'b'ASBCc（2）棱錐表面上的點屬于一般位置平面的點投影，可通過在平面上作輔助線的方法求得。己知棱面ΔSAB上的點M，試求點M的投影（利用輔助線法）。1Ⅰ1'Mm"mm'OXZYWYHs"b"a"(c")a's'b'c'abcs棱錐表面點的投影確定1'1mm"m'OXZYWYHs"b"a"(c")a's'b'c'abcsn(n')n"屬于特殊位置平面的點的投影，可利用該平面的積聚性作圖。二、曲面立體曲面立體：由曲面或曲面和平面圍成的立體形成回轉面的定線稱為軸線,動線稱為母線,母線在回轉面上任意位置稱為素線。軸線母線一動線繞一定線回轉一周后形成的曲面稱為回轉面。1、圓柱體圓柱體表面由圓柱面和上、下兩個平面組成。圓柱面由直線AB繞與它平行的軸線等距旋轉而成。OOAB母線素線1）圓柱的投影圖a'b'c'd'a(c)b(d)a"(b")c"(d")YWYHXZo3.圓柱OO對V面的側影輪廓線對W面的側影輪廓線分析圓柱輪廓素線的投影V面投影輪廓素線轉向輪廓線YWYHXZo2）圓柱體表面上取點已知圓柱表面點M的正面投影m'，求其余投影。

根據m'的位置，可斷定點M在前半圓柱的左半部分；m"m'm

因圓柱的水平投影有積聚性，故m在前半圓周的左部；。m"(可見）可由m'和m求得。例：圓柱表面上取點a'baa"A(c')cc"(b")b'BC2、圓錐體

形成：錐面可看作直線SA繞與它相交的軸線旋轉而成。構成：圓錐體由圓錐面，底面（平面）所圍成。OOSA母線素線ZVWYXHc"s"d"a"(b")

圓錐水平投影圖是一個圓線框，正面、側面投影圖是兩個全等的三角形線框。

水平投影的圓線框，反映圓錐底面的實形，同時也表示圓錐的投影。cabda's'b'c'(d')SAC最前輪廓素線最左輪廓素線Ss's"對V面的輪廓線對W面的輪廓線輪廓線投影的對應關系圓錐面投影可見性判斷s1)圓錐體的投影圓錐輪廓素線的投影圓錐輪廓素線最左最右最前最后SAsacbdac

s

sdbb(d)已知圓錐表面點M的正面投影m′，求m和m″。(1)輔助素線法m'1'1mm"osⅠs's"sXZOYHYWM2）屬于圓錐體表面的點(2)輔助圓法MXZOYHYWs's"sm"m'm形成：圓球可看作是一圓(母線)圍繞直徑回轉而成。回轉軸素線圓3、圓球母線圓圓球的三面投影均為回轉圓。ZYXVHW平行于V面的輪廓圓平行W面的輪廓圓平行于H面的輪廓圓a'bc"OO1）圓球的投影圖形YHXZOYW三個投影均為平行于投影面的最大圓的投影（轉向輪廓線的投影）。YHXZOYW2）屬于球體表面的點已知點M的水平投影m，求其他兩面投影。采用輔助圓法。mm'm"MYHXZOYW2）屬于球體表面的點已知點D的投影dˊ，求其他兩面投影。采用輔助圓法。d'（d）（d"）ˋˊ(1)圓環的形成4.圓環(2)圓環的畫法§4-2平面與平面立體表面相交

截交線：平面與立體相交而產生的交線。截平面截交線斷面截交線的性質：（1）截交線是截平面與立體表面的共有線；（2）由于任何立體都有一定大小和形狀，截交線一定是閉合的平面圖形。

分析截平面與體的相對位置

分析截平面與投影面的相對位置確定截交線的投影特性1.空間及投影分析2.畫出截交線的投影求出截平面與被截棱線的交點，并判斷可見性。依次連接各頂點成多邊形，注意可見性。3.完善輪廓。確定截交線的形狀★求截交線的步驟：交線的形狀？截平面與體的幾個棱面相交？★投影分析例：求四棱錐被截切后的三面投影。★空間分析★求截交線★分析棱線的投影321(4)1●2●4●3●1●2●4●3

●ⅠⅡⅢⅣ

注意：要逐個截平面分析和繪制截交線。當平面體只有局部被截切時，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。例：補全六棱柱被截切后的俯視圖和左視圖。1(3)2(4)1(2)2"●1"●3(4)[例]試求正四棱錐被兩平面截切后的投影QP分析：形體分析與投影分析；16"(5')(4')(8')1'2'3'6'7'2341"3"2"5"57"8"678作圖:①求水平面、正垂面與立體的交線4"16"(5')(4')(8')1'2'3'6'7'2341"3"2"5"57"8"678作圖:①求水平面、正垂面與立體的交線4"作圖:②整理、加深16"(5')(4')(8')1'2'3'6'7'2341"3"2"5"57"8"6784"作圖:

③檢查、完成§4-3平面與回轉體表面相交

（a)頂尖(b)撥叉軸以下零件的截交線？截交線是截平面與回轉體表面的共有線。截交線的形狀取決于回轉體表面的形

狀及截平面與回轉體軸線的相對位置。求截交線的方法：求截平面與回轉體表面的共有點。與軸線平行與軸線垂直與軸線傾斜平面與圓柱面的交線截面位置軸測圖投影圖一、平面與圓柱相交

分析：截交線正面投影積聚為直線，水平投影在圓周上。可利用V面和H面投影求截交線側面投影。ⅠⅣⅢⅡ例求斜截圓柱體的投影截交線的空間形狀？

●●●●●●●●●●●●★找特殊點★補充中間點★光滑連接各點★分析輪廓素線的投影橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。45°什么情況下投影為圓呢？截平面與圓柱軸線成45°時。橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。什么情況下投影為圓呢？截平面與圓柱軸線成45°時。45°★空間及投影分析★求截交線★完善圓柱輪廓截平面與體的相對位置截平面與投影面的相對位置解題步驟：同一立體被多個平面截切，要逐個截平面進行截交線的分析和作圖。

例:求作圓柱切口開槽后的視圖●1′(2′)3′(4′)1″●2″●●●4(2)●3(1)●3″4″●4●2●13●例:結果和立體圖●1′(2′)3′(4′)1″●2″●●●4(2)●3(1)●3″4″●4●2●13●例：求圖示物體的三面投影例：求圖示物體的V面投影θ=90°二、平面與圓錐相交

過錐頂兩相交直線圓根據平面與圓錐軸線的相對位置不同，平面與圓錐面的交線有五種形狀。αθθ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α橢圓拋物線雙曲線ααθαθPS求解時先確定截交線的特殊點，再求一般點。

輔助素線法求截交線：截交線上任一點M，可看成是圓錐面上某一素線SI與截平面P的交點。因M點在素線SI上，故點M的三面投影分別在該素線的同面投影上。特殊點ⅠPSⅠc''a''b''abc'b'a'特殊點c一般點由點連線整理加深利用輔助平面法求截交線αθa''b''cabc'b'a'c''特殊點輔助圓定點b''cabc'b'a'd''a''c''d'一般點描深圖線db●d′●c′●e●c●a●d●例:圓錐被正平面截切，補全正面投影圖。EDCABb′●a′●截交線的空間形狀？截交線的投影特性？e′●三.平面與球面相交平面與圓球相交，截交線的形狀都是圓，但根據截平面與投影面的相對位置不同，其截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線。當截平面平行于某一投影面時，截交線在該投影面上的投影為圓的實形，其它兩面投影積聚為直線。例：求半球體截切后的水平投影和側面投影。

兩個側平面與圓球面的交線的投影，在側面投影圖上為部分圓弧，在水平投影圖上積聚為直線。水平面與圓球面的交線的投影，在水平投影圖上為部分圓弧，在側面投影圖上積聚為直線。★相貫線是由若干段平面曲線或直線組成的空間折線，每一段是平面體的棱面與回轉體表面的交線。五、平面體與回轉體相貫★求交線的實質是求各棱面與回轉面的截交線。

★相貫—兩立體相交●●●例：求作主視圖●●●◆空間及投影分析◆求相貫線◆分析輪廓線的投影●●●●例：求作主視圖兩個回轉體相交，其表面交線稱為相貫線。§4-4兩回轉體表面相交求相貫線的方法：求相貫線的實質即是求兩回轉體表面一系列共有點，然后依次光滑地連接即為相貫線。★相貫線一般為光滑封閉的空

間曲線，它是兩回轉體表面的共有線。一、回轉體與回轉體相貫★作圖方法利用積聚性法（表面取點法）輔助平面法先找特殊點。★作圖過程補充中間點。確定交線的彎曲趨勢確定交線的范圍1、利用積聚性法先找特殊點。補充中間點。確定交線的彎曲趨勢確定交線的范圍利用積聚性，采用表面取點。例1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。●●●●●●●●●空間及投影分析：

小圓柱的水平投影積聚為圓，相貫線的水平投影積聚在該圓上。大圓柱的側面投影積聚為圓，相貫線的側面投影積聚在該圓上，為兩圓柱面共有的一段圓弧。先找特殊點。補充中間點。●例1：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。●●2、利用輔助平面法求相貫線根據三面共點的原理，用一輔助平面截切兩回轉面，得到兩條截交線，求兩截交線的共有點即為相貫線上的點，從而畫出相貫線選擇輔助平面原則：

⑴選在兩回轉面的相交范圍內；⑵它與回轉面的截交線