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應用一元二次方程第二章一元二次方程北師大版數學九年級上冊2023/1/131列方程解應用題的一般步驟是:1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關系?2.設:設未知數,語句要完整,有單位(統一)的要注明單位;3.列:列方程;4.解:解所列的方程;5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意;6.答:答案必須是完整的語句,注明單位.列方程解應用題的關鍵是:

找出等量關系.知識回顧類型一：幾何與方程

在這類問題中，一般依據幾何圖形的性質（如熟記特殊圖形的面積公式），通過尋求面積的增加（或減少），將不規則的圖形分割成或組合成規則圖形等來尋找問題中的等量關系。

例題1：一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍,四個角各剪去一個正方形,制成高是5厘米、容積是500厘米3的無蓋長方體容器,求這塊鐵皮的長和寬.解:設這塊鐵皮的寬是x厘米,根據題意得5(x-10)(2x-10)=500,解得x1=15,x2=0(舍去),∴長為15×2=30.答:這塊鐵皮的長是30厘米,寬是15厘米.①幾何圖形的面積問題1.某校為了美化校園,準備在一塊長32m,寬20m的長方形場地上修筑若干條寬度相同的道路,余下部分作草坪,并請全校同學參與設計,現在有兩位學生各設計了一種方案(如圖),根據兩種設計方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540m2.(1)(2)跟蹤訓練解:（1)如圖，設道路的寬為xm，則化簡得，其中的x=25超出了原矩形的寬，應舍去.答：圖(1)中道路的寬為1m.(1)則橫向的路面面積為

（2）解析：此題的相等關系是矩形面積減去道路面積等于540m2.解法一、如圖，設道路的寬為xm，32xm2,縱向的路面面積為

20xm2.注意：這兩個面積的重疊部分是x2,所列的方程是不是？圖中的道路面積不是m2.(2)而是從其中減去重疊部分，即應是m2所以正確的方程是：化簡得，其中的x=50超出了原矩形的長和寬，應舍去.取x=2時，道路總面積為：草坪面積為32×20-100=540（m2）答：所求道路的寬為2m.解法二：我們利用“圖形經過移動，它的面積大小不會改變”的道理，把縱、橫兩條路移動一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實際施工，仍可按原圖的位置修路）橫向路面:如圖，設路寬為xm，32xm2縱向路面面積為:20xm2草坪矩形的長（橫向）為:草坪矩形的寬（縱向:）為：相等關系是：草坪長×草坪寬=540m2(20-x)m（32-x)m即化簡得：再往下的計算、格式書寫與解法一相同.(2)10變式二：若改變道路的條數如右圖。其他條件不變，那么應該怎么列方程？變式三：若改變道路的位置如右圖，其他條件不變，那么應該怎么列方程？變式一:若改變道路的位置如右圖所示。其他條件不變，那么應該怎么列方程？(只列不解)做一做【例2】某農場要建一個長方形的養雞場，養雞場的一邊靠墻（墻長為20米），另三邊用總長40米的木欄圍成．要使得圍成的養雞場的面積為198米2，三邊木欄的長應分別為多少米？解：設養雞場的寬x米，則長為（40-2x）米，根據題意得：

（40-2x）?x=198

解得：x1=9，x2=11

當x=9時，長=40-2x=40-18=22＞20，不符合題意，舍去；

當x=11時，長=40-2x=40-22=18＜20，符合題意；

答：養雞場的長為18米，寬為11米．1．用20cm長的鐵絲能否折成面積為30cm2的矩形,若能夠,求它的長與寬;若不能,請說明理由.【解析】設這個矩形的長為xcm,則寬為cm,即x2-10x+30=0這里a=1,b=－10,c=30,∴此方程無解.∴用20cm長的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形跟蹤訓練2.如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為11m），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃．（1）如果圍成面積為45m2的花圃，那么AD的長為多少米？（2）能否圍成面積為60m2的花圃？若能，請求出AD的長；若不能，請說明理由．解：（1）設AD的長為x米，則AB為（24-3x）米，根據題意得

（24-3x）?x=45

解得：x1=3，x2=5

當x=3時，AB=24-3x=24-9=15＞11，不符合題意，舍去；

當x=5時，AB=24-3x=9＜11，符合題意；

答：AD的長為5米．【例3】某鋼鐵廠去年1月某種鋼的產量為5000噸，

3月上升到7200噸,這兩個月平均每個月增

長的百分率是多少?解：設每個月的增長率為x，根據題意得：5000(1+x）2=7200

解得：x1=0.2，x2=-2.2（舍去)

答：平均每個月增長的百分率是20%1.某廠今年一月的總產量為500噸,三月的總產量為720噸,平均每月增長率是x,列方程()

A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=500B2、某超市一月份的營業額為200萬元，一月、二月、三月的營業額共1000萬元，如果平均月增長率為x，則由題意得方程為()A.200(1+x)2=1000B.200+200×2×x=1000C.200+200×3×x=1000D.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000D3、某農場2003年糧食產量是1200萬千克，2004年為1452萬千克。

如果平均每年的增長率為x，則可得方程：

。1200(1+x)2=14524.在國家宏觀調控下，某市的商品房成交價由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2⑴問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？（參考數據：）⑵如果房價繼續回落，按此降價的百分率，你預測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破10000元/m2？請說明理由。【解析】（1）設4、5兩月平均每月降價的百分率為x,依題意，得14000（1-x)2=12600.解得x1=0.05,x2=1.95(不合題意，舍去）.因此4、5兩月平均每月降價的百分率為5%.（2）如果按此降價的百分率繼續回落，估計7月份的商品房成交價為12600（1-x)2=12600×0.9=11340＞10000.所以7月份該市的商品房成交均價不會跌破10000元/m2.類型三：利潤問題此類問題常見的等量關系是：利潤=售價－進價=進價×利潤率總利潤=每件商品的利潤×銷售數量利潤率=【例5】“佳佳商場”在銷售某種進貨價為20元/件的商品時，以30元/件售出，每天能售出100件．調查表明：這種商品的售價每上漲1元/件，其銷售量就將減少2件．為了實現每天1600元的銷售利潤，“佳佳商場”應將這種商品的售價定為多少？1.西瓜經營戶以2元/千克的價格購進一批小型西瓜，以3元/千克的價格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經營戶決定降價銷售.經調查發現,這種小型西瓜每降價O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.該經營戶要想每天盈利2O0元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元?2.某商場銷售一批名牌襯衫,現在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經調查發現:如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應降價多少元?3.某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策的實施，商場決定采取適當的降價措施，調查表明：這種冰箱的售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺，商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？類型四：循環與傳播問題【例5】初三畢業晚會時，某學習小組內每人向組內其他同學贈送一張照片，一共送出了90張照片，則這個學習小組一共有多少人？【分析】如果設這個學習小組一共用x人，每名同學送出（x-1）張照片，共有x人，所以共送出x（x-1）張照片解：設這個學習小組一共用x人，由題意得；x（x-1）=90解得：x1=10,x2=-9(舍去)答：這個小組一共10人【變式】參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共比賽45場，共有多少個隊參加比賽？2.參加一次足球聯賽的每兩隊之間都進行主客場比賽，共比賽90場比賽，則有多少個隊參加比賽？

1．生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學，那么根據題意列出的方程是（）

A．x（x+1）=182B．x（x-1）=182C．2x（x+1）=182D．x（1-x）=182×2B

x（x-1）=90

循環問題可分為單循環問題，雙循環問題：【核心提示】單循環，是所有參加比賽的隊只相遇一次，公式：雙循環，是所有參加比賽的隊均能相遇兩次，雙循環比賽的輪次、場次，均是單循環比賽的倍數。公式：n(n-1)因此，解決循環問題的關鍵在于分辨是單循環還是雙循環，代表性問題是“握手問題”?！纠?】有一人患了流感,經過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?分析1第一輪傳染后1+x第二輪傳染后1+x+x(1+x)解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.開始有一人患了流感,第一輪的傳染源就是這個人,他傳染了x個人,用代數式表示,第一輪后共有_____人患了流感;第二輪傳染中,這些人中的每個人又傳染了x個人,用代數式表示,第二輪后共有____________人患了流感.(x+1)1+x+x(1+x)1+x+x(1+x)=121解方程,得答:平均一個人傳染了________個人.10-12(不合題意,舍去)10通過對這個問題的探究,你對類似的傳播問題中的數量關系有新的認識嗎?練習2：某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干，分支和小分支總數是91，每個支干長出的小分支數目是

。練習1：某種電腦病毒傳播非?？?，如果一臺電腦被感染，經過兩輪被感染后就會有144臺電腦被感染．每輪感染中平均一臺電腦會感染

臺電腦。分析：由題意設每個支干長出的小分支的數目是x個，每個小分支又長出x個分支，則又長出x2個分支，則共有（x2+x+1）個分支，即可列方程求得x的值．1)關鍵——動中取靜把動的點進行轉換,變為線段的長度,2)方法——時間變路程求“動點的運動時間”可以轉化為求“動點的運動路程”，也是求線段的長度;由此,學會把動點的問題轉化為靜點的問題,是解這類問題的關鍵.3）常找的數量關系——

面積，勾股定理，相似三角形等；類型五：動點問題【例7】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6m，BC=8m，（1）點P、Q同時由A、B兩點出發，分別沿AC、BC的方向向點C勻速運動（到點C為止），它們的速度都是1m/s．經過幾秒△PCQ的面積等于Rt△ABC面積的一半？（2）點P由A出發，沿AC方向勻速運動，當點P到達點C則停止運動，點Q同時由C出發，沿CB方向勻速運動，它們的速度都是1m/s．幾秒后△PCQ的面積等于△ABC面積的？（3）在(2