§3

函數的單調性§3問題引航1.函數在某區間上是增加的或減少的定義是什么?單調性與單調函數的定義是什么?2.函數最值的定義是什么?如何求函數的最值?問題1.函數在某區間上是增加的或減少的定義是什么?單調性與單1.函數單調性的相關定義函數是增加的或是減少的條件在函數y=f(x)的定義域內的一個區間A上,如果對于任意兩數x1,x2∈A,當x1<x2時都有___________都有___________結論就稱函數y=f(x)在區間A上是增加的,有時也稱函數y=f(x)在區間A上是遞增的就稱函數y=f(x)在區間A上是減少的,有時也稱函數y=f(x)在區間A上是遞減的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)1.函數單調性的相關定義函數是增加的或是減少的條件在函數y=單調區間______稱為y=f(x)的單調區間單調性如果函數y=f(x)在定義域的某個子集上是_______或是_______,那么就稱函數y=f(x)在這個子集上具有單調性增(減)函數如果函數y=f(x)在_____________是增加的或是減少的,我們分別稱這個函數為增函數或減函數,統稱為單調函數區間A增加的減少的整個定義域內單調______稱為y=f(x)的單調區間單調如果函數y=f2.函數的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M2.函數的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥M1.判一判：(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若函數y=f(x)滿足f(2)>f(3),則函數f(x)在[2,3]上是減少的.(

)(2)若函數y=f(x),x∈R滿足f(x+1)>f(x),則函數在R上是增加的.(

)(3)若函數f(x)在(1,2)和(2,3)兩個區間上均是減少的,則函數f(x)在(1,3)上是減少的.(

)(4)任何函數都有最大值或最小值.(

)1.判一判：(正確的打“√”,錯誤的打“×”)2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)(1)函數f(x)=2x+1的單調區間是

.(2)函數f(x)=3x-1在區間[0,7]上是

(填“增加的”或“減少的”).(3)若函數y=f(x)在R上是減函數,則f(3)

f(-1).(4)y=2x2+2,x∈N*的最小值是

.2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)【解析】1.(1)錯誤.由特殊值的大小不能判定函數的單調性.(2)錯誤.雖然x+1>x,且有f(x+1)>f(x),但不符合定義中的任意x1,x2∈A,當x1<x2

時,有f(x1)<f(x2).(3)錯誤.函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增加(或減少)的，一般不能認為函數在A∪B上是增加(或減少)的.例如，函數f(x)=(x≠0)在(－∞,0)和(0,+∞)上分別是遞減的,但不能說在(－∞,0)∪(0,+∞)上是遞減的,不能寫成兩個區間的并集.【解析】1.(1)錯誤.由特殊值的大小不能判定函數的單調性.(4)錯誤.如函數y=x,x∈R就無最大值和最小值.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(4)錯誤.如函數y=x,x∈R就無最大值和最小值.2.(1)函數f(x)=2x+1是一次函數,根據一次函數的性質知它在R上是增函數.答案：R(2)函數f(x)=3x-1是一次函數,根據一次函數的性質知它在R上是增函數,所以當x∈[0,7]時,函數f(x)=3x-1是增加的.答案：增加的2.(1)函數f(x)=2x+1是一次函數,根據一次函數的性(3)因為函數y=f(x)在R上是減函數,又3>-1,所以f(3)<f(-1).答案：<(4)因為x∈N*,所以x2≥1,所以y=2x2+2≥4,即y=2x2+2在x∈N*上的最小值為4,此時x=1.答案：4(3)因為函數y=f(x)在R上是減函數,又3>-1,【要點探究】知識點1函數的單調性1.對函數單調性定義中關鍵字詞的說明(1)“定義域內”：函數定義域是構成函數的一個關鍵要素,是需要優先考慮的.(2)“區間”：函數的單調性是相對于定義域內的某個區間而言的,離開相應的區間就談不上函數的單調性.【要點探究】(3)“任意”和“都有”：“任意”兩個字很重要,它是指不能取特定的值來判斷函數的單調性.而“都有”的意思是只要x1,x2有大小,則f(x1),f(x2)必分出大小.(3)“任意”和“都有”：“任意”兩個字很重要,它是指不能取2.從三方面正確理解單調函數(1)單調區間一定是定義域的子集.(2)單調區間不能用“∪”，只能用“和”或“，”隔開，如在(-∞，0)和(0，+∞)上是增加的，但不能說在(-∞，0)∪(0，+∞)上是增加的.(3)函數的單調性是一個整體的性質，說函數的單調性離不開單調區間.2.從三方面正確理解單調函數3.圖像法判斷函數單調性的適用范圍、優缺點及一般步驟(1)適用范圍：基本初等函數或基本初等函數的變形.(2)優點：可以直觀明了地判斷單調區間.(3)缺點：并不是每個函數都能畫出圖形,有的函數畫圖比較煩瑣.(4)步驟：3.圖像法判斷函數單調性的適用范圍、優缺點及一般步驟【知識拓展】與函數y=f(x)單調性有關的結論(1)函數y=f(x)與y=-f(x)的單調性相反.(2)當c＞0時,函數y=f(x)與y=cf(x)的單調性相同;當c＜0時，函數y=f(x)與y=cf(x)的單調性相反.(3)當函數y=f(x)恒為正或恒為負時，y=f(x)與的單調性相反.(4)函數y=f(x)與函數y=f(x)+c的單調性相同.(5)函數y=f(x)和y=g(x)在定義域A上都為增加的(或減少的),則函數y=f(x)+g(x)亦為增加的(或減少的).【知識拓展】與函數y=f(x)單調性有關的結論【微思考】(1)函數圖像與單調區間的關系是什么?提示：函數圖像在某區間上升?函數在某區間上是增加的,函數圖像在某區間下降?函數在某區間上是減少的.(2)函數y=x2在區間(-∞,0)上是減少的,能否也說在(-∞,0]上是減少的?提示：可以,一般來說只要在區間端點有定義,含不含端點值不影響單調性.【微思考】(3)在函數是增加的或減少的定義中,x1-x2的符號與f(x1)-f(x2)的符號之間有什么關系?提示：當函數是增加的時,x1-x2與f(x1)-f(x2)是同號的;當函數是減少的時,x1-x2與f(x1)-f(x2)是異號的.(3)在函數是增加的或減少的定義中,x1-x2的符號與f(x【即時練】1.(2014·西安高一檢測)下列四個函數中，在(0,+∞)上是增加的是()2.函數在區間________上是減少的.【即時練】3.觀察如圖氣溫θ關于時間t的函數θ=f(t)的圖像，指出函數的單調區間，并指明在該區間上的單調性.3.觀察如圖氣溫θ關于時間t的函數θ=f(t)的圖像，指出函【解析】1.選A.結合函數的性質可知B，C錯誤，而D在(0,+∞)上是減少的.2.因為函數f(x)=在區間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減少的，所以f(x)=在區間(-∞，0)和(0，+∞)上是減少的.答案：(-∞,0)和(0,+∞)3.由圖像知,此函數的單調區間是：［0，4)，［4,14］,(14，24］.此函數在［4，14］上是增加的，在［0，4)，(14，24］上是減少的.【解析】1.選A.結合函數的性質可知B，C錯誤，而D在(0,知識點2

函數的最值1.對函數最值概念的兩點說明(1)存在性：定義中M首先是一個函數值,它是值域中的一個元素.(2)可比性：對于定義域內任意元素,都有f(x)≥M或f(x)≤M成立,“任意”是說對每一個值都必須滿足不等式.知識點2函數的最值2.函數的最值與單調性的關系已知函數y=f(x)的定義域是[a,b],則有以下兩種情況：(1)若函數在[a,b]上單調,函數的最值在端點處取得,如圖①,函數是增加的,則f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);如圖②,函數是減少的,則f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).2.函數的最值與單調性的關系(2)若函數在閉區間[a,b]上先增加后減少,則最大值在區間內部取得,若先減少后增加,則最小值在區間內部取得,另一個最值可比較兩個區間端點函數值f(a)與f(b)的大小確定.(2)若函數在閉區間[a,b]上先增加后減少,則最大值在區間【微思考】(1)函數f(x)對于定義域內任意元素,都有f(x)≥M,則M是否就是函數的最小值?提示：不一定,必須滿足定義域內存在元素x0,使得f(x0)=M.(2)求函數的最值時一般需要確定函數的什么性質?提示：求函數的最值時一般需借助函數的單調性,故需要確定函數的單調性.【微思考】【即時練】1.函數f(x)=|x|的最小值是_________.2.函數x∈［1,8］的最小值是_________.【即時練】【解析】1.函數f(x)=|x|的圖像是一、二象限的角平分線,可知函數f(x)=|x|的最小值是0.答案：02.函數f(x)=在x∈［1,8］上是減少的,則函數f(x)=，x∈［1,8］的最小值是答案：【解析】1.函數f(x)=|x|的圖像是一、二象限的角平分線【題型示范】類型一用定義法證明(或判斷)函數的單調性【典例1】(1)函數f(x)=-2x+1在(-∞，+∞)上是_______(填“增加的”或“減少的”).(2)證明函數在上是增加的.【題型示范】【解題探究】1.題(1)中的函數是幾次函數，一次項系數是多少？2.題(2)中若設x1,x2∈則x1x2與2的關系如何？【探究提示】1.因為f(x)=-2x+1,故此函數是一次函數，且一次項系數為-2.2.因為x1,x2∈所以x1x2＞2.【解題探究】1.題(1)中的函數是幾次函數，一次項系數是多【自主解答】(1)方法一：設x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-2x1+1-(-2x2+1)=-2(x1-x2).因為x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以函數f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上是減少的.【自主解答】(1)方法一：設x1,x2∈(-∞,+∞),且x方法二：函數f(x)=-2x+1的圖像如圖所示.由圖像知，此函數在(-∞，+∞)上是減少的.答案：減少的方法二：函數f(x)=-2x+1的圖像如圖所示.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,f(x1)-f(x2)==(x1-x2)+=(x1-x2)+=因為<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數在上是增加的.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,【方法技巧】1.定義法判斷函數單調性的一般步驟【方法技巧】2.定義法證明函數單調性時的關注點(1)變形手段：因式分解、配方、有理化或利用函數的性質.(2)證明關鍵：作差變形和定號是關鍵,如果作差不易判斷時,對于同正或同負的兩個式子,也可以通過作商,比較它與1的大小來證明.2.定義法證明函數單調性時的關注點【變式訓練】證明函數在(2，+∞)上是減少的.【證明】任取x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=因為x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2,所以x2＞x1＞2,x1-2＞0,x2-2＞0,所以f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)，所以在(2，+∞)上是減少的.【變式訓練】證明函數在(2，+∞)上是【補償訓練】判斷函數在(-1，1)上的單調性.【解析】設-1<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)===因為x1<x2,所以x2-x1>0.又所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數在(-1，1)上是減少的.【補償訓練】判斷函數在(-1，1)上類型二求函數的最值(值域)【典例2】(1)(2014·赤峰高一檢測)函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的值域為___________.(2)已知函數x∈［3，5］.①判斷函數f(x)的單調性；②求函數f(x)的最大值與最小值.類型二求函數的最值(值域)【解題探究】1.題(1)中二次函數的對稱軸是什么?2.題(2)中函數的定義域是什么？求函數f(x)的最大值與最小值時可借助函數的什么性質？【探究提示】1.二次函數的對稱軸為x=1.2.由已知此函數的定義域是［3，5］，求函數的最值時可借助函數的單調性.【解題探究】1.題(1)中二次函數的對稱軸是什么?【自主解答】(1)函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的對稱軸為x=1,所以函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)在[0,1]上是減少的,在[1,3)上是增加的.所以值域為[2,6).答案：[2,6)【自主解答】(1)函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)====(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,則因為x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,所以x1-x2＜0,x1+2＞0,x2+2＞0,所以f(x1)-f(x2)＜0,所以f(x1)＜f(x2),所以函數f(x)=在［3，5］上是增加的.因為x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,②由①知當x∈［3，5］時，f(x)=是增加的，所以當x=3時取最小值為當x=5時取最大值為②由①知當x∈［3，5］時，f(x)=是增加的，【方法技巧】求函數最值的方法(1)函數圖像法求最值：①利用函數圖像求最值是求函數最值的常用方法；②對較為簡單的且圖像易作出的函數求最值較常用.(2)單調性法求最值：①判斷函數的單調性；②利用單調性寫出最值.【方法技巧】求函數最值的方法【變式訓練】1.函數的最小值為_______.2.求函數(x∈［2,+∞))的最小值.【變式訓練】1.函數的最小值為_【解題指南】1.解答本題可利用圖像解決.2.先化簡原函數,再利用定義證明函數在給定區間上的單調性,然后再求最值.【解題指南】1.解答本題可利用圖像解決.【解析】1.由于其圖像如圖所示,所以函數的最小值為6.答案：6【解析】1.由于2.f(x)=任取x1,x2∈［2,+∞),且x1<x2,則f(x1)－f(x2)=(x1－x2)因為x1<x2,所以x1－x2<0.又因為x1≥2,x2>2,所以x1x2>4,即所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，故f(x)在［2,+∞)上是增加的，所以當x=2時,f(x)有最小值,即2.f(x)=任取x1【補償訓練】函數的值域為()A.［3，+∞)B.(-∞,3］C.［0，+∞)

D.R【解析】選A.根據題意，由于函數的定義域為{x|x≥0}，那么可知函數在定義域內是增加的，故可知函數的最小值為x=0時為3，沒有最大值，故值域為［3，+∞).【補償訓練】函數的值域為()類型三函數單調性的應用【典例3】(1)(2014·重慶高一檢測)函數y=(2a-1)x-6是減函數，那么實數a的取值范圍是_________.(2)若函數在區間(－2,+∞)上是減少的，求a的取值范圍.類型三函數單調性的應用【解題探究】1.題(1)中函數的增減性由哪個參數決定?2.題(2)中已知函數是減少的能得到什么?【探究提示】1.此函數的增減性由2a-1的正負決定.2.由此函數是減少的能得到對任意x1,x2∈(-2,+∞),當x2>x1時,有f(x2)<f(x1).【解題探究】1.題(1)中函數的增減性由哪個參數決定?【自主解答】(1)函數y=(2a-1)x-6是減函數,所以2a-1<0,即答案：(2)設任取x1,x2且-2＜x1＜x2,f(x1)-f(x2)====【自主解答】(1)函數y=(2a-1)x-6是減函數,所以2因為-2＜x1＜x2,所以x1+2＞0,x2+2＞0,x1-x2＜0,由在區間(-2，+∞)上是減少的，得f(x1)-f(x2)＞0,所以2a-1＜0.所以故a的取值范圍是因為-2＜x1＜x2,【延伸探究】若題(1)中的函數y=(2a-1)x-6是增函數，則結果又如何?【解析】函數y=(2a-1)x-6是增函數,所以2a-1>0,【誤區警示】此題易出現這種結果,當時,函數是常數函數,不具有單調性.【延伸探究】若題(1)中的函數y=(2a-1)x-6是增函數【方法技巧】函數單調性的常見應用(1)比較大小：利用函數的單調性可以把函數值的大小比較問題轉化為自變量的大小比較問題.(2)求函數的值域：根據單調性可求出函數在定義域上的最值,進而求出值域.(3)求解析式中的參數(或其范圍)：根據單調性的定義可列出參數滿足的等式(或不等式),進而可求出參數(或其范圍).【方法技巧】函數單調性的常見應用【變式訓練】(2014·駐馬店高一檢測)函數y=f(x)在R上是增加的，且f(2m-1)>f(-m)，則實數m的取值范圍是()A.(-∞,-1)B.C.(-1,0)D.(-∞,-1)∪(0,+∞)【解析】選B.由于函數y=f(x)在R上是增加的，且f(2m-1)>f(-m),則2m-1>-m，所以【變式訓練】(2014·駐馬店高一檢測)函數y=f(x)在R【補償訓練】(2013·大同高一檢測)定義在[0,+∞)上的函數f(x)，對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有則()A.f(3)<f(2)<f(1)B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(2)【解析】選A.當x2>x1時，可知f(x2)<f(x1)；同理當x2<x1時，可知f(x2)>f(x1)，則函數f(x)在[0,+∞)上是減少的，可知答案.【補償訓練】(2013·大同高一檢測)定義在[0,+∞)上的【易錯誤區】已知函數的單調性求參數時忽視特殊值致誤

【典例】已知函數是R上的減函數,則a的取值范圍是()A.(0,3)B.(0,3］C.(0,2)

D.(0,2］【易錯誤區】已知函數的單調性求參數時忽視特殊值致誤【解析】選D.因為當x≤1時，f(x)是減少的,所以a-3<0,所以a<3.當x>1時，f(x)是減少的,故2a>0,所以a>0.分段點1處的值應滿足(a-3)+5≥2a，所以a≤2.故0<a≤2.【解析】選D.因為當x≤1時，f(x)是減少的,【常見誤區】錯解錯因剖析選A忽略陰影處函數值的大小比較,造成解答錯誤【常見誤區】錯解錯因剖析選A忽略陰影處函數值的大小比較,造成【防范措施】注意特殊情況的處理在應用分段函數整體的單調性求解參數的取值范圍時,不僅要保證分段函數的每一段的函數是單調的,而且還要求函數的特殊點——分段點處的值,也要結合函數的單調性比較大小,如本例中分段點1處的值應滿足(a-3)+5≥2a.【防范措施】【類題試解】已知函數是(－∞，+∞)上的減函數，則實數a的取值范圍是()【解析】選A.當x<0時，函數f(x)=x2－ax+1是減函數，解得a≥0，當x≥0時，函數f(x)=－x+3a是減函數，分段點0處的值應滿足1≥3a，解得a≤，所以0≤a≤.【類題試解】已知函數是§3

函數的單調性§3問題引航1.函數在某區間上是增加的或減少的定義是什么?單調性與單調函數的定義是什么?2.函數最值的定義是什么?如何求函數的最值?問題1.函數在某區間上是增加的或減少的定義是什么?單調性與單1.函數單調性的相關定義函數是增加的或是減少的條件在函數y=f(x)的定義域內的一個區間A上,如果對于任意兩數x1,x2∈A,當x1<x2時都有___________都有___________結論就稱函數y=f(x)在區間A上是增加的,有時也稱函數y=f(x)在區間A上是遞增的就稱函數y=f(x)在區間A上是減少的,有時也稱函數y=f(x)在區間A上是遞減的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)1.函數單調性的相關定義函數是增加的或是減少的條件在函數y=單調區間______稱為y=f(x)的單調區間單調性如果函數y=f(x)在定義域的某個子集上是_______或是_______,那么就稱函數y=f(x)在這個子集上具有單調性增(減)函數如果函數y=f(x)在_____________是增加的或是減少的,我們分別稱這個函數為增函數或減函數,統稱為單調函數區間A增加的減少的整個定義域內單調______稱為y=f(x)的單調區間單調如果函數y=f2.函數的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M2.函數的最大(小)值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥M1.判一判：(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若函數y=f(x)滿足f(2)>f(3),則函數f(x)在[2,3]上是減少的.(

)(2)若函數y=f(x),x∈R滿足f(x+1)>f(x),則函數在R上是增加的.(

)(3)若函數f(x)在(1,2)和(2,3)兩個區間上均是減少的,則函數f(x)在(1,3)上是減少的.(

)(4)任何函數都有最大值或最小值.(

)1.判一判：(正確的打“√”,錯誤的打“×”)2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)(1)函數f(x)=2x+1的單調區間是

.(2)函數f(x)=3x-1在區間[0,7]上是

(填“增加的”或“減少的”).(3)若函數y=f(x)在R上是減函數,則f(3)

f(-1).(4)y=2x2+2,x∈N*的最小值是

.2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)【解析】1.(1)錯誤.由特殊值的大小不能判定函數的單調性.(2)錯誤.雖然x+1>x,且有f(x+1)>f(x),但不符合定義中的任意x1,x2∈A,當x1<x2

時,有f(x1)<f(x2).(3)錯誤.函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增加(或減少)的，一般不能認為函數在A∪B上是增加(或減少)的.例如，函數f(x)=(x≠0)在(－∞,0)和(0,+∞)上分別是遞減的,但不能說在(－∞,0)∪(0,+∞)上是遞減的,不能寫成兩個區間的并集.【解析】1.(1)錯誤.由特殊值的大小不能判定函數的單調性.(4)錯誤.如函數y=x,x∈R就無最大值和最小值.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(4)錯誤.如函數y=x,x∈R就無最大值和最小值.2.(1)函數f(x)=2x+1是一次函數,根據一次函數的性質知它在R上是增函數.答案：R(2)函數f(x)=3x-1是一次函數,根據一次函數的性質知它在R上是增函數,所以當x∈[0,7]時,函數f(x)=3x-1是增加的.答案：增加的2.(1)函數f(x)=2x+1是一次函數,根據一次函數的性(3)因為函數y=f(x)在R上是減函數,又3>-1,所以f(3)<f(-1).答案：<(4)因為x∈N*,所以x2≥1,所以y=2x2+2≥4,即y=2x2+2在x∈N*上的最小值為4,此時x=1.答案：4(3)因為函數y=f(x)在R上是減函數,又3>-1,【要點探究】知識點1函數的單調性1.對函數單調性定義中關鍵字詞的說明(1)“定義域內”：函數定義域是構成函數的一個關鍵要素,是需要優先考慮的.(2)“區間”：函數的單調性是相對于定義域內的某個區間而言的,離開相應的區間就談不上函數的單調性.【要點探究】(3)“任意”和“都有”：“任意”兩個字很重要,它是指不能取特定的值來判斷函數的單調性.而“都有”的意思是只要x1,x2有大小,則f(x1),f(x2)必分出大小.(3)“任意”和“都有”：“任意”兩個字很重要,它是指不能取2.從三方面正確理解單調函數(1)單調區間一定是定義域的子集.(2)單調區間不能用“∪”，只能用“和”或“，”隔開，如在(-∞，0)和(0，+∞)上是增加的，但不能說在(-∞，0)∪(0，+∞)上是增加的.(3)函數的單調性是一個整體的性質，說函數的單調性離不開單調區間.2.從三方面正確理解單調函數3.圖像法判斷函數單調性的適用范圍、優缺點及一般步驟(1)適用范圍：基本初等函數或基本初等函數的變形.(2)優點：可以直觀明了地判斷單調區間.(3)缺點：并不是每個函數都能畫出圖形,有的函數畫圖比較煩瑣.(4)步驟：3.圖像法判斷函數單調性的適用范圍、優缺點及一般步驟【知識拓展】與函數y=f(x)單調性有關的結論(1)函數y=f(x)與y=-f(x)的單調性相反.(2)當c＞0時,函數y=f(x)與y=cf(x)的單調性相同;當c＜0時，函數y=f(x)與y=cf(x)的單調性相反.(3)當函數y=f(x)恒為正或恒為負時，y=f(x)與的單調性相反.(4)函數y=f(x)與函數y=f(x)+c的單調性相同.(5)函數y=f(x)和y=g(x)在定義域A上都為增加的(或減少的),則函數y=f(x)+g(x)亦為增加的(或減少的).【知識拓展】與函數y=f(x)單調性有關的結論【微思考】(1)函數圖像與單調區間的關系是什么?提示：函數圖像在某區間上升?函數在某區間上是增加的,函數圖像在某區間下降?函數在某區間上是減少的.(2)函數y=x2在區間(-∞,0)上是減少的,能否也說在(-∞,0]上是減少的?提示：可以,一般來說只要在區間端點有定義,含不含端點值不影響單調性.【微思考】(3)在函數是增加的或減少的定義中,x1-x2的符號與f(x1)-f(x2)的符號之間有什么關系?提示：當函數是增加的時,x1-x2與f(x1)-f(x2)是同號的;當函數是減少的時,x1-x2與f(x1)-f(x2)是異號的.(3)在函數是增加的或減少的定義中,x1-x2的符號與f(x【即時練】1.(2014·西安高一檢測)下列四個函數中，在(0,+∞)上是增加的是()2.函數在區間________上是減少的.【即時練】3.觀察如圖氣溫θ關于時間t的函數θ=f(t)的圖像，指出函數的單調區間，并指明在該區間上的單調性.3.觀察如圖氣溫θ關于時間t的函數θ=f(t)的圖像，指出函【解析】1.選A.結合函數的性質可知B，C錯誤，而D在(0,+∞)上是減少的.2.因為函數f(x)=在區間(-∞,0)和(0,+∞)上都是減少的，所以f(x)=在區間(-∞，0)和(0，+∞)上是減少的.答案：(-∞,0)和(0,+∞)3.由圖像知,此函數的單調區間是：［0，4)，［4,14］,(14，24］.此函數在［4，14］上是增加的，在［0，4)，(14，24］上是減少的.【解析】1.選A.結合函數的性質可知B，C錯誤，而D在(0,知識點2

函數的最值1.對函數最值概念的兩點說明(1)存在性：定義中M首先是一個函數值,它是值域中的一個元素.(2)可比性：對于定義域內任意元素,都有f(x)≥M或f(x)≤M成立,“任意”是說對每一個值都必須滿足不等式.知識點2函數的最值2.函數的最值與單調性的關系已知函數y=f(x)的定義域是[a,b],則有以下兩種情況：(1)若函數在[a,b]上單調,函數的最值在端點處取得,如圖①,函數是增加的,則f(x)min=f(a),f(x)max=f(b);如圖②,函數是減少的,則f(x)min=f(b),f(x)max=f(a).2.函數的最值與單調性的關系(2)若函數在閉區間[a,b]上先增加后減少,則最大值在區間內部取得,若先減少后增加,則最小值在區間內部取得,另一個最值可比較兩個區間端點函數值f(a)與f(b)的大小確定.(2)若函數在閉區間[a,b]上先增加后減少,則最大值在區間【微思考】(1)函數f(x)對于定義域內任意元素,都有f(x)≥M,則M是否就是函數的最小值?提示：不一定,必須滿足定義域內存在元素x0,使得f(x0)=M.(2)求函數的最值時一般需要確定函數的什么性質?提示：求函數的最值時一般需借助函數的單調性,故需要確定函數的單調性.【微思考】【即時練】1.函數f(x)=|x|的最小值是_________.2.函數x∈［1,8］的最小值是_________.【即時練】【解析】1.函數f(x)=|x|的圖像是一、二象限的角平分線,可知函數f(x)=|x|的最小值是0.答案：02.函數f(x)=在x∈［1,8］上是減少的,則函數f(x)=，x∈［1,8］的最小值是答案：【解析】1.函數f(x)=|x|的圖像是一、二象限的角平分線【題型示范】類型一用定義法證明(或判斷)函數的單調性【典例1】(1)函數f(x)=-2x+1在(-∞，+∞)上是_______(填“增加的”或“減少的”).(2)證明函數在上是增加的.【題型示范】【解題探究】1.題(1)中的函數是幾次函數，一次項系數是多少？2.題(2)中若設x1,x2∈則x1x2與2的關系如何？【探究提示】1.因為f(x)=-2x+1,故此函數是一次函數，且一次項系數為-2.2.因為x1,x2∈所以x1x2＞2.【解題探究】1.題(1)中的函數是幾次函數，一次項系數是多【自主解答】(1)方法一：設x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-2x1+1-(-2x2+1)=-2(x1-x2).因為x1<x2,所以x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以函數f(x)=-2x+1在(-∞,+∞)上是減少的.【自主解答】(1)方法一：設x1,x2∈(-∞,+∞),且x方法二：函數f(x)=-2x+1的圖像如圖所示.由圖像知，此函數在(-∞，+∞)上是減少的.答案：減少的方法二：函數f(x)=-2x+1的圖像如圖所示.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,f(x1)-f(x2)==(x1-x2)+=(x1-x2)+=因為<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>2,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函數在上是增加的.(2)任取x1,x2∈且x1<x2,【方法技巧】1.定義法判斷函數單調性的一般步驟【方法技巧】2.定義法證明函數單調性時的關注點(1)變形手段：因式分解、配方、有理化或利用函數的性質.(2)證明關鍵：作差變形和定號是關鍵,如果作差不易判斷時,對于同正或同負的兩個式子,也可以通過作商,比較它與1的大小來證明.2.定義法證明函數單調性時的關注點【變式訓練】證明函數在(2，+∞)上是減少的.【證明】任取x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=因為x1,x2∈(2,+∞)且x1＜x2,所以x2＞x1＞2,x1-2＞0,x2-2＞0,所以f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2)，所以在(2，+∞)上是減少的.【變式訓練】證明函數在(2，+∞)上是【補償訓練】判斷函數在(-1，1)上的單調性.【解析】設-1<x1<x2<1,則f(x1)-f(x2)===因為x1<x2,所以x2-x1>0.又所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數在(-1，1)上是減少的.【補償訓練】判斷函數在(-1，1)上類型二求函數的最值(值域)【典例2】(1)(2014·赤峰高一檢測)函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的值域為___________.(2)已知函數x∈［3，5］.①判斷函數f(x)的單調性；②求函數f(x)的最大值與最小值.類型二求函數的最值(值域)【解題探究】1.題(1)中二次函數的對稱軸是什么?2.題(2)中函數的定義域是什么？求函數f(x)的最大值與最小值時可借助函數的什么性質？【探究提示】1.二次函數的對稱軸為x=1.2.由已知此函數的定義域是［3，5］，求函數的最值時可借助函數的單調性.【解題探究】1.題(1)中二次函數的對稱軸是什么?【自主解答】(1)函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)的對稱軸為x=1,所以函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)在[0,1]上是減少的,在[1,3)上是增加的.所以值域為[2,6).答案：[2,6)【自主解答】(1)函數f(x)=x2-2x+3(0≤x<3)(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,則f(x1)-f(x2)====(2)①任取x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,則因為x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,所以x1-x2＜0,x1+2＞0,x2+2＞0,所以f(x1)-f(x2)＜0,所以f(x1)＜f(x2),所以函數f(x)=在［3，5］上是增加的.因為x1,x2∈［3，5］且x1＜x2,②由①知當x∈［3，5］時，f(x)=是增加的，所以當x=3時取最小值為當x=5時取最大值為②由①知當x∈［3，5］時，f(x)=是增加的，【方法技巧】求函數最值的方法(1)函數圖像法求最值：①利用函數圖像求最值是求函數最值的常用方法；②對較為簡單的且圖像易作出的函數求最值較常用.(2)單調性法求最值：①判斷函數的單調性；②利用單調性寫出最值.【方法技巧】求函數最值的方法【變式訓練】1.函數的最小值為_______.2.求函數(x∈［2,+∞))的最小值.【變式訓練】1.函數的最小值為_【解題指南】1.解答本題可利用圖像解決.2.先化簡原函數,再利用定義證明函數在給定區間上的單調性,然后再求最值.【解題指南】1.解答本題可利用圖像解決.【解析】1.由于其圖像如圖所示,所以函數的最小值為6.答案：6【解析】1.由于2.f(x)=任取x1,x2∈［2,+∞),且x1<x2,則f(x1)－f(x2)=(x1－x2)因為x1<x2,所以x1－x2<0.又因為x1≥2,x2>2,所以x1x2>4,即所以f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)，故f(x)在［2,+∞)上是增加的，所以當x=2時,f(x)有最小值,即2.f(x)=任取x1【補償訓練】函數的值域為()A.［3，+∞)B.(-∞,3］C.［0，+∞)

D.R【解析】選A.根據題意，由于函數的定義域為{x|x≥0}，那么可知函數在定義域內是增加的，故可知函數的最小值為x=0時為3，沒有最大值，故值域為［3，+∞).【補償訓練】函數的值域為()類型三函數單調性的應用【典例3】(1)(2014·重慶高一檢測)函數y=(2a-1)x-6是減函數，那么實數a的取值范圍是_________.(2)若函數在區間(－2,+∞)上是減少的，求a的取值范圍.類型三函數單調性的應用【解題探究】1.題(1)中函數的增減性由哪個參數決定?2.題(2)中已知函數是減少的能得到什么?【探究提示】1.此函數的增減性由2a-1的正負決定.