第七章多重共線性若線性模型不滿足假定6，就稱模型有多重共線性?！?.1多重共線性的概念一.基本概念：假定6，是指模型中所有自變量線性無關，也可理解為矩陣的列向量線性無關。若不滿足該假定，即，則稱存在完全多重共線性，存在嚴格的線性關系，這是一種極端情況；若之間的線性關系不是嚴格的，而是一種近似的線性關系，則稱高度相關或存在不完全多重共線性。如，若不全為零，使，完全多重共線性不完全多重共線性完全多重共線性和不完全多重共線性統稱為多重共線性。解釋變量（自變量）之間的線性關系可用擬合優度描述，表示對其它解釋變量的擬合優度，完全高度無二.產生的原因：在實際經濟問題中主要是不完全多重共線性。其產生的主要原因是：兩個解釋變量具有相同或相反的變化趨勢；（家庭能耗與住房面積、人口）生產、需求.......2.數據收集的范圍過窄，造成解釋變量之間有相同或相反變化的假象；3.某些解釋變量之間存在某種近似的線性關系；（各解釋變量有相同的時間趨勢）4.一個變量是另一個變量的滯后值；供給5.解釋變量的選擇不當也可能引起變量間的多重共線性。6.過度決定模型。(觀測值個數少于參數個數)對于正確設置的模型，多重共線性基本上是一種樣本現象?！?.2多重共線性的后果一.完全多重共線性當模型具有完全多重共線性時，無法進行參數的OLS估計；設模型，若有完全多重共線性，即，則不存在不存在，同樣也不存在，顯著性檢驗和預測都無法進行。二.不完全多重共線性設模型為有不完全多重共線性，即，其中，可視為殘差。為敘述方便，可用中心化形式（，），，則有這樣是顯然的，所以可確定。但是殘差，依賴于樣本，因此很不穩定，且，使很大，其后果⑴使很不穩定，對樣本非常敏感；⑵很大，的估計精度很難控制；⑶統計量很小，增大接受“”的可能性（即不顯著），但仍可能是顯著的，⑷使預測的精度大大降低。例7.2.1書179頁§7.3多重共線性的檢驗由于在經濟問題研究中，多重共線性是普遍存在的，當多重共線性程度較高時，會帶來嚴重后果，因此檢驗多重共線性時希望達到如下目的：⑴是否存在多重共線性；⑵多重共線性的程度；⑶多重共線性的形式或性質。一.不顯著系數法：利用參數的顯著性判斷是否有多重共線性，有以下情況時可判斷有多重共線性：⑴若顯著（），但全部參數或部分參數不顯著（不能通過顯著性檢驗）；由于有多重共線性，所以行列式會很小，就會較大。⑵若按相關經濟理論知解釋變量對有重要影響，但卻不顯著；⑶如果添加新自變量后，原有參數的估計值的方差明顯增大，則自變量（含）之間可能有多重共線性。二.利用解釋變量之間所構成的回歸方程的擬合優度檢驗：設有個自變量，則可構成個輔助線性回歸方程其擬合優度為，，若其中一個接近1，則與其余一個或幾個自變量有高度相關。當模型中只有兩個解釋變量時，可用它們之間的相關系數的平方來檢驗。三.利用去除某個自變量后模型的擬合優度與比較：原模型為擬合優度為，去掉一個變量后得擬合優度為若是最大的且與很接近，則對的影響不明顯，其作用可由其它自變量替代，這說明與其它自變量有近似線性相關關系，因此可認為的多重共線性嚴重。四.相關矩陣法：模型為，計算其相關矩陣其中，，是簡單相關系數；且若某個較大（一般認為時），表明與有較強的多重共線性。需要說明的是相關矩陣法只適用于兩個解釋變量之間存在多重共線性的情況，它是存在多重共線性的充分條件而非必要條件，即若較小未必說明無多重共線性。五.方差膨脹因子利用方差膨脹因子不僅可以檢驗多重共線性，還可用來衡量多重共線性的強度。（一）標準化變量變量，其一組觀測值為，則相應的標準化變量的觀測值為，；其中，，標準化后，變量有且。這樣定義的標準化變量與通常意義的標準化稍有差別。顯然，變量標準化后不受坐標平移和計量單位的影響，且一個線性模型也可以用標準化變量表示。設線性模型為，先中心化，有，(其中，，)對中心化形式兩邊除，模型變為，最后用去乘上式右側的對應項，并令，得，模型被表示成標準化變量的形式，其矩陣形式（二）膨脹因子對上式用OLS進行估計，其參數的OLS估計量的方差為，可用來度量估計精度。其中為常數，則參數估計量取決于的大小，稱為的方差膨脹因子，用表示?？梢宰C明，為對其余自變量做回歸的擬合優度，。顯然越大（此時也大），說明被其他自變量解釋的程度越高，多重共線性越嚴重；越?。ù藭r也?。f明被其他自變量解釋的程度越低，多重共線性程度越輕。一般認為大于10（也有認為大于5）時，多重共線性嚴重，需要處理。還可采用平均膨脹因子綜合評價自變量之間的多重共線性。六.Frisch綜合分析法：也稱逐步分析法，其原理是先以一個自變量與因變量的回歸方程為基本回歸方程，逐步添加其它自變量，并從經濟學檢驗和統計學檢驗綜合考慮自變量的多重共線性，具體方法可分為兩步：第一步，作對每一個自變量的簡單回歸：用經濟學檢驗和統計學檢驗選出最優方程作為基本回歸方程。第二步，將其余自變量逐步加入到基本回歸方程中，建立一系列回歸方程，并按下列標準進行判斷：⑴新加入的解釋變量使（）有提高，且回歸系數在經濟意義上是合理的，在統計意義上是顯著的，便認為此變量是有利的，予以接納；⑵若新加入的解釋變量不能明顯提高（），且對其它系數并無顯著影響，便認為此變量是多余的，可不予接納；⑶若新加入的解釋變量嚴重影響其它變量的系數或符號，便認為此變量是不利的。不利變量未必是多余的，很可能是模型必不可少的變量，此時要注意改善模型。但出現不利變量是多重共線性的重要信號，需引起足夠重視。此法既可看作檢驗法，同時也可作為對多重共線性的補救措施。例7.4.3書190§7.4消除多重共線性的方法若模型被檢測出有多重共線性，就要視其嚴重程度和具體情況，采取不同的方法處理，以消除影響。但不論哪種處理方法都不是普遍有效的，而且還可能伴隨其它不良影響，這也是處理過程中需要謹慎對待的。一.增加樣本容量：若多重共線性是由樣本引起且程度較重，而總體本身并不存在多重共線時，可增加樣本容量以減少多重共線性的影響。此法只適用于由樣本引起的多重共線性。二.不作處理：有以下情況者，可不作處理：1.當所有參數估計量皆顯著(或統計量的值大于2)，對多重共線性可不作處理；2.當因變量對所有自變量回歸的擬合優度的值大于任一自變量對其它自變量回歸的擬合優度時，對多重共線性可不作處理；3.如果受多重共線性影響的變量恰好是我們不關心的變量，對多重共線性可不作處理；4.如果多重共線性并不嚴重影響參數估計值，以至被認為無需改進時，對多重共線性可不作處理；5.如果樣本回歸方程僅用于預測的目的，那末只要存在于給定樣本中的共線性在預測期保持不變，因此不會影響預測結果，對多重共線性可不作處理。三.利用事前信息：利用事前信息（包括經濟理論、他人成果等）對模型進行調整以消除多重共線性。例如，柯布—道格拉斯生產函數，、、分別表示產出、人力和資本，、、是參數且為正數，為隨機項。模型兩邊取對數由于與有很強的相關性，所以模型存在多重共線性。在利用生產函數研究實際問題時，通常假定“規模報酬不變”，即“若生產要素按相同比例變動時，產出也按同比例變動”，即。此時原模型可變形為取對數得，此時模型已不再有多重共線性?！耙幠蟪瓴蛔儭钡募俣?，也可抽象成數學表達，即“所有自變量按相同比例變動時，因變量也按同比例變動”，在數學上稱為模型滿足“一階齊次性”。即函數，若恒有成立，稱函數滿足一階齊次條件。一般地，若恒有成立稱函數滿足階齊次條件。滿足零階齊次條件，既有。對于C—D生產函數，設，在“規模報酬不變”的假定下，有所以具有一階齊次性。四.變換模型形式：有時不需要分析每一個解釋變量對被解釋變量的影響，可根據相關理論以及實際情況，重新安排模型形式或重新定義解釋變量，以消除多重共線性。例如，某商品的需求函數，其中、、分別表示收入、商品價格和替代產品的價格。顯然和高度相關，可引入新變量重新構造模型，可避免多重共線性的影響。五.將時間序列與橫斷面數據結合使用：商品銷售模型，其中、、分別表示第期該商品的銷售量、價格和消費者收入。對于時間序列而言，與有較強的相關性。為此可先取一個橫斷面樣本，如同一時期不同消費者的收入與銷售量之間的關系，此時價格不變。即有，并估計出然后代入原模型，因為已估出，變形后得，再利用時間序列數據估計和。此時，參數估計量的性質可參看第三章的習題1.六.刪除不必要的共線解釋變量：當幾個解釋變量高度相關且對被解釋變量的解釋作用不相同，可以保留重要的解釋變量，刪除不重要的解釋變量，以消除多重共線性的影響。刪除變量時要慎重。如果不適當地刪除可能帶來參數估計量的偏倚。參看第三章習題5。七.作滯后差分變換：