77/77匯世紀教育（包含集團旗下高端個性化教育品牌——學遠教育）創辦于2004年，專業從事中小學生課外文化輔導教育，企業以“促進區域教育公平，共享優質教育資源”為使命，致力于將優質教育資源、先進教學模式、專業教學服務提供到中小縣城，幫助三四線城市的中小學生獲得更好的教育和發展機會。經過多年的發展，在眾多一線教育專家加盟與教育研究院成立的基礎上，目前已經建立起了從小學到高中的基礎教育全體系文化輔導資源庫。現提供多種類型的教學和咨詢服務，包括精準1對1、品學小課堂，精品小班和天天向上班，所授課程涵蓋小學、初中、高中的文化課程。為廣大學子提供全方位的課程產品和優質貼心的服務。匯世紀教育目前已成為省美譽度頗高的教育機構之一，先后被評為“優秀課外輔導教育機構”，“十佳課外輔導機構”，“誠信辦學機構”。榮譽與責任并存，創新與發展共進，匯世紀教育將立足長遠，始終堅持國家的教育改革方針，為縮小我國縣級城市與一二線城市的教育資源嚴重不均衡的現狀，為改善地區性教育水平差距不斷耕耘。初一升初二,你準備好了嗎?做好銜接，快人一步!假如用一句話概括初中：那就是初一是希望，是習慣養成的關鍵期；初二是分化期，是同學們差距出現的時候；初三是拼搏，是同學們實現人生理想的第一次真正的奮斗。初二是初中的一個重要時段，這一階段你對知識的掌握程度，直接影響著你的中考成績，學習上并沒有初一那樣絕對的“輕松”，面對初二的最大問題就是分化，簡單概括為好的更好，差的更差。那么為什么有的同學進入新的學年后，成績突飛猛進，原本的差生搖身一變上了全班前幾名，這到底是為什么呢?那些新學期的優等生是如何煉成的呢?其實優等生的秘密就在暑假里!新學年銜接輔導讓很多差生或中等生在暑假里突飛猛進，進入陌生卻早已熟悉的新學期后，他們自然早已快人一步，學習倍輕松!在初二，數學、語文、英語、物理要作為重點來安排學習，除了上課認真聽講，課后70%的精力要花在這些主課上。初二時，每門主科都要做到出現問題立刻解決掉，因為到了初三，未解決的知識漏洞不但會影響新知識的學習，更重要的是沒時間來補回前面出現的問題（初三的新知識集中在上學期學完，下學期進入復習，學習任務很繁重）。初二后半學期，地理、生物要結業，聽好課，掌握必要的知識即可。第一講二元一次方程組（1）5第二講二元一次方程組（2）10第三講整式的乘法15第四講乘法公式20第五講提公因式法24第六講公式法與其十字相乘法27第七講整式的乘法和因式分解復習31第八講平行線的性質和判定35第九講垂線和兩條平行線間的距離39第十講分式的認識和它的基本性質43第十一講分式的乘、除法與乘方47第十二講整數的指數冪52第十三講分式的加、減法57第十四講分式方程62第十五講分式方程的應用67第十六講分式（復習）72第一講二元一次方程組(1)1、二元一次方程含有兩個未知數，并且未知項的最高次數是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by+c=0且a,b不等于02、二元一次方程的解使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。3、二元一次方程組兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。4二元一次方程組的解使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。5、二元一次方正組的解法（1）代入法（2）加減法6、三元一次方程把含有三個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程。7、三元一次方程組由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數的方程組，叫做三元一次方程組。例1．★★下列方程：①②③;④;⑤⑥其中是二元一次方程的有．例2．★★判斷下列各對數值，哪一對是二元一次方程組的解．（1）（2）例3．★★用代入消元法解下列方程組：例4．★★用加減消元解方程組：例5已知二元一次方程組的解是,則a+b的值為________。例6．如果的解都是正數，那么a的取值圍是（）（A）a<2； （B）； （C）； （D）；例7．★★★（1）如果是方程組的解，試求的值。（2）若，試求a、b的值。（一）選擇題1．下列方程屬于二元一次方程的是（）A、 B、 C、 D2．下列方程中，二元一次方程一共有（）（1）（2）（3）（4）A、1個 B、2個 C、3個 D、4個3．若，則、的值為（）A、 B、 C、 D、4．若和是同類項，則（）ABCD5、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，則2x2-3xy的值是（）（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）126、若5x-6y=0，且xy≠0，則的值等于（）（A） （B） （C）1 （D）-1（二）求解方程組6．解下列方程組（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）三．填空題若xlal-2010+(a-2011)y=2009，是關于x,y的二元一次方程，則a=__________四．解答題1．已知二元一次方程組的解是，求的值。1．在方程中，是二元一次方程的是．2．方程的兩個解是和，則=，=。3．若和是關于、的方程的兩個解，則=，=。4、解方程組：（兩種方法：代入消元法、加減消元法）3x+5y=8x+y=7①2x-y=1②3x+y=174．若是關于、的二元一次方程，則的值是多少？第二講二元一次方程組(2)列方程組解應用題的一般步驟：（1）審題：審題是解決問題的前提．通過審題找出已知量和未知量，以與它們之間的相互關系．（2）設未知數：設誰為未知數與未知數的數量要根據題目中的具體條件而定．一般情況下問幾個未知量就設幾個未知數，可以直接設未知數，也可間接設未知數．（3）找出等量關系．列方程組的關鍵是找出題目中的等量關系，它決定了方程組列出的難易程度，一般情況下設幾個未知數，就應找出幾個等量關系．（4）列方程組，根據等量關系，列出方程組．（5）解方程組，運用方程組的知識求出方程組的解．（6）答題：根據題目寫出答案．例1、★★一群女學生住若干間宿舍，若每間住4人，則還剩1人無房住；若每間住5人，則有一間宿舍空出，那么共有名女生，間宿舍。例2、★★玻璃廠熔煉玻璃液，原料是由石英砂和長石粉混合而成，要求配料中含二氧化硅70%，根據化驗，石英砂中含二氧化硅99%，長石粉中含二氧化硅67%，在3.2噸原料中，石英砂和長石粉各需多少噸？例3：[行程問題]小明與小紅家相距20km,小明從家出發騎自行車去小紅家，兩人商定小紅到時候從家里出發騎自行車去接小明，已知小明騎車的速度為13km/h，小紅騎車的速度為12km/h。如果兩人同時出發，那么他們經過多少小時相遇？如果小明先走30min，那么小紅騎自行車要走多少小時才能與小明相遇？例4：[增長率問題]某肖2012年秋季七年級和高一年級招生總數為500人，計劃2013年秋季七年級招生數增加20％，高一年級招生數增加15％,這樣2013年將增加18％，求2013年秋季七年級、高一年級的計劃招生數分別是多少？例5：[和、差、倍、分問題]某電視臺在黃金時段的2min廣告時間，計劃插播長度為15s和30s的兩種廣告，15s廣告每播1次收費0.6萬元，30s廣告每1播次收費1萬元，若要求每種廣告播放不少于2次，問：（1）兩種廣告的播放次數有幾種安排方式？（2）電視臺選擇哪種方式播放收益較大？★★甲、乙兩缸，甲缸中現有49L水，乙缸中現有56L水。如果把乙缸的水倒滿甲缸，那么乙缸中還剩下的水相當于甲缸容量的一半；如果把甲缸的水倒滿乙缸，那么甲缸中剩下的水相當于本身容量的，求這兩個缸的容量各是多少？1．某城市現有42萬人口，計劃一年后城鎮人口增加0.8%，農村人口增加1.1%，這樣全市人口將增加1%，設這個城市現有城鎮人口x萬，農村人口y萬，則所列方程為。2．某單位去年男員工比女員工多80人，今年經過一次大規模的調整后，女員工增加了20%，男員工減少25%，因此女員工反而比男員工多30人。去年有男員工，女員工人。3．在環保知識競賽中，某校代表隊的平均在績是88分，其中女生的平均成績是比男生高10%，而男生人數比女生人數多10%，則男女生的平均成績分別是分。4．某工廠甲、乙兩個車間去年計劃共完成稅利720萬元，結果甲車間完成去年計劃的115%，乙車間完成了計劃的110%，兩車間共完成稅利812萬元，去年兩個車間分別超過額完成稅利萬元。5．一堆玩具分給若干個小朋友，若每人分3件，則剩余4件；若前面每人分4件，則最后一人只能得到1件玩具。求小朋友的人數與玩具數。6．某種產品是由A種原料和B種原料混合而成的，其中A種原料每千克50元，B種原料每千克40元。據最新消息，這兩種原料過幾天都要調價，A種原料價格上漲10%，B種原料價格下降15%，經核算，產品的成本仍然不變，因而產品不需調價。已知這批產品共重11000kg，問A種原料和B種原料各需多少？7．一個三位數，三個數位上的數字之和為17，百位上的數字與十位上的數的和比個位數大3，如果把百位上的數字與個位數字對調，所得的新數比原數小198，求原數。8．某車間有工人30人，生產甲、乙、丙三種零件，每人每小時能生產零件甲30個，或零件乙25個，或零件丙20個，現用零件甲3個，零件乙5個，零件丙4個裝配成某種機件，如何安排勞動力，才能使每小時生產的零件剛好配套？10．某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元；乙、丙兩隊合做10天完成，廠家需支付乙、丙兩隊共9500元；甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的，廠家需付甲、丙兩隊共5500元。（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由。11．已知某一鐵路橋長1000米，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時間為40秒，求火車的速度和車長。12、★★★某地生產一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元；經精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當地一家農工商公司收獲這種蔬菜140，該公司加工廠的生產能力是：如果對蔬菜進行粗加工，每天可加工16；如果進行精加工，每天可加工，但兩種加工方式不能同時進行，受季節條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案：方案一：將蔬菜全部進行粗加工；方案二：盡可能多地對蔬菜進行精加工，沒有來得與進行加工的蔬菜，在市場上銷售；方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成。你認為哪種方案獲利最多？為什么？1．小明家今年計劃結余950元，比去年結余相比增長90%，其中收入比去年高15%，支出比去年低10%，求今年計劃收入與支出各是多少元？2．國貿商場在春節期間搞優惠促銷活動。商場將29英寸和25英寸彩電共96臺分別以8折和7折出售，共得184400元。已知29英寸彩電原價3000元/臺，25英寸彩電原價2000元/臺，問出售29英寸和25英寸彩電各多少臺？3．商品店出售A、B、C三種商品，一月份C端商品的銷售額占商店總銷售金額的60%，預計二月份A、B商品的銷售金額減少5%，要使二月份商店總銷售金額比一月份的總銷售金額增長10%，那么必須使C商品的銷售金額比一月份增長多少？第三講整式的乘法1．代數式2．去括號添括號法則：a+（b-c）=a+b-c，a-（b+c）=a-b-c，a+b-c=+（），a-b+c=-（）。3．冪的運算法則：am·an=______（m，n都是正整數），（am）n=_______（m，n都是正整數）．am÷an=_______（m，n都是正整數，且m>n，a≠0），（ab）n=______（n為正整數）總結1．單項式與單項式相乘，把它們的系數，一樣字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式.2．單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即注：這里、、和都表示單項式．3．多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項．再把所得的積相加，如：③③①②④①②③④例1化簡（a-b）3·（b-a）2÷（b-a）3。例2計算：（a+b-1）（a-b+1）。例3已知一個多項式與單項式－７xy的積為２１xy－２８xy＋７y（２xy），試求這個多項式.例4已知多項式能被整除，且商式是，求代數式的值。一、填空題：1．-x3y2z的系數是________，次數是______，x2-xy+1是______次_______項式。2．若x2m-1y2m與-x5yn+7是同類項，則（m-n）-1的值為_________3．若a-=3，則a2+的值為_______。二、選擇題4．下列運算正確的是( )

A．B． C． D．5．下列關系式中，正確的是( )

A．B．

C． D.6．已知4n-m=4，則（m-4n）2-3（m-4n）-10的值是（）A．-6B．6C．18D．-387．如圖（1），在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（a>b），把余下的部分剪拼成一個長方形如圖（2），通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，這個等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2三簡答題8．計算：（1）；（2）運用乘法公式計算：1992×2008（3）．若3x2-mxy+6y2是一個完全平方式，求m的值．9．先化簡再求值：，其中，10．已知A=5x2-mx+n，B=-3y2+2x-1，若A+B中不含有一次項和常數項，求m2-2mn+n2的值。11．有一列數：第一個數為x1=1，第二個數為x2=3，第三個數開始依次記為x3，x4，…，xn；從第二個數開始，每個數是它相鄰兩個數和的一半．（如x2=）（1）求第三、第四、第五個數，并寫出計算過程；（2）根據（1）的結果，推測x8=_________．（3）探索這一列數的規律，猜想第K個數Xk=_______．（K是大于2的整數）1．下列計算正確的是（）A．B.C.D.2．化簡（）A． B.C. D.3．的計算結果是（）A． B.C． D.4.先化簡,再求值．，其中第四講乘法公式1．完全平方公式：①；②．即：兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，這個公式叫做乘法的完全平方公式．2．完全平方公式的結構特征：公式的左邊是一個二項式的完全平方；右邊是三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2倍．3．公式的推廣：①；②；③；④．4. 平方差公式:兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差。這個公式叫做乘法的平方差公式5. 公式的結構特征①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全一樣，另一項互為相反數；②右邊是乘式中兩項的平方差（一樣項的平方減去相反項的平方）。一、.完全平方公式的應用例1．計算：（1）（2）（3）例2．已知，求和的值．例3用簡單方法計算（1）（2）例4已知，求和的值．例5已知，求、的值．二.利用平方差公式計算1、位置變化：（1） （2）2、符號變化：（3） （4）3、系數變化：（5） （6）4、指數變化：（7） （8）5、增項變化（1） （2）（3）（4）6．增因式變化（1） （2）1．下列等式不成立的是（）A、B、C、D、2．下列各式中計算結果是的是（）A、B、C、D、3．計算：的結果等于（）A、B、C、D、4．若，則因式（）A、B、C、D、5．等于（）A． B． C． D．6．在①；②；③；④中，運算正確的是（）A.②① B.②③ C.②④ D.③④7．若，那么代數式M應是（）A． B． C． D．1．（）=已知，求的值和的值計算（1）；（2）（3）第五講因式分解提公因式法1.因式分解的概念因式分解：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這就叫做把這個多項式因式分解，也可稱為將這個多項式分解因式。2.提取公因式確定公因式的方法是：先取各項數字系數的最大公約數，再取各項一樣字母的最低次冪，合起來就是這個多項式的公因式。如果多項式的首項系數是負的，提公因式時要將負號提出，使括號第一項的系數是正的，并且注意括號其它各項要變號。如果公因式是多項式時，只要把這個多項式整體看成一個字母，按照提字母公因式的辦法提出。總結①公因式的系數：②字母：③一樣字母的指數：例1下列從左到右的變形,屬于分解因式的是()A.(x+3)(x－2)=x2+x－6B.ax－ay+1=a(x－y)+1C.x2－=(x+)(x－)D.3x2+3x=3x(x+1)例2寫出下列多項式中的公因式：（2）（3）（4）（5）（6）例3利用提公因式法分解因式：（2）例4把a2﹣4a多項式分解因式，結果正確的是（）A． a（a﹣4） B． （a+2）（a﹣2） C． a（a+2）（a﹣2） D． （a﹣2）2﹣4例5把多項式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（） A． m+1 B． 2m C． 2 D． m+2例6已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（13x﹣17）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均為整數，則a+b+c=（） A． ﹣12 B． ﹣32 C． 38 D． 72 一、判斷題1．一個多項式若能因式分解,則這個多項式被其任一因式除所得余式為0．（）2．因式分解:－x4y5+x2y2－xy=－xy(x3y4－xy)．（）3．分解因式:(a－b)(m－2)－(b－a)(n+3)=(a－b)(m－n－5)．（）二、選擇題1．下列變形中,屬于因式分解的是________．（）A．(a+b)(a－b)=a2－b2B．x2－y2+4y－4=(x+y)(x－y)+4(y－1)C．a3－b3=(a－b)(a+ab+b)D．a2－10a+10=a(a－10)+102．計算((－2)11+(－2)10的結果是________．（）A．(－2)21B．210C．－210D．－23．a2x+ay－a3xy在分解因式時，應提取的公因式是________．（）A．(－2)21B．210C．－210D．－24．49x3yz3+14x2y2z2－21xy2z2在分解因式時應提取的公因式是________（）A．7x3yz3B．7x2y2z2C．7xy2z2D．7xyz25．多項式0.5x(a－b)－0.25y(b－a)中,可提取公因式________．（）A．0.5x+0.25yB．0.5x+0.25yC．a+bD．0.25(a－b)6．(－a)m+a(－a)m－1的值是________．（）A．1B．－1C．0D．(－1)x+17．下列各恒等變形中,是因式分解的是________．（）A．a2－2ab+b2=(a－b)2B．(a+b)2=a2+2ab+b2C．a2b+ab2+c=ab(a+b)+cD．a2－2ab+b2－c=(a－b)2－c8．多項式－3x2n－9xn分解因式的結果是________．（）A．3(－x2n+3xn)B．－3(x2n－3xn)C．－3xn(xn+3)D．－3xn(x2+3)9．(－2)2n+1+2(－2)2n其結果是________．（）A．22n+1B．－22n+1C．0D．(－2)2n+210．3m(x－y)－2(y－x)2分解因式為________．（）A．(x－y)(3m+2x－2y)B．(x－y)(3m－2x+2y)C．(y－x)(2y－2x+3m)D．(y－x)(2x－2y+3m)三、填空題1．分解因式:－4m3+16m2－6m=_____________．2．5m(a+b)－a－b=(a+b)_____________．1．分解因式：ab2+a=_________．xy﹣3x=_________．a2b﹣2ab2=_________2．已知：a+b=3，ab=2，求：a2b+ab2第六講公式法與其十字相乘法運用公式法平方差：完全平方：十字相乘法（1）二次項系數為1的二次三項式中，如果能把常數項分解成兩個因式的積，并且等于一次項系數中，那么它就可以分解成（2）二次項系數不為1的二次三項式中，如果能把二次項系數分解成兩個因數的積，把常數項分解成兩個因數的積，并且等于一次項系數，那么它就可以分解成：。分組分解法定義：=，這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法例1.分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2.已知、、是△ABC的三邊，且滿足，求證：△ABC為等邊三角形。例3．因式分解的應用：1、可以被60與70之間的兩個整數整除，求這兩個數。2、若的值。例4.探索與創新：[問題一]（1）計算：（2）計算：[問題二]如果二次三項式（為整數）在整數圍可以分解因式，那么可以取那些值？一填空題：1、；；＝。2、分解因式：＝；＝；＝。3、計算：1998×2002＝，＝。4、若，那么＝。5、、滿足，分解因式＝。二、選擇題：1、把多項式因式分解的結果是（）A、B、C、D、2、如果二次三項式可分解為，則的值為（）A、－1B、1C、－2D、23、若是一個完全平方式，那么的值是（）A、24B、12C、±12D、±24三、解答題：1、因式分解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）一．直接寫出下列因式分解的結果：（1）（2）（3）（4）（5）（6）二．解答題：1、已知，求的值。2、已知是△ABC的三邊的長，且滿足，試判斷此三角形的形狀。第七講整式的乘法和因式分解復習1．因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解與整式的乘法是互為_______運算。2．因式分解的方法：（1）提取公因式法（首先考慮的方法）、應用公式法、分組分解法、十字相乘法．（2）公式：a2-b2=_______，a2±2ab+b2=_______。3．因式分解的一般步驟先看有沒有公因式，若有立即提出；然后看看是幾項式，若是二項式則用平方差；若是三項式用完全平方公式。4．因式分解時要分解到不能再分解為止，還要注意題目要求什么圍分解。5．因式分解是式的變形的基本功，用處很大，必須熟練掌握，分解時要又快又準。本節主要考查因式分解的熟練掌握程度，特別是幾個基本公式；屬基礎題，常以填空題，選擇題的形式出現。◆典例精析例1分解因式m2（m-n）2-4（n-m）2．（2）2a（x-y）3+2a3（y-x）．例2分解因式（1）-x3+2x2-x；（2）-xn+3+xn+1。一、填空題：1．分解因式：16x29y2。分解因式：a32a2a。2．一個矩形的面積為a32ab+a，寬為a，則矩形的長為。3．計算。二、選擇題4．下列式子中，從左到右的變形是因式分解的是().A．a(x+y)=ax+ayB．.x24x+4=x(x4)+4C．10x25x=5x(2x1)D．.x216+3x=(x+4)(x4)+3x5．下列各式中，能用提公因式法分解因式的是().A．x2yB．.x22xC．x2y2D．x2xyy26．利用因式分解簡便計算5799+449999正確的是().A．99(57+44)=99101=9999B．99(57+441)=99100=9900C．9(57+44+1)=99102=10098D．99(57+4499)=992=1987．有三種卡片，其中邊長為的正方形卡片，邊長分別為，的矩形卡片，邊長為的正方形卡片．用這卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為__________．A．3a+2bB．2a+3bC．3a+bD．三、解答題8．分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a)（2）x39x.(3)（a+b）2－6（a+b）+9（4）.a2+a+(5)3（x－y）3－6（y－x）2（6）（8）x4–2x2+1（8）（9）（10）已知1＋x+x2＋x3＋x4=0，求1＋x+x2＋x3＋…x19999．已知是△ABC的三邊的長，且滿足，試判斷此三角形的形狀。1、下列從左到右的變形,屬于分解因式的是()A.(x+3)(x－2)=x2+x－6B.ax－ay+1=a(x－y)+1C.x2－=(x+)(x－)D.3x2+3x=3x(x+1)2、若多項式x2+ax+b可分解為(x+1)(x－2),試求a、b的值。3．把多項式2(x－2)2－(2－x)3分解因式的結果是（）A.(x－2)2(4－x)B.x(x－2)2C.－x(x－2)2D.(x－2)2(2－x)分解下列因式1.2.4.第8講平行線的性質和判定平行線的性質和判定1．兩直線平行，同位角相等2．兩直線平行，錯角相等3．兩直線平行，同旁角互補4．垂直于兩平行線之一的直線，必垂直于另一直線兩直線平行的判定方法1．平行線的判定公理：同位角相等，兩直線平行2．平行線的判定定理1：錯角相等、兩直線平行3．平行線的判定定理2：同旁角互補、兩直線平行4．平行公理的推論：平行于同一直線的兩條直線平行5．垂直于同一直線的兩條直線平行例1如圖，∥，直線EF分別交AB、CD于E、F，EG平分，若，求。1123ABCDEFG1234ACBM1234ACBMNE例3如圖所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE是∠ABC、∠ADC的角平分線，∠1=∠2，求證：DC∥AB。AABCDEF123例4如圖，若∠1=∠4，∠1+∠2=180°，則AB、CD、EF的位置關系如何？例5已知：如圖∥，求證：CCDEBA例6如圖，已知，∠B=140°，∠D=150°，∠E=70°，求證：AB∥CD。AABCDEF1．已知，如圖1，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°。(1)∵∠1=∠ABC(已知)∴AD∥()(2)∵∠3=∠5(已知)∴AB∥()(3)∵∠2=∠4(已知)∴∥()(4)∵∠1=∠ADC(已知)∴∥()圖2ABCD1243圖2ABCD12432．如圖2所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，由∠1=∠2，可判定_______∥_______；由∠3=∠4，可判定_____∥_____.ABABCDEF1234567圖3①∵∠1=∠2，（已知）∴_____∥_____．（）②∵∠2=∠3，（已知）∴_____∥_____．（）③∵∠4=∠7，（已知）∴_______∥________．（）④由②③可得_______∥________∥________．（）4．如圖，已知AC∥DE，∠1=∠2。求證：AB∥CD。AABCDE12ABCDE125．已知，如圖，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠ABCDE1221ABEFCD621ABEFCDABCDEFGE121．如圖所示，若∥，∥，ABCDEFGE122．如圖所示，已知AB∥EF，求證：∠BCF=∠B+∠F。AABCDEF123．給下列證明過程填寫理由．ABE13CDF24已知：如圖4所示，AB⊥ABE13CDF24證明：∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C,（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（）∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余．（）又∵∠1=∠2，（）圖3∴_______=_______．（）圖3∴BE∥CF．（）第9講垂線和兩條平行線間的距離1.垂直當兩條直線相交所成的角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直.如圖，AB與CD相交于O，當交角90°時，稱AB與CD垂直，記作AB⊥CD與O.其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.2.垂直的性質：經過一點（已知直線上或直線外），有且只有一條直線與已知直線垂直.PAPA4A3A2A1ol4.垂線段的性質：直線外一點到這條直線的所有連線中，垂線段最短。如圖：點到直線距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離.兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離都是一個定值，這個定值叫做這兩條平行線間的距離。例1.如圖，CD⊥AB，CD=DB，DB=3㎝，求①C到AB的距離；②∠ADC=﹖，∠BDC=﹖例2如圖，直線AB與CD不平行，點M在AB上，MN⊥CD于N．則下列4個判斷中，正確的判斷有_______.(1)線段NM的長度是直線AB，CD之間的距離；(2)線段NM的長度是點M到直線CD的距離；(3)線段MN的長度是點N到直線AB的距離；(4)線段MN是點M與點N之間的距離．例3如圖，在面積為12cm2的長方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，則AD與BC之間的距離為()A．3cmB．4cmC．6cmD．不能確定例4如圖，AD∥BC，AD=BC，E是AD上任意一點，已知S△EBC=5．求：四邊形ABCD的面積．例5如圖，已知直線l1∥l2，點A，B在直線l1上，點C，D在直線l2上，則△ACD與△BCD的面積相等嗎?請說明理由．一、選擇題1．過線段MN的中點，畫直線l⊥MN，若MN=5cm，則點M到直線l的距離為()A．5cmB．2．5cmC．10cmD．不能確定2．在同一平面，與已知直線的距離等于4cm的直線有()A．1條B．兩條C．無數條D．不能確定3．將一條線段沿某一方向平移，記平移的距離為m，線段和它的像的距離為n，則()A．m=nB．m>nC．m＜nD．m≥n4．如圖，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2于點E，FG⊥l2于點G，下列說法中不正確的是()A．∠ABD=∠CDEB．CE=FGC．A，B兩點間的距離就是線段AB的長度D．l1與l2之間的距離就是線段CD的長度二、填空題5．已知l1∥l2∥l3，l1與l2之間的距離為3cm，l2與l3之間的距離為4cm，則l1與l3之間的距離為_____cm．6．已知△ABC的面積為l5cm2，AC=5cm，直線DE經過點B且平行于AC，則DE與AC之間的距離為______．7．兩條平行的鐵軌間的枕木的長度都相等，依據的數學原理是________________________________.三、解答題8．如圖，已知直線a和線段b，求作一條直線l，使l∥a，且與直線a的距離等于b．9．如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC=15cm，AD=12cm，BE⊥AC于點E．BE=10cm．求：AD，BC之間的距離．10．如圖，已知平行四邊形ABCD的周長為25cm，對邊的距離分別為DE=2cm，DF=3cm．求：這個平行四邊形的面積．1．把直線l沿某一方向平移3cm，得平移后的像為b，則直線a與b之間的距離為()A．等于3cmB．小于3cmC．大于3cmD．等于或小于3cm2．如圖，線段AB=2cm，把線段AB向右平移3cm，得到線段DC，連結B，C和A，D．則四邊形ABCD的面積為（）A．4cm2B．9cm2C．6cm2D．無法確定3．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．FG∥AB與CD相交于E，下列敘述不正確的是()A．點C到AB的距離是線段CD的長B．線段BC的長是點8到AC的距離C．線段BG的長是FG與AB之間的距離D．線段DE的長是AB與EF之間的距離4．如圖，長方形ABCD的長AD為6cm，寬AB為3cm，現有動點E從A點出發沿AD運動到D，速度為2cm/s，動點F從C點出發，沿CB運動到B，速度為lcm/s．已知，兩動點均在t0時刻分別從A點，c點開始運動，則當兩動點距離最短時，時間已經經過了()A．2sB．3sC．1．5sD．2．5s第10講分式的認識和它的基本性質1．分式的概念：有關分式的概念的理解：（1）分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數線起除號和括號的作用，例如表示；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分母必須含有字母；2．分式有意義：3．分式的值：4．分式的基本性質（初步約分）：例1下列各式中，分式的個數有（）x+y,,,—4xy,,A、1個B、2個C、3個D、4個例2（1）當時，分式無意義；（2）若分式；（3）為何值時，下列分式有意義．①②③（4）為何值時，分式沒有意義？例3（1）為何值時，下列分式的值為零．①②③（2）求滿足條件的的值．①分式1；②分式的值為負數；③分式的值為正數．（3）若的值為整數，求x的整數值。例4（1）填空：；（2）當、滿足關系式時，分式的值等于；（3）若、同時擴大2倍，則下列分式的值的變化情況為：①：；②：；③：．例5（1）a為何值時，下列等式成立：①； ②．（2）不改變分式的值，把下列分式的分子、分母中的各項系數化為整數．①； ②；例6（1）化簡下列分式：①； ②；例7已知的值；一、填空題1.當a=_______時,分式的值為零.2.當分式=-1時,則x__________.3.若分式的值為零，則x的值為4.當x________時,有意義.5.不改變分式的值,把分式中分子、分母各項系數化成整數為________.6.小明參加打靶比賽,有a次打了m環,b次打了n環,則此次打靶的平均成績是______環.7．當ｘ=＿＿＿時，分式的值為0．8．當x______時,分式有意義.9．已知：，，，……，若（a、b都是正整數），則a+b的最小值是__。10．①②。11．約分：①__________，②__________。12．計算：__________。1．使分式有意義的的取值圍是（）A.B.C.D.2．已知兩個分式：，，其中，則A與B的關系是（）A、相等B、互為倒數C、互為相反數D、A大于B3．當x__________時分式有意義；當時，的值為負數；當、滿足時，的值為；4．如果把分式中的、都擴大3倍，那么分式的值；第11講分式的乘、除法與乘方1．約分技巧2．冪的計算：同底數冪相乘除，指數相加減；冪的乘方，底數不變，指數相乘；積的冪等于冪的積．3．乘除法：先把各分子分母因式分解，再約分．例1計算：； ②；③； ④；⑤； ⑥．例2計算：①； ②；③； ④；⑤； ⑥．例3計算：①； ②；③； ④；例4；1．下列各式中，計算正確的是（）A．B．C．D．2．化簡，結果是（）A．B．C．D．3．下列計算中，錯誤的是（）A．B．C．D．4．計算得（）A．B．x5yC．y5D．xy55．計算的結果是（）A．B．C．D．6．計算的值等于（）A．B．C．D．7．=．=___________．8．計算：（1）；（2）.（3）·÷．（4）．（5）．（6）．9．閱讀理解：計算時，小虎給出了他的解答過程如下：解：試說明小虎的求解過程是否正確？如果不正確，請你指出錯誤之處，并寫出你認為正確的解答過程．10．課堂上，吳老師給大家出了這樣一道題：求當x等于:（1）7－2；（2）9+2時，請分別計算代數式÷的值．小明一看，“太復雜了，怎么算呢？”你能幫小明解決這個問題嗎？請你寫出具體過程．一、選擇題1．下列等式正確的是()A.(－1)0=－1B.(－1)－1=1C.2x－2=D.x－2y2=2．使分式的值等于5的a的值是()A.5B.－5C.D.－二、填空題1．計算：=________.2．若代數式有意義，則x的取值圍是________.3．若=5，則=________.三、計算：(1) (2)第12講整數的指數冪1．同底數冪的運算性質2.同底數冪的運算性質推廣：3．4．多重乘方：=5.積的乘方:1．計算：（P為正整數）（n為正整數）2．計算：①②③④3．計算：①②③④⑤⑥⑦4．計算：①②5、①②③已知，，求m，n的值。7、已知m、n均為正整數，且3m+n是10的倍數，求證：3m+4+n也是10的倍數。一、填空：1．________2._______3.若__________4._________5．_________6．__________7．=____________8．若__________9．________________________________________二、選擇題：1．可寫成（）A．B.C.D.2．81×27可記為（）A．B.C.D.3．若，則下列各式不成立的是（）A．B.C．D.4．下列各式中，正確的是（）A．B.C．D.5．在中，括號應填寫的代數式是（）A．B.C.D.6．a、b互為相反數，且都不為0，n為正整數，則下列兩數互為相反數的是（）A．B.C.D.7．計算等于（）A．B.C.D.8．若m、n、p為正整數，則等于（）A．B.C.D.9．若n為正整數，當a=-1時，等于（）A．1B.-1C.0D.1或-110．計算.等于（）A．0B.1C.-5D.三、計算：1、 2、、四、解答題.1．若2.計算：3.已知n是正整數,且一、填空題1．2．3．4．5．6．若，，則.7．8．計算：=9.=5.計算:①②6.已知第13講分式的加、減法1．分式的運算法則同分母分式加減法：異分母分式加減法：2．分式的乘除法3．分式的乘方：4．常用的公式變形：注：分式的計算中，分數線具有括號的作用！例1計算：（1）； （2）例2計算：（1） （2）（3） （4）.例3化簡：（1） （2）（3） （4）（-）·（5） （6）．（7） （8）例4已知：，求分式的值：例5已知：，求的值；例6計算1．若，則的值等于（）A．B．C．D．或2．化簡的結果是()(A)(B)(C)(D)3．計算的結果是（）A． B． C． D．4.計算的結果為（）A． B． C． D．5.在下列三個不為零的式子中，任選兩個你喜歡的式子組成一個分式是，把這個分式化簡所得的結果是.6.若一個分式含有字母，且當時，它的值為12，則這個分式可以是．（寫出一個即可）7.已知，則代數式的值為.8.若+=（a≠b≠0），用含a、b的代數式表示m，則m＝________9.化簡：=10.觀察下列各式：，；；；…想一想，什么樣的兩數之積等于這兩數之和？設n表示正整數，用關于n的等式表示這個規律為＿＿＿.一、填空題：1.計算的結果是_______.2.若,則M=___________.3.化簡：＝＿＿＿.4.各分式的最簡公分母是＿＿＿.5.若x≠0，則＝＿＿＿.6.請在下面“、”中分別填入適當的代數式，使等式成立：+=7.公路全長為skm，騎自行車t小時可到達，為了提前半小時到達，騎自行車每小時應多走________二、選擇題1.計算：，正確的結果是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2.與相等的式子是（）A.B.C.D.第14講分式方程[知識要點]1．分式方程的概念：字母里面有未知數的方程．2．分式方程的解法：（1）去分母：將分式方程兩邊都乘以最簡公分母，化分式方程為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗根3．增根：使分式方程中分母為0的根，叫做方程的增根，應舍去．例1下列方程是關于x的方程，其中是分式方程的是______________。（只填序號）=1\*GB3①QUOTE；=2\*GB3②QUOTE；=3\*GB3③QUOTE；=4\*GB3④QUOTE；=5\*GB3⑤QUOTE；=6\*GB3⑥QUOTE；=7\*GB3⑦QUOTE；=8\*GB3⑧QUOTE；=9\*GB3⑨QUOTE例2解方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）．例3（1）解方程：（2）解方程：例4（1）解方程：（2）解方程：例5（1）解關于的方程：（2）解關于的方程：（3）解關于的方程：例6若分式方程：有增根，求的值．例7已知一次函數的圖象經過（1，3）和（-2，0）兩點，則關于x的方程的根是多少？1．分式方程的解是（）A． B． C． D．2．分式方程的解是()A．x=1B．x=－1C．x=2D．x=－23．方程的解是．4．方程的解是.5．方程的解是x=．6．當時，關于的分式方程無解.7．解方程：（1）（2）（3） （4）（5）（6）（7） （8）1．下列式子，是分式方程的是（）A． B．C． D．2．如果關于x的分式方程有增根，則m的值為（）A． B． C． D．3．關于x的方程的根為，則a等于（）A． B．3 C． D．4．方程的根是（）A． B． C． D．5．一件工作，甲單獨做a天完成，乙單獨做b天完成，兩人合作，共需（）A． B．C． D．6．如果與互為相反數，則x的值等于___________7．某車間原計劃在x天生產120個零件，由于采用了新技術，每天多生產零件3個，因此提前2天完成任務，則列方程為______________8．用換元法解方程時，如果設，那么原方程可化為_____________9．方程的解是_____________第15講分式方程的應用1：知識：（1）會列分式方程解決比較簡單的實際問題并能檢驗根的合理性。（2）以以工程問題為例，能將此類問題中的相等關系用分式方程表示，提高運用方程思想解決問題的能力。2、思想：（1）“實際問題分式方程模型求解檢驗根的合理性”（2）分式方程是有效描述現實世界的模型，提升分析問題、解決問題的能力，培養應用意識。（3）分式方程的基本思想是把分式方程轉化為整式方程，把未知問題轉化為已知問題，是數學的轉化思想。3、方法：列方程(組)解應用題的一般步驟是：①審清題意；②設未知數，③找等量關系列方程；④解方程；⑤檢驗；⑥寫出答案．列分式方程解應用題的方法、步驟與上述一樣，關鍵是最后必須驗根4、行程問題等量關系，工程問題等量關系。5、一件工作，甲單獨做小時完成，乙單獨做小時完成，則甲的工效為，乙的工效為。則甲、乙合作小時完成。例1.兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，總工程全部完成。求乙隊單獨完成需要的時間。例2、甲、乙兩班同學參加“綠化祖國”活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？歸納：解工程問題的基本思路是（1）。（2）。（3）。練一練：1.甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做1天后，再由兩隊合作2天就完成了全部工程。已知甲隊單獨完成工程所需的天數是乙隊單獨完成所需天數的，求甲、乙兩隊單獨完成各需多少天？3.一個工廠接了一個訂單，加工生產720t產品，預計每天生產48t，就能按期交貨，后來，由于市場行情變化，訂貨方要求提前5天完成，問：工廠應每天生產多少噸？例3.如圖，小明家、王老師家、學校在同一條路上。小明家到王老師家的