PAGEPAGE82023年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(全國卷II新課標(biāo))第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文1)集合M＝{x|－3＜x＜1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，那么M∩N＝()．A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0}D．．{－3，－2，－1}2．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文2)＝()．A．B．2C．D．．13．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文3)設(shè)x，y滿足約束條件那么z＝2x－3y的最小值是()．A．－7B．－6C．－5D．4．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文4)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b＝2，，，那么△ABC的面積為()．A．B．C．D．5．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文5)設(shè)橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，那么C的離心率為()．A．B．C．D．6．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文6)sin2α＝，那么＝()．A．B．C．D．7．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文7)執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的N＝4，那么輸出的S＝()．A．B．C．D．8．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文8)設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，那么()．A．a(chǎn)＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b9．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文9)一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為()．10．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文10)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線l過F且與C交于A，B兩點．假設(shè)|AF|＝3|BF|，那么l的方程為()．A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝或y＝C．y＝或y＝D．y＝或y＝11．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文11)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，以下結(jié)論中錯誤的是()．A．?x0∈R，f(x0)＝0B．函數(shù)y＝f(x)的圖像是中心對稱圖形C．假設(shè)x0是f(x)的極小值點，那么f(x)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減D．假設(shè)x0是f(x)的極值點，那么f′(x0)＝012．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文12)假設(shè)存在正數(shù)x使2x(x－a)＜1成立，那么a的取值范圍是()．A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)第二卷二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文13)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是__________．14．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文14)正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，那么＝__________.15．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文15)正四棱錐O－ABCD的體積為，底面邊長為，那么以O(shè)為球心，OA為半徑的球的外表積為__________．16．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文16)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的圖像向右平移個單位后，與函數(shù)y＝的圖像重合，那么φ＝__________.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文17)(本小題總分值12分)等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列．(1)求{an}的通項公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.18．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文18)(本小題總分值12分)如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點．19．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文19)(本小題總分值12分)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如下列圖．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率．20．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文20)(本小題總分值12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓P在x軸上截得線段長為在y軸上截得線段長為.(1)求圓心P的軌跡方程；(2)假設(shè)P點到直線y＝x的距離為，求圓P的方程．21．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文21)(本小題總分值12分)函數(shù)f(x)＝x2e－x.(1)求f(x)的極小值和極大值；(2)當(dāng)曲線y＝f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時，求l在x軸上截距的取值范圍．22．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文22)(本小題總分值10分)選修4—1：幾何證明選講如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓．23．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文23)(本小題總分值10分)選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對應(yīng)參數(shù)分別為t＝α與t＝2α(0＜α＜2π)，M為PQ的中點．(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點．24．(2023課標(biāo)全國Ⅱ，文24)(本小題總分值10分)選修4—5：不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.證明：(1)ab＋bc＋ca≤；(2)≥1.2023年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文史類(全國卷II新課標(biāo))第一卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1．答案：C解析：由題意可得，M∩N＝{－2，－1,0}．應(yīng)選C.2．答案：C解析：∵＝1－i，∴＝|1－i|＝.3．答案：B解析：如下列圖，約束條件所表示的區(qū)域為圖中的陰影局部，而目標(biāo)函數(shù)可化為，先畫出l0：y＝，當(dāng)z最小時，直線在y軸上的截距最大，故最優(yōu)點為圖中的點C，由可得C(3,4)，代入目標(biāo)函數(shù)得，zmin＝2×3－3×4＝－6.4．答案：B解析：A＝π－(B＋C)＝，由正弦定理得，那么，∴S△ABC＝.5．答案：D解析：如下列圖，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝設(shè)|PF2|＝x，那么|PF1|＝2x，由tan30°＝，得.而由橢圓定義得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x∴，∴.6．答案：A解析：由半角公式可得，＝.7．答案：B解析：由程序框圖依次可得，輸入N＝4，T＝1，S＝1，k＝2；，，k＝3；，S＝，k＝4；，，k＝5；輸出.8．答案：D解析：∵log25＞log23＞1，∴l(xiāng)og23＞1＞＞＞0，即log23＞1＞log32＞log52＞0，∴c＞a＞b.9．答案：A解析：如下列圖，該四面體在空間直角坐標(biāo)系O－xyz的圖像為以下列圖：那么它在平面zOx的投影即正視圖為，應(yīng)選A.10．答案：C解析：由題意可得拋物線焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.當(dāng)直線l的斜率大于0時，如下列圖，過A，B兩點分別向準(zhǔn)線x＝－1作垂線，垂足分別為M，N，那么由拋物線定義可得，|AM|＝|AF|，|BN|＝|BF|.設(shè)|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，在△AMK中，由，得，解得x＝2t，那么cos∠NBK＝，∴∠NBK＝60°，那么∠GFK＝60°，即直線AB的傾斜角為60°.∴斜率k＝tan60°＝，故直線方程為y＝．當(dāng)直線l的斜率小于0時，如下列圖，同理可得直線方程為y＝，應(yīng)選C.11．答案：C解析：假設(shè)x0是f(x)的極小值點，那么y＝f(x)的圖像大致如以下列圖所示，那么在(－∞，x0)上不單調(diào)，故C不正確．12．答案：D解析：由題意可得，(x＞0)．令f(x)＝，該函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，可知f(x)的值域為(－1，＋∞)，故a＞－1時，存在正數(shù)x使原不等式成立．第二卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每題5分．13．答案：0.2解析：該事件根本領(lǐng)件空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}共有10個，記A＝“其和為5”＝{(1,4)，(2,3)}有2個，∴P(A)＝＝0.2.14．答案：2解析：以為基底，那么，而，，∴.15．答案：24π解析：如下列圖，在正四棱錐O－ABCD中，VO－ABCD＝×S正方形ABCD·|OO1|＝××|OO1|＝，∴|OO1|＝，|AO1|＝，在Rt△OO1A中，OA＝＝，即，∴S球＝4πR2＝24π.16．答案：解析：y＝cos(2x＋φ)向右平移個單位得，＝cos(2x－π＋φ)＝，而它與函數(shù)的圖像重合，令2x＋φ－＝2x＋＋2kπ，k∈Z，得，k∈Z.又－π≤φ＜π，∴.三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．解：(1)設(shè){an}的公差為d.由題意，＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2.故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.18．(1)證明：BC1∥平面A1CD；(2)設(shè)AA1＝AC＝CB＝2，AB＝，求三棱錐C－A1DE的體積．解：(1)連結(jié)AC1交A1C于點F，那么F為AC1又D是AB中點，連結(jié)DF，那么BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD由AC＝CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB.又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1由AA1＝AC＝CB＝2，得∠ACB＝90°，，，，A1E＝3，故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D.所以VC－A1DE＝＝1.19．解：(1)當(dāng)X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以(2)由(1)知利潤T不少于57000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.20．解：(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2＋2＝x2＋3.故P點的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)．由得.又P點在雙曲線y2－x2＝1上，從而得由得此時，圓P的半徑r＝eq\r(3).由得此時，圓P的半徑.故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.21．解：(1)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝－e－xx(x－2)．①當(dāng)x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)時，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0,2)時，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)單調(diào)遞減，在(0,2)單調(diào)遞增．故當(dāng)x＝0時，f(x)取得極小值，極小值為f(0)＝0；當(dāng)x＝2時，f(x)取得極大值，極大值為f(2)＝4e－2.(2)設(shè)切點為(t，f(t))，那么l的方程為y＝f′(t)(x－t)＋f(t)．所以l在x軸上的截距為m(t)＝.由和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．令h(x)＝(x≠0)，那么當(dāng)x∈(0，＋∞)時，h(x)的取值范圍為[，＋∞)；當(dāng)x∈(－∞，－2)時，h(x)的取值范圍是(－∞，－3)．所以當(dāng)t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)時，m(t)的取值范圍是(－∞，0)∪[，＋∞)．綜上，l在x軸上的截距的取值范圍是(－∞，0)∪[，＋∞)．請從下面所給的22、23、24三題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分；不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分．22．解：(1)因為CD為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A.由題設(shè)知，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．(2)連結(jié)CE，因為∠CBE＝90°，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.而DC2＝DB·DA＝3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.23．解：(1)依題意有