引例：有一批產(chǎn)品，其合格率為90%，合格品中有95%為優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件，記A={取到一件合格品}， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品}。則P(A)=90%而P(B)=85.5%

§3條件概率

3.1條件概率與乘法公式記：P(B|A)=95%P(A)=0.90是將整批產(chǎn)品記作1時(shí)A的測度P(B|A)=0.95是將合格品記作1時(shí)B的測度由P(B|A)的意義，其實(shí)可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率分析：

BA

設(shè)A、B為兩事件,P(A)>0,則稱

為事件

A

發(fā)生的條件下事件

B

發(fā)生的條件概率，記為定義3.1條件概率也是概率,故具有概率的性質(zhì)：2.性質(zhì)(請自行證明）說明：1.條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別：

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.（1）古典概型

可用縮減樣本空間法（2）其他概型

用定義與有關(guān)公式條件概率的計(jì)算方法

2)從加入條件后改變了的情況去算

1)用定義計(jì)算:P(B)>0

擲骰子例：A={擲出2點(diǎn)}，

B={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(A|B）=B發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中A所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1:

解法2:

解:設(shè)A={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}B={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算例2

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個(gè)20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?

設(shè)A表示“能活20歲以上”的事件;B表示“能活25歲以上”的事件,則有解

擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率.解設(shè)事件A為“兩顆點(diǎn)數(shù)之和為7”,事件B為“一顆點(diǎn)數(shù)為1”.故所求概率為擲骰子試驗(yàn)兩顆點(diǎn)數(shù)之和為7的種數(shù)為6,其中有一顆為1點(diǎn)的種數(shù)為2,課堂練習(xí)：4.乘法定理(公式）例3

一批零件共100件，次品率10%，接連兩次從這批產(chǎn)品中任取一個(gè)，不放回，求第二次才取得正品的概率．

解設(shè)表示事件“第一次取次品”，表示事件“第二次取正品”，則表示事件“直到第二次才取得正品”．其概率為

五個(gè)鬮,其中兩個(gè)鬮內(nèi)寫著“有”字,三個(gè)鬮內(nèi)不寫字,五人依次抓取,問各人抓到“有”字鬮的概率是否相同?解則有課堂練習(xí)：抓鬮是否與次序有關(guān)?

依此類推故抓鬮與次序無關(guān).1.樣本空間的劃分—完備事件組二、全概率公式與貝葉斯公式2.全概率公式全概率公式圖示證明化整為零各個(gè)擊破*全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè)P(Aj)=pj,P(B|Aj)=qj,j=1,2,…,n

易知：SP1P2Pn...A2A1An...q2q1qnB說明

全概率公式的主要用途在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題,分解為若干個(gè)簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.例4

設(shè)袋中有4只白球,2只紅球,(1)無放回隨機(jī)地抽取兩次,每次取一球,求在兩次抽取中至多抽到一個(gè)紅球的概率?(2)若無放回的抽取3次,每次抽取一球,求(a)第一次是白球的情況下,第二次與第三次均是白球的概率?(b)第一次與第二次均是白球的情況下,第三次是白球的概率?解則有例5

有一批同一型號的產(chǎn)品,已知其中由一廠生產(chǎn)的占30%,二廠生產(chǎn)的占50%,三廠生產(chǎn)的占20%,又知這三個(gè)廠的產(chǎn)品次品率分別為2%,1%,1%,問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少?設(shè)事件A為“任取一件為次品”,解由全概率公式得30%20%50%2%1%1%例6

設(shè)一倉庫中有10箱同種規(guī)格的產(chǎn)品,其中由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱,3箱,2箱,三廠產(chǎn)品的廢品率依次為0.1,0.2,0.3從這10箱產(chǎn)品中任取一箱,再從這箱中任取一件產(chǎn)品,求取得的正品概率.

設(shè)A為事件“取得的產(chǎn)品為正品”,分別表示“任取一件產(chǎn)品是甲、乙、丙生產(chǎn)的”,由題設(shè)知解故稱此為貝葉斯公式.

3.貝葉斯公式證明[證畢]Bayes中概率是由以往的數(shù)據(jù)分析得到的,叫做先驗(yàn)概率.條件概率叫做后驗(yàn)概率.先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率例7解(1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得解例8由貝葉斯公式得所求概率為若用于普查，100個(gè)陽性病人中被診斷患有癌癥的大約有8.7個(gè)，所以不宜用于普查。若P(C)較大，不妨設(shè)P(C)=0.8推出P(C|A)=0.987說明這種試驗(yàn)方法可在醫(yī)院用解例9由貝葉斯公式得所求概率為

例10

在電報(bào)通訊中，發(fā)送端發(fā)出的信號是由“·”和“-”兩種信號組合的序列．由于受到隨機(jī)干擾，接收端收到的是“·”、“-”和“不清”三種信號．假設(shè)發(fā)送“·”、“-”的概率分別為0.6和0.4；在發(fā)“·”時(shí)，收到“·”、“-”和“不清”的概率分別為0.7、0.1和0.2；在發(fā)“-”時(shí)，收到“·”、“-”和“不清”的概率分別為0.1、0.8和0.1．求：(1)在任意發(fā)出一個(gè)信號后，收到“·”、“-”和“不清”的概率；(2)在已知收到“不清”的條件下，問原發(fā)送信號是“·”或“-”的概率各為多少？（書P26例3.8）

解設(shè)和分別表示事件“發(fā)送‘·’和‘-’”，表示收到“·”，表示“收到”“-”，表示收到“不清”．(1)

(2)