2001年普通高等學校招生全國統一考試〔天津卷〕數學〔理工農醫類〕本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部.第一卷1至2頁.第二卷3至10頁.共150分.考試時間120分鐘.第一卷〔選擇題共60分〕考前須知：1．答第一卷前,考生務必將自己的姓名、準考號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2．每題選出答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,不能答在試題卷上.3．考試結束,監考人將本試卷和答題卡一并收回.參考公式：如果事件A、B互斥,那么正棱錐、圓錐的側面積公式P〔A·B〕=P〔A〕·P〔B〕其中c表示底面周長,L表示斜高或母線長Pn(k)=CknPk(1-P)n-k其中S表示底面積,h表示高一、選擇題：本大題共12小題,每題5分,共60分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.〔1〕函數的周期，振幅依次是〔A〕4π、3〔B〕4π、-3〔C〕π、3〔D〕π、-3分析：此題考查三角函數性質問題。此題選A，難度為★〔2〕假設Sn是數列{an}的前n項和,且Sn=n2,那么{an}是〔A〕等比數列,但不是等差數列〔B〕等差數列,但不是等比數列〔C〕等差數列,而且也是等比數列〔D〕既非等比數列又非等差數列分析：此題考查等差數列與等比數列的性質。等差數列的前n項和都能寫成一個關于項數的二次函數形式。此題選B，難度為★〔3〕過點A〔1,-1〕、B〔-1,1〕且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是〔A〕(x-3)2+(y+1)2=4〔B〕(x+3)2+(y-1)2=4〔C〕(x-1)2+(y-1)2=4〔D〕(x+1)2+(y+1)2=4分析：此題考查直線和圓的問題。對于求圓的方程，可以采用兩種策略，一是可以找到圓上的三個點聯立解方程組；二是求出圓心和半徑。而第二種策略往往比擬簡單。此題選C，難度為★★〔4〕假設定義在區間〔-1,0〕內的函數f(x)=log2a(x+1)滿足f(x)>0,那么a的取值范圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕分析：此題考查對數函數的性質問題，利用對數函數圖象很容易判斷。此題選A，難度為★★〔5〕假設向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,2)，那么c=〔A〕a+b〔B〕a-b〔C〕ab〔D〕-a+b分析：此題考查向量運算。此題選B，難度為★★〔6〕設A、B是x軸上的兩點,點P的橫坐標為2且|PA|=|PB|.假設直線PA的方程為x-y+1=0,那么直線PB的方程是〔A〕x+y-5=0〔B〕2x-y-1=0〔C〕2y-x-4=0〔D〕2x+y-7=0分析：此題考查直線方程問題，利用直線PA的方程可將P點和A點的坐標解出，再利用中點坐標公式求出B，最終求出PB的方程。此題選A，難度為★★〔7〕假設，那么〔A〕a<b〔B〕a>b〔C〕ab<1〔D〕ab>2分析：此題考查三角函數的性質，先利用輔助角公式將兩個三角函數合成一個，再進行判斷。此題選A，難度為★★〔8〕函數y=1+3x-x2有〔A〕極小值-1，極大值1〔B〕極小值-2，極小值3〔C〕極小值-2，極大值2〔D〕極小值-1，極大值3分析：此題考查導數求極值問題。此題選D，難度為★★〔9〕某賽季足球比賽的計分規那么是：勝一場,得3分；平一場,得1分；負一場,得0分.一球隊打完15場,積33分.假設不考慮順序,該隊勝、負、平的可能情況共有〔A〕3種〔B〕4種〔C〕5種〔D〕6種分析：此題考查簡單線性規劃問題。約束條件為x+y=15,x>=0,y>=0，目標函數為3x+y=33，最后求可行域內滿足目標函數的整點個數。此題選A，難度為★★★〔10〕設坐標原點為O，拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A、B兩點，那么 〔Ａ〕 〔Ｂ〕 〔Ｃ〕3 〔Ｄ〕－3分析：此題考查直曲聯立的相關知識。先把直線按點斜式設出來，然后與拋物線方程聯立，再利用韋達定理求出結果。此題選B，難度為★★★〔11〕一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.假設屋頂斜面與水平面所成的角都是а,那么〔A〕P3>P2>P1〔B〕P3>P2=P1〔C〕P3=P2>P1〔D〕分析：此題考查了射影面積定理〔一個面上取個三角型面積為S1，在另一個面上做或者找到那個三角形的射影〔即以3個點的射影為頂點的三角形〕的面積S2，二面角為X，那么COSX=S2/S1〕。此題選D，難度為★★★〔12〕如圖,小圓圈表示網絡的結點,結點之間的連線表示它們有網線相聯.連線標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時傳遞.那么單位時間內傳遞的最大信息量為〔A〕26〔B〕24〔C〕20〔D〕19分析：此題考查識圖問題，屬腦筋急轉彎。此題選D，難度為★★★★第二卷〔非選擇題共90分〕考前須知：1．第二卷共8頁,用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中.2．答卷前將密封線內的工程填寫清楚.二、填空題：本大題共4小題,每題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.〔13〕〔14〕一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個，那么其中含紅球個數的數學期望是_______________.(用數字作答)分析：此題考查期望與方差。列出分布列，并利用概率和等于1作檢驗，沒問題后，再求期望。此題答案：1.2，難度為★★〔15〕在空間中,①假設四點不共面,那么這四點中任何三點都不共線.②假設兩條直線沒有公共點,那么這兩條線是異面直線.以上兩個命題中,逆命題為真命題的是__________〔把符合要求的命題序號都填上〕.分析：此題考查立體幾何根底與簡易邏輯，〔1〕的逆命題為假命題，〔2〕的逆命題為真命題。此題答案：〔2〕，難度為★★〔16〕設{an}是公比為q的等比數列,Sn是它的前n項和.假設{Sn}是等差數列,那么q=_______.分析：此題考查等差等比數列根底，先由等比數列前n項和公式將Sn展開。由于Sn為等差數列，因此其通項應為一次函數，但當q不為1時，其通項不可能為一次函數。故q=1，驗證無誤。此題答案：1，難度為★★★三、解答題：本大題共6小題,共74分.解容許寫出文字說明,證明過程或演算步驟.〔17〕〔本小題總分值12分〕〔18〕(本小題總分值12分)如圖,用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統N1、N2.當元件A、B、C都正常工作時,系統N1正常工作；當元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時,系統N2正常工作.元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90.分別求系統N1、N2正常工作的概率P1、P2.〔19〕(本小題總分值12分)〔Ⅰ〕求a的值:〔Ⅱ〕證明f(X)在(0,+∞)上是增函數注意：考生在〔20甲〕、〔20乙〕兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以〔20甲〕計分.〔20甲〕〔本小題總分值12分〕如圖,以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O—xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E為VC中點,正四棱錐底面邊長為2a,高為h.〔Ⅱ〕記面BCV為а,面DCV為β,假設∠BED是二面角а-VC-β的平面角,求cos∠BED的值〔20乙〕〔本小題總分值12分〕如圖,在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD＝．〔Ⅰ〕求四棱錐S—ABCD的體積；〔Ⅱ〕求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.〔21〕某電廠冷卻塔的外形是如下圖雙曲線的一局部繞其中軸〔即雙曲線的虛軸〕旋轉所成的曲面，其中A、A是又曲線的頂點，C、C是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B是下底直徑的兩個端點，AAˊ=14m,CCˊ=18=22m，塔高20m。〔Ⅰ〕建立坐標系并寫出該雙曲線方程：〔Ⅱ〕求冷卻塔的容積〔精確到10m3〔22〕〔本小題總分值14分〕〔Ⅰ〕求θ的取值范圍；〔Ⅱ〕證明這4個交點共圓,并求圓半徑的取值范圍.2001年普通高等學校招生全國統一考試〔天津卷〕數學試題〔理工農醫類〕參考解答及評分標準說明：一．本解答指出了每題要考查的主要知識和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細那么.二．對計算題,當考生的解答在某一步出現錯誤時,如果后繼局部的解答未改變該題內容和難度,可視影響的程度決定后繼局部的給分,但不得超過該局部正確解容許得分數的一半；如果后繼局部的解答有較嚴重的錯誤,就不再給分.三．解答右端所注分數,表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四．只給整數分數.選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：此題考查根本知識和根本運算.每題5分,總分值60分.〔1〕A〔2〕B〔3〕C〔4〕A〔5〕B〔6〕A〔7〕A〔8〕D〔9〕A〔10〕B〔11〕D〔12〕D二、填空題：此題考查根本知識和根本運算.每題4分,總分值16分.〔13〕〔14〕1.2 〔15〕②〔16〕1三、解答題〔17〕本小題主要考查分式不等式的解法，考查分類討論的數學思想，總分值12分。解：原不等式的解集是下面不等式組〔Ⅰ〕、〔Ⅱ〕的解集的并集：〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕……2分分情況討論〔ⅰ〕當a<0或a>1時，有a<a2，此時，不等式組〔Ⅰ〕的解集為∣x∣a<x<a2∣,不等式組〔Ⅱ〕的解集為空集Ф……6分〔ⅱ〕當0<a<1時，有a2<a，此時，不等試組〔Ⅰ〕的解集為空集Ф不等式組〔Ⅱ〕的解集為∣x∣a2<x<a∣；……10分〔ⅲ〕當a=0或a=1時，原不等式無解，綜上，當a<0或a>1時，原不等式無解集為∣x∣a<x<a2∣；當0<a<1時，原不等式的解集為∣x∣a2<x<a∣；當a=0或a=1時，原不等式的解集為Ф……12分〔18〕本小題考查相互獨立事件同時發生或互斥事件有一個發生的概率的計算方法,考查運用概率知識解決實際問題的能力.總分值12分.解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C,由條件P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90.〔Ⅰ〕因為事件A、B、C是相互獨立的,所以,系統N1正常工作的概率P1=P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.故系統N1正常工作的概率為0.648.……5分〔Ⅱ〕系統N2正常工作的概率∵……10分∴P2=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792.故系統N2正常工作的概率為0.792.……12分〔19〕本小題主要考查函數的奇偶性和單調性等根本性質，指數函數和不等式的根本性質和運算，以及綜合分析問題的能力，總分值12分。〔Ⅰ〕解：依題意，對一切x∈R有f(x)=f(-x)，即所以對一切x∈R成立由此得到，即a2=1……4分又因為a>0，所以a=1.(Ⅱ)證明一：設0<x1<x2，……8分由x1>0，x2>0，x2-x1>0,，得x1+x>0，ex2-x1－1>0，1－ex2+x1<0．∴f(x1)－f(x2)<0,即f(x)在〔0，+∞〕上是增函數，……12分證明二：由f(x)=ex+e-x,得f′(x)=ex－e-x=e-x(e2x－1).……8分當x∈(0,+∝)時，有e-x(e2x－1).此時f′(x)>0,所以f(x)在〔0，+∞〕上是增函數。……12分注意：考生在〔20甲〕、〔20乙〕兩題中選一題作答,如果兩題都答,只以〔20甲〕計分.〔20甲〕本小題考查空間直角坐標的概念、空間點和向量的坐標表示以及兩個向量夾角的計算方法；考查運用向量研究空間圖形的數學思想方法.總分值12分.解：〔Ⅰ〕由題意知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，由此得∴……3分由向量的數量積公式有〔Ⅱ〕假設∠BED是二面角―VC―的平面角，那么,即有又C(－a，a，0)，V(0，0，h)，那么，且∴即，這時有……9分即 ……12分〔20乙〕本小題考查線面關系和棱錐體積計算,考查空間想象能力和邏輯推理能力.總分值12分.解：〔Ⅰ〕直角梯形ABCD的面積是……2分∴四棱錐S—ABCD的體積是……4分〔Ⅱ〕延長BA、CD相交于點E，連結SE，那么SE是所求二面角的棱……6分∵AD//BC，BC=2AD，∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線,又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角……10分∵∴即所