(邏輯學課程課件）第三章判斷二、判斷的真實性、準確性和恰當性1.判斷的真實性問題真判斷假判斷

判斷有真假之分，凡如實地、按照客觀事物本來面目反映的，就是真實的判斷，或叫做真判斷。

凡歪曲地、不按照客觀事物本來面目反映的，就是虛假的判斷，或叫做假判斷。2.判斷的準確性問題判斷的準確性表現在質、量、關系等各個方面。例如：一切事物必定都是運動發展的。量質這里“一切”，在量上非常準確。這里“必定”，在質上非常準確。例如：只有當月球運行在地球與太陽中間并且三者成一條直線時，地球上才能發生日蝕現象。關系這里“只有當時”，而不是一般的“當時”，在條件與推斷的關系上非常準確。所謂準確不準確，是針對具體問題來講的。例如：你回答說“中國隊戰勝了美國隊。”如果是問：“中美兩隊誰勝了？”那么準確。如果是問：“中國隊勝負如何？”那么不準確。3.判斷的恰當性問題其一，用來反映、認識客觀現實事物的判斷，其恰當性要求真實而準確。

例：任何事物都是發展變化的。其二，針對具體目的、為解決具體任務而運用的判斷，它的恰當性不一定要求真實，更不一定要求準確。

例：人是動物。三、判斷、語句和命題1.判斷與語句判斷語句相互聯系相互區別判斷和其他思維形式一樣，也必須依存于語言材料。“語言是思維的直接現實”（馬克思）思想“只有要語言材料的基礎上，在語言的術語地基礎上才能產生和存在”（斯大林）判斷離不開語句，必須用語句來表達。但兩者不可混淆，判斷是思想，語句是表達思想的語言材料。它們的區別在于，二者不是一一對應的。具體來說，這種不對應性表現在：第一，并非所有的語句都表達判斷。語句直陳句疑問句祈使句感嘆句反問句一般說來，陳述句、反問句表達判斷。疑問句、祈使句和感嘆句一般不直接表達判斷。而那些具有疑問、祈使、感嘆等形式，而實質上是有所斷定，并且是或真或假的句子是判斷。第二，同一語句可以表達不同的判斷。語句歧義語句無歧義語句

歧義語句在不同的語境下可以表達不同的判斷。自然語言中的語句，不少是歧義語句。因為A.語言中有多義詞；B.用語含混；C.標點符號不明確；D.句式結構本身不確定。

例如：A.那是白頭翁。

（老人？鳥？植物？）B.（1）這是一個現代派畫家的畫展。

（可以理解為：這個畫展是由某一個現代派畫家舉辦的；也可以理解為：這個畫展是由現代派（而不是其他流派）畫家舉辦的。

（2）故事：三考生赴京趕考，遇一算命先生，問其未來情況。算命先生伸出一手指。

C.（1）下雨天留客天天留我不留。

（2）父在母先亡。

（3）人多病少財富。

D.這個工人的作品很好。第三，同一判斷可以用不同的語句來表達。例如：“所有的結果都是有原因的”，“沒有無因之果”，“難道會有無因之果嗎？”表達的就是同一判斷。

“對立統一規律”和“事物的矛盾法則”。

再如：甲與乙對弈，甲贏，也可表述為，沒有和棋，甲也沒輸，乙也沒贏。A.語種不一可以表達同一判斷；B.句式不一可以表達同一判斷；C.措詞不一可以表達同一判斷。2.命題有的語句是表達判斷的，有的語句不是表達判斷的。表達判斷的語句稱為命題。命題的基本特征是有真假。任何命題，或者真，或者假，但不能既真又假。命題的真、假二值，統稱為命題的真值。真命題的真值為真，假命題的真值為假。例如：“今天是星期幾？”這是疑問句而不表達判斷，它不是命題。“今天是星期二。”這是一個命題。四、判斷的種類判斷非模態判斷模態判斷簡單判斷復合判斷性質判斷（直言判斷）關系判斷聯言判斷選言判斷假言判斷負判斷第二節性質判斷（直言判斷）原子命題復合命題原子命題是不包含和自身不同的命題。復合命題在一般意義上是指包含和自身不同命題的命題。復合命題所包含的與自身不同的命題，稱為它的支命題。例如：（1）小張今天感冒了。（2）小張昨天去八一湖冬泳過。（3）小張今天感冒了，因為他昨天去八一湖冬泳過。（4）小張今天感冒了并且昨天去八一湖冬泳過。其中，句（1）、（2）是原子命題。句（3）、（4）都包含句（1）、（2）作為自身的支命題，因而都是一般意義上的復合命題。但句（3）和句（4）有著重要的區別：句（3）的真值并不是由它的支命題的真值完全地、惟一地確定的，例如，在句（1）、句（2）都真的情況下，句（3）可能真，也可能假；句（4）的真值則完全地是由它的支命題的真值惟一確定的，例如，句（1）、句（2）都真，則句（4）真；句（1）真而句（2）假，則句（4）假，等等。命題邏輯不研究句（3）而研究句（4）這樣的復合命題。在命題邏輯中，復合命題是指這樣的命題：第一，它包含與自身不同的命題作為支命題；第二，它的真值由其支命題的真值惟一地確定。顯然，句（4）是命題邏輯意義上的復合命題，句（3）則不是。

復合命題的支命題，仍然可以是復合命題，但最終復合命題總是由原子命題依據一定的邏輯關系構成的。表達這類邏輯關系的語詞，稱作聯結詞。日常語言中常用的聯結詞有“并且”、“或者”、“如果……那么……”、“只有……才……”、“并非”等。

因此，也可以說，復合命題是由原子命題和聯結詞構成的。一、什么是性質判斷簡單判斷性質判斷性質判斷構成不包含其他判斷的判斷斷定思維對象具有或不具有某種性質的判斷主項謂項聯項量項表示被斷定的思維對象的部分，邏輯學上通常用“S”表示。表示思維對象具有或不具有的性質的部分，邏輯學上通常用“P”表示。表示有所肯定或否定的部分，漢語中，“是”表示肯定聯項，“不是”表示否定聯項。表示主項所斷定的對象的數量的部分。例句：一切事物都是運動、變化、發展的。二、性質判斷的種類根據直言判斷的質肯定判斷性質判斷的聯項所表示的主、謂項之間的關系，叫做【性質判斷的質】。否定判斷斷定思維對象具有某種性質的判斷。斷定思維對象不具有某種性質的判斷。根據直言判斷的量全稱判斷特稱判斷單稱判斷SP某個有所有是不是

任何性質判斷都有質和量兩個方面，因此，結合質和量兩個方面，性質判斷可分為6種。

由于單稱肯定判斷和單稱否定判斷的主項是一個單獨概念，其外延是一，即全部，因而傳統邏輯的性質判斷只有4種：A（SAP）、E（SEP）、I（SIP）、O（SOP）。

注：字母A是拉丁文中Affirmo這個詞的第一個元音字母，這個詞作肯定講。字母E是拉丁文中Nego這個詞的第一個元音字母e的大寫，這個詞作否定講。I是Affirmo一詞的第二個元音字母i的大寫，O是Nego一詞第二個元音字母o的大寫。三、A、E、I、O之間的真假關系

性質判斷間存在著一種真假制約關系，即：一個判斷的真或假決定著另一個判斷的真或假。我們探討的性質判斷是具有相同素材的性質判斷。【相同素材（同一素材）】指的是這樣的情況：各個性質判斷，它們或在質上不同，或在量上不同，或在質和量兩個方面都不同，但它們的主項彼此相同，謂項彼此相同。S與P在A、E、I、O四種判斷中的關系（1）A判斷中S與P的關系SP同一關系SP真包含于關系（2）E判斷中S與P的關系SP不相容關系（3）I判斷中S與P的關系交叉關系PS真包含關系（4）O判斷中S與P的關系SP

綜上所述，A、E、I、O四種判斷形式中S與P之間的關系不外乎圖一至五所示。換言之，只有符合上圖所示的各種關系時，各種判斷相應來說才是真的，否則就是假的。下表指明了S與P之間的真假情況：ATTFFFEFFFFTITTTTFOFFTTTSPPSSPSPSP

上述關系又叫“對當關系”，可用一方形圖表示，亦稱“邏輯方陣”（logicalsqure）。AEOI反對關系下反對關系差等關系差等關系矛矛盾盾四、A、E、I、O的主項與謂項的周延問題

周延問題在邏輯學中是一個比較重要的問題，因為它一方面和準確地運用性質判斷有關，一方面和三段論推理有關。具體談一下什么叫做周延？什么叫做不周延？

（1）在一個性質判斷中，如果它的主項（或謂項）的全部外延被確定，那么，這個性質判斷的主項（或謂項）就是周延的；

（2）如果它的主項（或謂項）被有所斷定，但并沒被斷定全部外延，則這個主項（或謂項）就是不周延的。

以下分別對A、E、I、O四種判斷的主項、謂項周延情況作出說明：SPA周延不周延E周延周延I不周延不周延O不周延周延注意事項：（1）周延問題只屬性質判斷中的問題，非性質判斷沒有周延和不周延問題；（2）周延問題主要涉及性質判斷的主、謂項，任何概念如果不充當性質判斷的主謂項，也無所謂周延和不周延問題；（3）周延問題只是就判斷的邏輯形式而言，它表現了判斷形式本身對主、謂項的外延所做的斷定情況，與事實情況是無關的。第三節關系判斷一、什么是關系判斷關系判斷是斷定對象之間具有或不具有某種關系的判斷。例句：（1）北宋畢升發明的活版印刷術比歐洲的早四百年；（2）金星介于水星和地球之間；（3）2加1，再乘以3，等于9。二、關系判斷的組成關系判斷關系關系項關系量項是表示思維對象間所具有的某種關系的部分，邏輯學上常用“R”表示。是表示具有某種關系的思維對象的部分，邏輯學上一般以a、b、c……等表示。關系判斷中關系項可以是2個，也可以是3個或3個以上。是表示關系項所代表的思維對象的數量部分。有“某個”、“有些”、“所有”等標志。

一個由兩個關系項構成的關系判斷，其邏輯形式可表示為：R（a，b）或aRb

讀作“a與b具有R關系”。

如果要表示a與b不具有R關系，就在“R”的上方加“─”，即：__R（a，b）或aRb

讀作“a與b不具有R關系”。【性質判斷】與【關系判斷】

有些判斷（如性質判斷）在語言形式上和關系判斷很相像，但實際上它們不是關系判斷：

如：（1）甲和乙相互指責；

（2）甲和乙都是學生。

（1）是關系判斷，（2）不是。（2）可以分解成“甲是學生”和“乙是學生”兩個判斷，（1）卻不能分解成兩個判斷。一般來說，我們區分像用“和”、“與”等聯結詞聯結兩個主項而構成的判斷是不是關系判斷時，我們就分析它是否能分解成兩個意義完整的判斷，能分解的，不是關系判斷，不能分解的才是關系判斷。

在傳統的、古典的形式邏輯中是不研究關系判斷的。在傳統的形式邏輯中，把所有的關系判斷都處理成直言判斷，就是把所有的關系判斷都“化歸”或“還原”為性質判斷。“化歸”的方法就是把兩項關系的關系項前項作為主項，把后項及關系作為謂項，然后加聯結詞“是”而構成性質判斷。

如：長江長于黃河。→長江是長于黃河的。

這樣存在一定的缺陷。三、關系的邏輯性質二元關系的若干性質對稱性傳遞性自返性對稱關系反對稱關系（非對稱關系）不定對稱關系傳遞關系反傳遞關系（非傳遞關系）不定傳遞關系自返關系反自返關系（非自返關系）不定自返關系對稱性對稱關系反對稱關系不定對稱關系（非對稱關系）設R為一二元關系。如果?x?y（R（x，y）→R（y，x）)（即對任意對象x和y而言，如果x和y有關系R，則y和x有關系R），則稱R為對稱關系。例如“婚姻”就是一種對稱關系。例如：

（1）1米=100厘米。→100厘米=1米；

（2）老張和老李是同學。→老李和老張是同學。設R為一二元關系。如果?x?y（R（x，y）→┐R（y，x）)（即對任意對象x和y而言，如果x和y有關系R，則y和x沒有關系R），則稱R為反對稱關系。例如“大于”就是一種反對稱關系。例如：（1）7>2；

（2）長江比黃河長；

（3）新生事物戰勝舊事物。→舊事物不戰勝新生事物。設R為一二元關系。如果?x?y（R（x，y）→（?R（y，x）??R（y，x）))（即對任意對象x和y而言，如果x和y有關系R，則y和x可能有關系R，也可能沒有關系R。“?”讀作“可能”，是一種模態算子，詳見“模態邏輯”），則稱R為不定對稱關系（或非對稱關系)。例如“尊敬”就是一種不定對稱關系。例如：（1）小王認識張老師；

（2）小王喜歡小李。傳遞性傳遞關系反傳遞關系不定傳遞關系（非傳遞關系）設R為一二元關系。如果?x?y?z（（R（x，y）?R（y，z）)→R（x，z）)（即對任意對象x、y、z而言，如果x和y有關系R，y和z有關系R，則x和z有關系R），則稱R為傳遞關系。例如“大于”就是一種傳遞關系。例如：

（1）100大于90，90大于80，則100大于80；

（2）設R為一二元關系。如果?x?y?z（（R（x，y）?R（y，z）)→┐R（x，z）)（即對任意對象x、y、z而言，如果x和y有關系R，y和z有關系R，則x和z沒有關系R），則稱R為反傳遞關系。例如“年長一歲”就是一種反傳遞關系。例如：

（1）甲是乙的父親，乙是丙的父親，那么，甲就決不是丙的父親。（而是丙的爺爺）設R為一二元關系。如果?x?y?z（（R（x，y）?R（y，z）)→（?R（x，z）)?（?┐R（x，z）））（即對任意對象x、y、z而言，如果x和y有關系R，y和z有關系R，則x和z可能有關系R，也可能沒有關系R），則稱R為不定傳遞關系（或非傳遞關系）。例如“尊敬”就是一種不定傳遞關系。例如：

（1）甲認識乙，乙認識丙，則甲可能認識丙，也可能不認識丙；自返性自返關系反自返關系不定自返關系（非自返關系）設R為一二元關系。如果?xR（x，x）（即對任一對象而言，該對象與自身具有關系R），則稱R為自返關系。例如“相同”就是一種自返關系。例如：

（1）；

（2）設R為一二元關系。如果?x┐R（x，x）（即對任一對象而言，該對象不與自身具有關系R），則稱R為反自返關系。例如“大于”就是一種反自返關系。例如：

（1）；

（2）設R為一二元關系。如果?xR（x，x）??y┐R（y，y）（即存在對象x，x與自身具有關系R，并且存在對象y，y不與自身具有關系R），則稱R為不定自返關系（或非自返關系。例如“自信”就是一種不定自返關系。例如：

（1）有人自信，有人不自信；

（2）第四節聯言判斷

我們下面要講的都屬于復合判斷，即是由其他判斷構成的判斷，或者說，是可以分解成其他判斷的判斷。構成復合判斷的其他判斷，叫做【肢判斷】。

具體說來，復合判斷具有以下幾個特征：一、什么是聯言判斷【聯言判斷】是斷定若干思維對象情況同時存在的判斷。它的結構必須包含若干個反映事物情況的判斷以及表達聯結關系的聯言聯結詞。

例句：

（1）世界是多樣的又是統一的；

（2）紅了櫻桃，綠了芭蕉。二、聯言判斷的組成聯言判斷聯言肢聯言聯結詞就是聯言判斷的肢判斷，就是組成聯言判斷的其他判斷，即每一個反映事物情況的判斷。從量上說，聯言肢最少是兩個，但也可以是三個、四個，許多個。聯言判斷的聯言肢一般是性質判斷，但也可以是關系判斷，也可以在一個聯言判斷中既包含性質判斷，又包含關系判斷。例句：黃河位于長江以北，是我國燦爛的古代文明的發祥地。關系判斷性質判斷就是表達聯接關系的詞項。漢語里有“和”、“并且”，“不但……而且……”、“既……又……”、“不僅……還……”等等。聯言判斷的邏輯形式是：p并且q

符號表達式：p?q（?讀作“合取”）但是有“和”“與”等詞不一定就是聯言判斷：如：“小王和小李是好朋友”就不是聯言判斷。三、聯言判斷的值和它的真值表任何判斷都或是真的，或是假的，這是判斷的特點。一個判斷是真的，就說它有真值；一個判斷是假的，就說明它有假值。復合判斷是由肢判斷構成的，所以，肢判斷的真假便間接地決定了復合判斷的真假。把這種真假制約關系列成一個表，這個表就叫做真值表。所以，可以說，【真值表】（TruthTable）就是表示肢判斷和由它們構成的復合判斷之間的真假制約關系的表格，或者說圖表。聯言判斷的真值表pqp?qTTTTFFFTFFFF注意幾個問題：第一，它只斷定幾種情況同時存在，沒有考慮其他關系，因此，它不涉及聯言肢的先后秩序問題。第二，在一定語境中，要想使聯言判斷運用適當，就要考慮其他關系。例句：（1）出席會議的有XX、XX同志；（2）我們已取得了勝利，并且還將取得更大的勝利。第三，保留肢判斷原型的方式。例如：今天比昨天好，而明天比今天更好。第四，壓縮肢判斷的方式。（1）直言判斷聯言肢的主項壓縮在一起。例：這小子既壞又貪（s是p1和p2）。（2）直言判斷的謂項壓縮在一起。例：不論是青年、中年還是老年人，都應當努力學習（s1和s2是p）。第五節選言判斷一、什么是選言判斷【選言判斷】是斷定若干思維對象情況中至少有一種可能情況存在的判斷。

它的結構必須包含兩個部分：一是若干個反映可能情況的判斷；二是表達可能為真這樣一種關系的選言聯結詞。

例句：

（1）；

（2）。二、選言判斷的組成選言判斷選言肢選言聯結詞就是選言判斷中反映可能情況的判斷，它是組成選言判斷的部分，是組成選言判斷的肢判斷選言肢最少兩個，也可以是許多個。例句：。就是表達可能為真這樣一種關系的詞項。漢語中用“或”、“要么……要么……”、“不是……就是……”、“是……還是……”等等來表示。選言聯結詞有兩種：一種我們以“或”為代表，以符號“?”表示（讀作“析取”）；另一種以“要么……要么……”為代表，以符號“?”表示（讀作“不相容析取”）。因此符號表達式：p?qp?q三、選言判斷的種類1.相容的選言判斷【相容的選言判斷】就是斷定思維對象的幾種可能情況至少有一種是存在的，并且可以同時存在的判斷；或說，是選言肢可以同時為真的選言判斷。相容的選言判斷的真假是由其選言肢的真假來確定的。可以把相容選言判斷和它的肢判斷之間的真假關系列成真值表，或者說，把相容選言判斷的真假和它的選言肢的真值之間的關系列成真值表。此表表明：相容選言判斷的選言肢都真，則選言判斷真；選言肢中有一個真，選言判斷也真；只有當選言肢都假時，選言判斷才假。

相容選言判斷的真值表pqp?qTTTTFTFTTFFF2.不相容的選言判斷【不相容的選言判斷】就是斷定思維對象的幾種可能情況至少有一種是存在的，并且只有一種情況存在的判斷；也可以說，就是含有不相容的選言肢的判斷。不相容的選言判斷的真假是由其選言肢的真假來確定的。不相容的選言判斷有一個肢真，則真；兩個肢都真，或兩個肢都假，則假。

不相容選言判斷的真值表pqp?qTTFTFTFTTFFF四、選言判斷選言肢的窮盡問題一個選言判斷的選言肢窮盡問題是指這個選言判斷的選言肢包括了所有可能的情況；一個選言判斷的選言肢不窮盡是指這個選言判斷的選言肢沒有包括所有的可能情況。所謂窮盡是指一定范圍內的窮盡，一定標準下的窮盡。選言肢窮盡的選言判斷才是真的選言判斷。而選言肢不窮盡的選言判斷就不必然真，因為選言肢不窮盡，就可能恰好漏掉真的肢判斷，從而使選言判斷選不出真的肢判斷。選言肢不窮盡的選言判斷不必然真，但可能真。例如：（1）這場足球賽，或者甲隊贏，或者乙隊贏，或者兩隊踢平；（窮盡）（2）天體或是行星，或是恒星。（不窮盡，因為還有衛星、彗星、流星、星云物質等等。）注意幾個問題：（1）日常生活中，斷定p?q時，一般總是不能斷定p和q兩種可能中的任一種，如p和q中一個已被斷定，人們不再做“p或q”這樣的斷定；（2）日常生活中兩件毫不相干的事，一般也不會用“或”聯接。如：我們不會說：2+2=4或者北京是大城市。另如：“伸出你的舌頭或空空蕩蕩”。第六節假言判斷一、什么是假言判斷【假言判斷】是斷定思維對象情況之間的條件聯系的判斷。假言判斷的結構必須包含兩個部分：一是反映對象情況的判斷；二是表達條件和情況間制約關系的假言聯結詞二、條件聯系客觀世界中，事物之間存在著各種各樣的聯系。一個情況出現導致另一情況出現，這也是一種聯系。這種聯系以不同的方式存在于其他聯系之中，所以說，這種聯系是其他許多種聯系和一個共性。這種聯系，我們把它叫做【條件聯系】。能導致其他情況出現的現象叫做【條件】，由條件導致的現象叫做【后果】。在假言判斷中，反映能導出其他現象的現象，即反映條件的，叫做【前件】，反映由條件導出的現象，即反映后果的，叫做【后件】。形式邏輯主要涉及充分條件、必要條件和充分必要條件這三種聯系。三、假言判斷的種類1.充分條件假言判斷什么是充分條件？某條件出現就必然導致某后果；某條件不出現，后果的情況不定，可能出現，也可能不出現，這樣的條件就叫做【充分條件】。或，如果情況p出現，情況q也就出現；p不出現，q不定，q可能出現，也可能不出現，這樣，p就是q的充分條件。【充分條件的假言判斷】是前件為充分條件的假言判斷。充分條件的假言判斷的邏輯形式以下列形式為代表：如果p，那么q符號表達式：p→q（其中，p，q分別稱作“前件”、“后件”，“→”讀作“蘊涵”。）注：多條件聯系【多條件聯系】就是許多條件當中的任何一個都可單獨導致某一相同后果的條件聯系。充分條件假言判斷就是客觀上的多條件聯系的概括，它的前件p就是多條件之一。prqs…充分條件假言判斷的真值表pqp→qTTTTFFFTTFFT2.必要條件假言判斷什么是必要條件？某條件不出現就一定不能導致某后果；而某條件出現，后果的情況不定，可能出現，也可能不出現，這樣的條件就叫做【必要條件】。或，如果情況p不出現，情況q也就不出現；而如果p出現，q則不定，可能出現，也可能不出現，這樣，p就是q的必要條件。必要條件的假言判斷的邏輯形式是：只有p，才q符號表達式：p←q（“←”讀作“逆蘊涵”。）注：復條件聯系復合條件聯系簡稱復條件聯系。【復條件聯系】就是許多個條件聯合起來才能導致后果的條件聯系。或者說，A，B，C，D，E都是客觀對象情況，A，B，C，D必須聯合起來，才能導致E，缺少其中任何一個都不能導致E。必要條件假言判斷就是客觀上復條件聯系的概括。（p?r?s）→q例：只有水分充足適量，小麥才長得好。必要條件假言判斷的真值表pqp←qTTTTFTFTFFFT3.充分必要條件假言判斷某條件出現，就導致某后果；而某條件不出現，就不能導致這個后果，這樣的條件就叫做【充分必要條件】。或者說，如果p出現，q也就出現；而如果p不出現，q也就不出現，p就是q的充分必要條件。在漢語里，以“當，且僅當”為代表（英文ifandonlyif）用以表示充要條件假言聯結詞。充要條件的假言判斷的邏輯形式是：當，且僅當p，則q符號表達式：p?q（“?”讀作“等值”。）表示充要條件假言聯結詞的還有：“如果，而且只有，才”、“有，而且只有，才”等。注：一條件聯系【一條件聯系】一個現象可以同時分別地導致多個并列的后繼現象，而這多個并列的后繼現象又恰是同一事物的不同表現方面。或者說，A，B，C，D，E都是客觀對象情況，如果A同時既導致B，又可導致C，又可導致D，又可導致E，而B、C、D、E又是同一事物的不同表現方面，那么，A與B、C、D、E的聯系就叫做一條件聯系。例：三角形的三邊相等→導致三內角相等、三等高、三中線相等等。充要條件假言判斷的真值表pqp?qTTTTFFFTFFFT第七節負判斷一、什么是負判斷？【負判斷】是由否定一個判斷而構成的判斷。負判斷的邏輯形式是：并非p我們可將“并非”用符號“┐”表示（“┐”讀作“非”），因此上述形式也可寫作：┐p負判斷的肢判斷既可以是一個簡單判斷，也可以是一個復合判斷，還可以是更復雜的復合判斷。例如：（1）并非所有的s是p；┐（SAP）或┐A

（2）并非（p并且q）；┐（p?q）

（3）并非(（p并非q）或者（并非p并且并非q）)。┐（(p?q)?(┐p?┐q)）一個負判斷的真假是由其肢判斷的真假來確定的。由于負判斷是對它肢判斷的否定，所以負判斷與其肢判斷的真假值正好相反。負判斷的真值表p┐pTFFT需要注意的是：（1）負判斷是復合判斷的特殊形式。復合判斷是由其他判斷構成的判斷。而負判斷正是由一個否定詞和一個判斷構成，同時，它又不像其他復合判斷那樣是由邏輯聯結詞聯結兩個或兩個以上判斷所構成，而是由邏輯聯結詞（即否定詞）結合一個判斷而構成，所以，它又是復合判斷的特殊形式。（2）負判斷不同于直言判斷中的否定判斷，否定的直言判斷是判斷思維對象不具有某種性質，而負判斷是對某個判斷的否定。二、與負判斷具有等值關系的判斷1.我們已經學過的部分判斷的負判斷（1）并非所有的s是p；即：┐A（2）并非所有的s不是p；即：┐E（3）并非有些s是p；即：┐I（4）并非有些s不是p；即：┐O（5）并非p并且q；即┐（p?q）（6）并非p或者q；即┐（p?q）（7）并非p要么q；即┐（p?q）（8）并非如果p則q；即┐（p→q）（9）并非只有p才q；即┐（p←q）（10）并非p當且僅當q；即┐（p?q）2.負判斷的等值判斷每一個負判斷都有一個和它等值的判斷。【兩個判斷等值】就是說這兩個判斷的真假值相等，它們真則同真，假則同假，也就是說，它們所表達的真假值相同。邏輯上，用“?”表示判斷間的等值關系。（有的書上用“≡”表示“等值于”。）（1）┐A?O例：“并非所有的行星都有衛星”（┐A）?“有些行星沒有衛星”（O）（2）┐E?I例：“并非所有的科學家都不是自學成才的”（┐E）?“有些科學家是自學成才的”（I）（3）┐I?E例：“并非有氫是氧族元素”（┐I）?“所有的氫都不是氧族元素”（E）（4）┐O?A例：“并非有的事物不是運動的”（┐O）?“所有的事物都是運動的”（A）（5）┐（p?q）?┐p?┐q（德摩根律之一）例：“并非他聰明又能干”（┐（p?q））?“他不聰明或者不能干”（

┐p?┐q）（6）┐（p?q）?（┐p?┐q）（德摩根律之二）例：“并非今天是星期一或星期二”（┐（p?q））?“今天既不是星期一，也不是星期二”（┐p?┐q）（7）┐（p?q）?（（p?q）?（┐p?┐q））例：“并非武松打死老虎要么老虎吃掉武松”（┐（p?q））?“武松打死老虎并且老虎吃掉武松，或者武松沒有打死老虎并且老虎沒有吃掉武松”（（p?q）?（┐p?┐q））（8）┐（p→q）?（p?┐q）例：“并非受災就要減產”（┐（p→q））?“受災而不減產”（p?┐q）（9）┐（p←q）?（┐p?q）例：①“并非只有女同志才下廚房”（┐（p←q））?“不是女同志但下廚房”（┐p?q）②“并非只有天才才能發明創造”（┐（p←q））?“不是天才，也能發明創造”（┐p?q）（10）┐（p?q）?（（p?┐q）?（┐p?q））例：①“并非一個整數的末位數是0當僅且當它能被5整除”（┐（p?q））?“一個整數的末位數是0但它不能被5整除，或者一個整數末位數不是0但它能被5整除”（（p?┐q）?（┐p?q））②“并非只要而且只有風調雨順才能增產”（┐（p?q））?“風調雨順但沒有增產，或者沒有風調雨順但也增了產”（（p?┐q）?（┐p?q））第八節多重復合判斷一、什么是多重復合判斷【多重復合判斷】就是以復合判斷作為肢判斷的判斷。我們學過的一些復合判斷的聯結詞有：“并且”（?）、“或者”（?）、“要么”（?）、“如果……那么……”（→）、“只有……才……”（←）、“當且僅當”（?）、“并非”（┐）。“多層次”是指：（1）至少含有兩個聯結詞；（2）如果所含的聯結詞都相同，必須有括號標明判斷的聯結次序；如果所含的聯結詞不相同，也必須有括號標明肢判斷的聯結次序；（3）如果沒有括號，則按下述結合力由強到弱的順序，來確定肢判斷的聯合次序。結合力程度強弱聯結詞類型┐，?，?，?，→（←），?二、常見的幾種多重復合判斷1.以聯言判斷為前件或后件的充分條件假言判斷（1）以聯言判斷為前件的充分條件假言判斷

其邏輯形式為：p1?p2→q例句：如果加強物質文明和精神文明建設，就有利于社會的安定團結。

（2）以聯言判斷為后件的充分條件假言判斷

其邏輯形式為：p

→q1?q2例句：如果黨風端正了，那么就能調動黨員的積極性并且有助于社會風氣的好轉。（3）以聯言判斷為前件、后件的充分條件假言判斷

其邏輯形式為：p1?p2

→q1?q2例句：如果強加黨的領導并且調動廣大知識分子的積極性，那么，科學文化事業就會興旺并且將取得前所未有的成就。2.以選言判斷為前件或后件的充分條件假言判斷（1）以選言判斷為前件的充分條件假言判斷

其邏輯形式為：p1?p2→q例句：

（2）以選言判斷為后件的充分條件假言判斷

其邏輯形式為：p

→q1?q2例句：（3）以選言判斷為前件、后件的充分條件假言判斷

其邏輯形式為：p1?p2

→q1?q2例句：3.以聯言判斷為前件或后件的必要條件假言判斷（1）以聯言判斷為前件的必要條件假言判斷

其邏輯形式為：p1?p2←q例句：

（2）以聯言判斷為后件的必要條件假言判斷

其邏輯形式為：p

←q1?q2例句：（3）以聯言判斷為前件、后件的必要條件假言判斷

其邏輯形式為：p1?p2

←q1?q2例句：三、多重復合判斷真值的確定日常思維中的命題推理，并不都是以聯言、選言或假言這幾種基本類型的命題推理的單純形式出現的，而往往是以它們的綜合形式出現的，也就是說，是以一般命題推理的形式出現的。例如：如果地球圍繞太陽公轉，但是并不圍繞自己的軸線自轉，那么地球上就沒有白天和黑夜，因為事實是地球上有白天和黑夜，所以，或者地球并不公轉，或者地球既公轉又自轉。這就是一般命題推理。判定這樣的推理的有效性，光依據前面給出的那些規則顯然是有困難的。一般命題推理的判定，包括兩個步驟：第一，寫出所要判定的倒是命題推理的真值形式。方法是：先分別寫出各前提和結論的真值形式；用“?”號將各前提的真值形式聯結起來；用“→”號將前提的合取式和結論聯結起來。所得的蘊涵式即為所要判定的命題推理的真值形式。第二，尋求一些方法來判定命題推理的蘊涵式是否為重言式。下面介紹判定命題推理的幾種基本方法：它們是：真值表方法、歸謬賦值法、范式方法和自然推理方法。1.真值表方法真值表可以判定任一真值形式是否為重言式，或矛盾式，或可真式，因此，自然也可以判定任一命題推理的蘊涵式是否為重言式。下面舉例說明如何運用真值表方法來判定命題推理。【例1】下面兩個推理是否有效：（1）或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。已查明甲是罪犯。所以，乙不是罪犯。（2）或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。已查明甲不是罪犯。所以，乙是罪犯。解：令p表示“甲是罪犯”，q表示“乙是罪犯，則推理（1）的真值形式是(（p?q）?p)→┐q；推理（2）的真值形式是(（p?q）?┐p)→q。構成它們的真值表如下：pq(（p?q）?p)→┐q(（p?q）?┐p)→q1101101101110011上述真值表說明，推理（2）的真值形式為重言式，因此，推理有效。推理（1）的真值形式不是重言式，因此，推理無效。【例2】用真值表判定下述推理：或者邏輯難學，或者沒有多少學生喜歡它。如果數學容易學，那么邏輯不難學。因此，如果許多學生喜歡邏輯，那么學數學并不太容易。解：令p表示“邏輯難學”，q表示“許多學生喜歡邏輯”，r表示“數學容易學”。則該推理的真值形式是：(（p?┐q）?（r→┐p)）→（q→┐r）。構選它的真值表如下：pqr(（p?┐q）?（r→┐p)）→（q→┐r）11111101101110010111010100110001

所以，該推理有效。2.歸謬賦值法從理論上說，對于任意的真值形式，用真值表都可以加以判定，但實際上，像前面例2這樣的包含3個命題變項的真值形式，它的真值表已經顯得臃腫、繁雜；如果一個推理包括更多的命題變項，那么構造它的真值表就非常麻煩。這就使我們考慮尋找其他的判定方法。歸謬賦值法就是一種判定方法，它是真值表方法的簡化運用。因此，也稱為簡化真值表法。歸謬賦值法的基本思想是：為了證明一個蘊涵式是重言式，必須證明它不可能前件真且后件假。先假設所要判定的蘊涵式前件真且后件假，并根據這個假設，給每個命題變項賦值，使其滿足前件真且后件假。在這樣的賦值過程中，如果出現矛盾賦值，即必須同時給同一命題變項既賦真，又賦假，那么，這說明原假設不能成立，因而它是重言式；反之，如果不出現矛盾賦值，則說明存在一組賦值滿足前件真且后件假，因而不是重言式。【例1】試判定下列推理是否有效：如果地球圍繞太陽公轉，但并不圍繞自己的軸線自轉，那么，地球上就沒有白天和黑夜。因為事實是地球上有白天和黑夜。所以，或者地球并不公轉，或者地球既公轉又自轉。解：令p表示“地球繞太陽公轉”，q表示“地球繞自己的軸線自轉”，r表示“地球上有白天和黑夜”，則上述推理的真值形式及歸謬賦值如下：（（（p?┐q）→┐r）?r）→（┐p?（p?q））10111100歸謬賦值的過程是：假設前件真，后件假，并根據這一假設給各命題變項賦值。后件是析取式，為使后件假，必須使“┐p”和“p?q”這兩個析取支都假。為使“┐p”假，必須給p賦真；為使“p?q”假，必須給q賦假（因為p已賦真）。前件是合取式，為使前件真，兩個合取支“（p?┐q）→┐r”和“r”必須都真，即必須給r賦真，因為p已賦真而q已賦假，所以“p?┐q”真，為使“（p?┐q）→┐r”真，r必須賦假。而r已賦真，矛盾！所以原假設不成立，該真值形式是重言式，推理有效。【例2】試判定下列推理是否有效：事實上我的勺是干的，所以我沒有在自己的咖啡中加糖，因為如果我攪動了咖啡，我的勺一定是潮的。然而我不會攪動咖啡，除非我給它加糖。（注意：該推理的結論是“我沒有在自己的咖啡中加糖”，其余的都是前提。解：令p表示“我的勺是干的”，q表示“我給自己的咖啡加糖”，r表示“我攪動了自己的咖啡”，則上述推理的真值形式及歸謬賦值如下：（（r→┐p）?（┐q→┐r）?p）→┐q011011

歸謬賦值的過程是：假設前件真，后件假，并根據這一假設給各命題變項賦值。后件是析取式，為使后件假，必須使q賦真。前件是合取式，為使前件真，三個合取支“r→┐p”，“┐q→┐r”和“p”必須都真，即給p賦真，因為p已賦真，所以為使r→┐p真，必須給r賦假；而在q賦真、r賦假的情況下，第二個合取支┐q→┐r也是真的。賦值完畢，沒有出現矛盾賦值。也一句話說，在p真、q真、r假這組賦值下，原真值形式滿足前件真，后件假，因此不是重言式。原推理無效。3.范式方法常用重言式（1）p→p這是同一律。（2）（（p→q）?p）→q這是分離律。它可以刻畫充分條件假言推理的肯定前件式。（3）p?┐p這是排中律。（4）┐（p?┐p）這是矛盾律。（5）（（p→q）?┐q）→┐p這稱為否定后件律。它可以刻畫充分條件假言推理的否定后件式。（6）（（p?q）?┐p）→q

（（p?q）?┐q）→p這兩個重言式稱為析取否定肯定律。可以刻畫選言推理。（7）（p?q）→p

（p?q）→q這兩個重言式稱為合取分解律。可以刻畫聯言推理的分解式（8）（（p→q）?（q→r））→（p→r）這是連鎖蘊涵。（9）（p→（r?┐r））→┐p這是歸謬律。它的涵義是：如果從一個命題可以推出矛盾，那么這個命題就是假的。（10）p→（p?q）這是析取添加律。以上（5）~（10）式是重言蘊涵式。以下是一些重要的重言等值式。（11）q?┐┐q這是雙重否定律。（12）a.┐（p?q）?（┐p?┐q）b.┐（p?q）?（┐p?┐q）這兩個重言式稱為德摩根律。它說明“?”和“?”可以互相定義：p?q可以定義為┐（┐p?┐q）；p?q可以定義為┐（┐p?┐q）。（13）a.（p?q）?（q?p）b.（p?q）?（q?p）這分別是合取交換律和析取交換律。（14）a.（p?（q?r））?（（p?q）?（p?r））（合取分配律，析取范式）b.（p?（q?r））?（（p?q）?（p?r））（析取分配律，合取范式）這兩個重言式稱為分配律。（15）（p→q）?（┐p?q）這是蘊涵析取律。它說明“→”和“?”可以互相定義。（16）a.p?（p?（q?┐q））b.p?（p?（q?┐q））這兩個重言式稱為加元律。（17）a.（p?q）?(（p→q）?（q→p））b.（p?q）?(（p?q）?（┐p?┐q））這兩個重言式稱為等值律。它說明“?”可以用其他聯結詞定義。（18）a.（p?p）?pb.（p?p）?p這稱為簡化律。這些重言式要經常用到，必須熟記。范式合取范式和析取范式設A為一真值形式，A’為它的范式。A’具有如下特點：第一，A?A’；第二，A’直觀可判定。也就是說，A’是否為重言式或矛盾式通過對其相應的規范形式的觀察即可直接判定。因此，對真值形式的判定，可以歸結為求它的范式。范式分為【合取范式】和【析取范式】。為了定義什么是合取范式和析取范式，先引入一些概念。【簡單析取式】簡單析取式是這樣一種析取式，它的任一析取支是一命題變項或其否定。如：p?q、p?┐q?r等是簡單析取式，p?（┐q?r）則不是。一簡單析取式是重言式當且僅當存在一命題變項及其否定同時是它的析取支。如：p?q?┐q是重言的簡單析取式，而┐p?q?r則不是。顯然，一個簡單析取式是否為重言式，根據其形式即可直觀判定。為什么一簡單析取式是重言式當且僅當存在一命題變項及其否定同時是它的析取支呢？因為在任意賦值下，一命題變項及其否定總有一真，而一析取式只要有一析取支真，它的值就真，因此，如果一命題變項及其否定同時作為析取支出現，這樣的析取式總是真的；另一方面，如果不存在一命題變項及其否定同時作為析取支出現，那么這樣的簡單析取式就一定存在一組賦值使其每個析取支都假，因而不是重言式。【簡單合取式】簡單合取式是這樣一種合取式，它的任一合取支是一命題變項或其否定。如p?q、┐p?q?┐r等是簡單合取式，而p?（┐q?r）則不是。類似的道理證明，一簡單合取式是矛盾式當且僅當存在一命題變項及其否定同時是它的合取支。如p?┐q?┐p是矛盾的簡單合取式。同樣顯然，一簡單合取式是否為矛盾式，也是直觀可判定的。我們約定，單個命題變項及其否定，如p、┐q等，既可看作簡單析取式，也可看作簡單合取式。定義了簡單析取式和簡單合取式以后，就可以定義合取范式和析取范式了。【合取范式】合取范式是這樣一種合取式，它的任一合取支都是簡單析取式。如（p?q）?（┐p?r）、p?（p?┐q）?r等是合取范式，（p?（q?┐r））?（p?┐q）則不是。【析取范式】析取范式是這樣一種析取范式，它的任一析取支都是簡單合取式。如（p?┐q）?（┐p?r）、p?（q?┐r）等是析取范式，p?（q?（p?┐r）則不是。一合取范式是重言式，當且僅當它的任一合取支都是重言的簡單析取式，而一個簡單析取式是否為重言式是直觀可判定的，因此，一合取范式是否為重言式也是直觀可判定的。一析取范式是矛盾式，當且僅當它的任一析取支都是矛盾的簡單合取式，而一個簡單合取式是否為矛盾式是直觀可判定的，因此，一析取范式是否為矛盾式也是直觀可判定的。由于一個真值形式和它的范式是等值的，因此，判定一真值形式是否為重言式，可以歸結為求它的合取范式；判定一真值形式是否為矛盾式，可以歸結為求它的析取范式。現在的的問題是，任一真值形式是否一定存在？如何求一個真值形式的范式？求范式的方法范式的存在性求一個真值形式的范式的方法，包括這樣幾個具體步驟：第一，先將真值形式中的“?”和“→”完全消去。即用（p?q）?（┐p?┐q）置換p?q，（見（17）b）用┐p?q置換p→q。（見（15））第二，將“┐”逐步內移至命題變項之前，消去雙重否定號。即用┐p?┐q置換┐（p?q），（見（12b））用┐p?┐q置換┐（p?q），（見（12a））用p置換┐┐p。經過上述兩個步驟后，真值形式中只有命題變項及其否定以及“?”和“?”。第三，在上述步驟的基礎上，運用合取分配律并加以簡化就得原真值形式的析取范式；運用析取分配律并加以簡化就得原真值形式的合取范式。任何真值形式，運用上述方法，都能在有限步內得到一個與之等值的范式。這也就是說，任一真值形式的范式是存在的。【例1】用范式方法判定以下真值形式是否為重言式：（p?（p→q））→q解：判定該式是否為重言式，須求它的合取范式：消去“→”：┐（p?（┐p?q））?q（1）

內移“┐”：（┐p?（┐┐p?┐q）?q（2）消去“┐┐”：（┐p?（p?┐q）?q（3）展開：（┐p?p?q）?（┐p?┐q?q）

（4）（4）式即為原式的合取范式，顯然為重言式。因此，原式是重言式。【例2】用范式方法判定以下真值形式是否為矛盾式：（p?q）?（┐p?┐q）解：判定該式是否為矛盾式，須求它的析取范式：消去“?”：（（p?q）?（┐p?┐q））?（┐（p?q）?┐（┐p?┐q））

（1）

內移“┐”：（（p?q）?（┐p?┐q））?（（┐p?┐q）?（┐┐p?┐┐q））

（2）消去“┐┐”：（（p?q）?（┐p?┐q））?（（┐p?┐q）?（p?q））（3）化簡：（p?q）?（┐p?┐q）（4）展開：（p?┐p?┐q）?（q?┐p?┐q）（5）（5）式即為原式的析取范式，顯然為矛盾式。因此，原式是矛盾式。范式方法在命題推理判定中的運用下面通過實例來說明范式方法在命題推理判定中的運用。一命題推理有效，當且僅當它的真值形式是重言式。因此，一命題推理的判定，可歸結為求它的真值形式的合取范式。【例1】試判定下面兩個推理的有效性：（a）與人民為敵，而又不受歷史的懲罰，這是妄想。因此，要想不受歷史的懲罰，只有不與人民為敵。（b）與人民為敵，而又不受歷史的懲罰，這是妄想。因此，只要不與人民為敵，就能不受歷史的懲罰。解：令p表示“與人民為敵”，q表示“受歷史的懲罰”，則推理（a）的真值形式是：┐（p?┐q）→（p→q）推理（b）的真值形式是：┐（p?┐q）→（┐p→┐q）先求┐（p?┐q）→（p→q）的合取范式：消去“→”：┐┐（p?┐q）?（┐p?q）（1）消去“┐┐”：（p?┐q）?（┐p?q）（2）展開：（p?┐p?q）?（┐q?┐p?q）（3）（3）式即合取范式，顯然是重言式。因此，推理（a）有效。再求┐（p?┐q）→（┐p→┐q）的合取范式：

消去“→”：┐┐（p?┐q）?（┐┐p?┐q）（1’）

消去“┐┐”：（p?┐q）?（p?┐q）（2’）

展開：（p?p?┐q）?（┐q?p?┐q）（3’）

（3’）式即為合取范式。顯然不是重言式。因此，推理（b）無效。

這里說明一下，為什么推理（a）的結論“要想不受歷史的懲罰，只有不與人民為敵”的真值形式是“p→q”。我們知道，必要條件假言命題“只有A，才B”的真值形式是“┐A→┐B”，因此，“只有不與人民為敵，才能不受歷史懲罰”的真值形式是“┐┐p→┐┐q”，即“p→q”。【例2】試判定下面推理的有效性：如果你喜歡邏輯而不喜歡數學，那么，你并不是真喜歡邏輯。因此，如果你真喜歡邏輯，那么一定也喜歡數學。解：令p表示“你喜歡邏輯”，q表示“你喜歡數學”，則上述推理的真值形式是：（（p?┐q）→┐p）→（p→q）求它的合取范式：消去“→”：┐（┐（p?┐q）?┐p）?（┐p?q）（1）內移“┐”：（┐┐（p?┐q）?┐┐p）?（┐p?q）（2）消去“┐┐”：（p?┐q）?p）?（┐p?q）（3）展開、化簡：（p?┐p?q）?（┐q?┐p?q）（4）（4）式是重言的合取范式。所以，推理有效。注意：一個真值形式的范式不是惟一的，也就是說，同一真值形式可以求得不同的范式。當然，這些范式都是等值的。因此，范式雖然不具有惟一性，但用范式方法進行判定所得出的結論具有惟一的確定性。4.命題自然推理自然推理是判定推理形式有效性的又一種方法。自然推理的基本思想是確定一些推理規則，這些規則具有保真性。也就是說，依據這些規則，從真前提只會推出真結論。因此，從所要判定的推理的前提出發，如果依據推理規則，能形式地推出預期的結論，這就說明該推理如果前提真，結論就一定真，因而是有效的。自然推理區別于一般的公理化推理之處在于，作為推理出發點的只有推理規則，沒有公理。這似乎更符合人們日常思維的習慣，因此稱之為自然推理。自然推理可用于判定命題推理，但本章只討論判定命題推理，稱之為命題自然推理。（1）命題自然推理的基本規則命題自然推理的基本規則：規則P：在一個推導的任意一步都可引入一個新前提。規則T：如果在一個推導中有一些先行命題的合取重言地蘊涵命題A，則可以在該推導中引入命題A。規則D：如果從一前提集和命題A能推出命題B，那么，從該前提集可推出“A→B”。可以證明，這些規則都具有保真性。規則T的運用要求熟練地掌握常用的重言蘊涵式和重言等值式，這點必須注意。下面通過實例說明如何依據這些規則來構造命題自然推理。【例1】饑餓或是胃部引起，或是大腦中的血液循環引起，或是全身的神經引起。如果饑餓由胃部引起，那么切斷兔子胃部的神經聯系就會阻止正常的進食；但進行這樣的實驗并沒有阻止兔子的正常進食。大腦的活動總是開始于神經末梢的被刺激。如果這樣，饑餓就不會是大腦中的血液循環引起。因此，饑餓是由全身的神經引起的。【例1】饑餓或是胃部引起，或是大腦中的血液循環引起，或是全身的神經引起。如果饑餓由胃部引起，那么切斷兔子胃部的神經聯系就會阻止正常的進食；但進行這樣的實驗并沒有阻止兔子的正常進食。大腦的活動總是開始于神經末梢的被刺激。如果這樣，饑餓就不會是大腦中的血液循環引起。因此，饑餓是由全身的神經引起的。解：令：p表示“饑餓由胃部引起”，q表示“饑餓由大腦中血液循環引起”，r表示“饑餓由全身的神經引起”，s表示“切斷兔子胃部的神經聯系會阻止正常的進食”，t表示“大腦的活動總是開始于神經末梢的被刺激”。構造自然推理如下：該推理共五個前提。先依據規則P在推導中把它們依次引入。然后設法依據規則導出結論。注意推導格式：（1）{1}p?q?r規則P（2）{2}p→s規則P（3）{3}┐s規則P（4）{4}t規則P（5）{5}t→┐q規則P（6）{2、3}┐p規則T用于（2）、（3）（7）{4、5}┐q規則T用于（4）、（5）（8）{2、3、4、5}┐p?┐q規則T用于（6）、（7）（9）{2、3、4、5}┐（p?q）規則T用于（8）（10）{1、2、3、4、5}r規則T用于（1）、（9）最后一行即為預期的結論。因此，推理有效。以上的推導格式包括四列數字、符號或文字。第一列數字表示推導的步驟。第二列數字表示前提的編號，它用以說明右邊的命題是哪一個前提或是依賴于哪些前提所推出的結論。例如第（1）行的{1}說明“p?q?r”是一個前提，該前提的編號是1；第（6）行的{2、3}說明“┐p”是依賴于前提2、3所推出的結論；第（10）行的{1、2、3、4、5}說明r是依賴于前提1、2、3、4、5所推出的結論。事實上，這也是整個推理的結論。第三列是表示命題的符號公式，它表示從前提到中間結論再到最終結論的推導過程。第四列的文字說明每一行的推導所依據的規則。例如，第（1）行的前提“p?q?r”的引入是依據規則P，第（6）行“┐p”的導出是依據運用規則T于第（2）、（3）行，即因為p→s和┐s重言地蘊涵┐p。在以后的推導中，規則P、規則T和規則D分別簡寫為P、T和D。有時，我們需要推出的結論是個蘊涵式，不妨記為“A→B”。這時，就需要運用規則D。方法是：將A作為一個新前提引入，如果A和原前提集一起能推出B，那么，根據規則D，從原前提集就能推出“A→B”。

【例2】主犯或者是張三（p），或者是李四（q）。如果王五也參與了作案（r），那么主犯決不會是張三。因此，如果李四不是主犯，那么，王五就不會參與作案。解：（符號設定如括號中所示）（1）{1}p?qP（2）{2}r→┐pP（3）{3}┐qP（4）{1、3}pT（1）、（3）（5）{1、2、3}┐rT（2）、（4）（6）{1、2}┐q→┐r

T（3）、（4）推理有效。在該推導中，前提1、2是原推理的前提，前提3是運用規則P所引進的前提，它不能作為最后結論所依賴的前提。第（5）行所導出的“┐r”依賴的是前提1、2、3；第（6）行所導出的“┐q→┐r”依賴的是前提1、2，前提3在運用規則D時消去了。為什么可以消去呢？因為根據規則D，從前提1、2和附加前提3（即“┐q”）既然已經導出“┐r”，那么，從前提1、2就能導出“┐q→┐r”。所以，第（5）行的“┐r”是從前提1、2、3導出的；而

“┐q→┐r”則是從前提1、2導出的。規則D能在推理中消去前提。（2）歸謬規則歸謬法是一種