系統(tǒng)抽樣和分層抽樣2.1.2系統(tǒng)抽樣創(chuàng)設(shè)情境某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生對教師教學(xué)的意見，打算從高一年級(jí)500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行調(diào)查，除了用簡單隨機(jī)抽樣獲取樣本外，你能否設(shè)計(jì)其他抽取樣本的方法？一、系統(tǒng)抽樣的定義：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣。【說明】由系統(tǒng)抽樣的定義可知系統(tǒng)抽樣有以下特證：（1）當(dāng)總體容量N較大時(shí)，采用系統(tǒng)抽樣。（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此，系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，這時(shí)間隔一般為k＝[N/n].（3）預(yù)先制定的規(guī)則指的是：在第1段內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始編號(hào)，在此編號(hào)的基礎(chǔ)上加上分段間隔的整倍數(shù)即為抽樣編號(hào)。1）下列抽樣中不是系統(tǒng)抽樣的是（）A、從標(biāo)有1~15號(hào)的15個(gè)小球中任選3個(gè)作為樣本，按從小號(hào)到大號(hào)排序，隨機(jī)確定起點(diǎn)i,以后為i+5,i+10(超過15則從1再數(shù)起)號(hào)入樣B、工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品，用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間前，檢驗(yàn)人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產(chǎn)品檢驗(yàn)C、搞某一市場調(diào)查，規(guī)定在商場門口隨機(jī)抽一個(gè)人進(jìn)行詢問，直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止D、電影院調(diào)查觀眾的某一指標(biāo)，通知每排（每排人數(shù)相等）座位號(hào)為14的觀眾留下來座談二、系統(tǒng)抽樣的一般步驟（1）將總體編號(hào)。（2）將總體按編號(hào)進(jìn)行分段.（3）在第一段用簡單隨機(jī)抽樣確定起始個(gè)體的編號(hào)。（4）按照一定的規(guī)則抽取樣本。【說明】從系統(tǒng)抽樣的步驟可以看出，系統(tǒng)抽樣是把一個(gè)問題劃分成若干部分分塊解決，從而把復(fù)雜問題簡單化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想。【例題精析】

例1、某校高中三年級(jí)的295名學(xué)生已經(jīng)編號(hào)為1，2，……，295，為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，要按1：5的比例抽取一個(gè)樣本，用系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行抽取，并寫出過程。（4）按照全班學(xué)生的身高進(jìn)行編號(hào)，抽樣距是8，然后進(jìn)行抽樣，你覺得這樣做有代表性么？有在這樣的問題中，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

系統(tǒng)抽樣的步驟為:(1)

將總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào);(2)

將編號(hào)按一定的間隔(設(shè)為k)分段,當(dāng)N/n(N為總體中的個(gè)體數(shù),n為樣本容量)是整數(shù)時(shí),k=N/n;當(dāng)N/n

不是整數(shù)時(shí),從總體中剔除一些個(gè)體,使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)N’

能被n整除,這時(shí)k=N’

/n,并將剩下的總體重新編號(hào);(3)

在第一段中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào)l;(4)

將編號(hào)為l,l+k,l+2k,···,l+(n–1)k

的個(gè)體抽出

.例2.

某單位在崗職工共624人,為了調(diào)查工人用于上班途中的時(shí)間,決定抽取10%的工人進(jìn)行調(diào)查.如何采用系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣?分析:

因?yàn)?24的10%約為62,624不能被62整除,為了保證“等距”分段,應(yīng)先剔除4人.解:第一步將624名職工用隨機(jī)方式進(jìn)行編號(hào);第二步從總體中剔除4人(剔除方法可用隨機(jī)數(shù)表法),將剩下的620名職工重新編號(hào)(分別為000,001,002,·

·

·,619),并分為62段;第三步在第一段000,001,002,·

·

·,009這十個(gè)編號(hào)中用簡單隨機(jī)抽樣確定起始號(hào)碼l

;第四步將編號(hào)為l

,l

+10,l

+20,·

·

·,l

+610

的個(gè)體抽出,組成樣本

.練習(xí)1.為了了了解參參加一一次知知識(shí)競競賽的的1252名學(xué)生生的成成績,決定采采用系系統(tǒng)抽抽樣的的方法法抽取取一個(gè)個(gè)容量量為50的樣本本,那么總總體中中應(yīng)隨隨機(jī)剔剔除個(gè)個(gè)體的的數(shù)目目是()A.2B.3C.4D.5A練習(xí)2.要從1003名學(xué)生生中選選取一一個(gè)容容量為為20的樣本本,試敘述述系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣的步步驟.解:第一步步將將1003名學(xué)生生用隨隨機(jī)方方式編編號(hào)為為0000,0001,0002,···,1002;第二步步從從總體體中剔剔除3個(gè)個(gè)體體(剔除方方法可可用隨隨機(jī)數(shù)數(shù)表法法);第三步步將將剩下下的1000名學(xué)生生重新新編號(hào)號(hào)(分別為為000,001,002,···,999號(hào)),并平均均分成成20段;第四步在在第第一段段000,001,002,···,049這50個(gè)編號(hào)號(hào)中隨隨機(jī)地地抽取取一個(gè)個(gè)號(hào)碼碼(可用抽抽簽法法或隨隨機(jī)數(shù)數(shù)表法法)l,則編號(hào)號(hào)為l+50,l+100,l+150,···,l+950的個(gè)體體就可可組成成抽取取的樣樣本.練習(xí)3.試用系系統(tǒng)抽抽樣的的方法法從你你校學(xué)學(xué)生中中抽取取適當(dāng)當(dāng)?shù)臉訕颖?再對抽抽出的的學(xué)生生的兩兩臂平平展的的長度度及身身高進(jìn)進(jìn)行測測量,分別計(jì)計(jì)算兩兩組數(shù)數(shù)據(jù)的的平均均數(shù).§2.1.3分層抽抽樣設(shè)計(jì)科科學(xué)、、合理理的的抽抽樣方方法法，，其核核心問問題是是保證證抽樣樣公平平，并并且樣樣本具具有好好的代代表性性.如果要要調(diào)查查我校校高一一學(xué)生生的平平均身身高，，由于于男生生一般般比女女生高高，故故用簡簡單隨隨機(jī)抽抽樣或或系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣，都都可能能使樣樣本不不具有有好的的代表表性.對于此此類抽抽樣問問題，，我們們需要要一個(gè)個(gè)更好好的抽抽樣方方法來來解決決.一般地地，在在抽樣樣時(shí)，，將總總體分分成互不交交叉的的層，然后后按照照一定的的比例例，從各層獨(dú)獨(dú)立地地抽取取一定數(shù)數(shù)量的的個(gè)體體，將將各層層取出出的個(gè)個(gè)體合合在一一起作作為樣樣本，，這種種抽樣樣的方方法叫叫分層抽抽樣．分層抽抽樣分層抽抽樣問題一個(gè)單單位的的職工工500人，其其中不不到35歲的有有125人，35到49歲的有有280人，50歲以上上的有有95人。為為了了了解這這個(gè)單單位職職工與與身體體狀況況有關(guān)關(guān)的某某項(xiàng)指指標(biāo)，，要從從中抽抽取一一個(gè)容容量為為100的樣本本。由由于職職工年年齡與與這項(xiàng)項(xiàng)指標(biāo)標(biāo)有關(guān)關(guān)，試問：：應(yīng)用用什么么方法法抽取取？能在500人中任任意取取100個(gè)嗎？？能將將100個(gè)份額額均分分到這這三部部分中中嗎？？解：用用分層層抽樣樣來抽抽取樣樣本,步驟是是:(1)分層：：按年年齡將將150名職工工分成成三層層：不到35歲的職職工；；35歲至49歲的職職工；；50歲以上的的職工工.(2)確定每每層抽抽取個(gè)個(gè)體的的個(gè)數(shù)數(shù)．抽抽樣比比為，，則在在不到35歲的職職工中中抽125×1/5=25人；在在35歲至49歲的職職工中中抽280×1/5=56人；在在50歲以上上的職職工中中抽95××1/5=19人．(4)綜合每每層抽抽樣，，就是所所抽取取的樣樣本組成樣樣本．．(3)利用簡簡單隨隨機(jī)抽抽樣或或系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣的方方法，，從各各年齡齡段分分別抽抽取25，56,19人。思考：：分層抽抽樣的的操作作步驟驟如何何？第一步步，計(jì)計(jì)算樣樣本容容量與與總體體的個(gè)個(gè)體數(shù)數(shù)之比比.第四步步，將將各層層抽取取的個(gè)個(gè)體合合在一一起，，就得得到所所取樣樣本.第三步步，用用簡單單隨機(jī)機(jī)抽樣樣或系系統(tǒng)抽抽樣在在各層層中抽抽取相相應(yīng)數(shù)數(shù)量的的個(gè)體體.第二步步，將將總體體分成成互不不交叉叉的層層，按按比例例確定定各層層要抽抽取的的個(gè)體體數(shù).強(qiáng)調(diào)兩兩點(diǎn)：：（1）分層層抽樣樣是等等概率率抽樣樣，它它也是是公平平的。。用分分層抽抽樣從從個(gè)體體為N的總體體中抽抽取一一個(gè)容容量為為n的樣本本時(shí)，，在整整個(gè)抽抽樣過過程中中每個(gè)個(gè)個(gè)體體被抽抽到的的概率率相等等，都都等于于。。（2）分層層抽樣樣是建建立在在簡單單隨機(jī)機(jī)抽樣樣或系系統(tǒng)抽抽樣的的基礎(chǔ)礎(chǔ)上的的，由由于它它充分分利用用了已已知信信息，，因此此它獲獲取的的樣本本更具具代表表性，，在實(shí)實(shí)用中中更為為廣泛泛。2.分層抽抽樣是是按比比例分分別對對各層層進(jìn)行行抽樣樣，再再將各各個(gè)子子樣本本合并并在一一起構(gòu)構(gòu)成所所需樣樣本.其中正正確計(jì)計(jì)算各各層應(yīng)應(yīng)抽取取的個(gè)個(gè)體數(shù)數(shù)，是是分層層抽樣樣過程程中的的重要要環(huán)節(jié)節(jié).1.分層抽抽樣利利用了了調(diào)查查者對對調(diào)查查對象象事先先掌握握的各各種信信息，，考慮慮了保保持樣樣本結(jié)結(jié)構(gòu)與與總體體結(jié)構(gòu)構(gòu)的一一致性性，從從而使使樣本本更具具有代代表性性，在在實(shí)際際調(diào)查查中被被廣泛泛應(yīng)用用.3.簡單隨隨機(jī)抽抽樣是是基礎(chǔ)礎(chǔ)，系系統(tǒng)抽抽樣與與分層層抽樣樣是補(bǔ)補(bǔ)充和和發(fā)展展，三三者相相輔相相成，，對立立統(tǒng)一一.思考：：簡單隨隨機(jī)抽抽樣、、系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣和分分層抽抽樣既既有其其共性性，又又有其其個(gè)性性，根根據(jù)下下表，，你能能對三三種抽抽樣方方法作作一個(gè)個(gè)比較較嗎？？

方法類別

共同特點(diǎn)抽樣特征相互聯(lián)系適應(yīng)范圍簡單隨隨機(jī)抽樣樣系統(tǒng)抽樣分層抽樣抽樣過過程中中每個(gè)個(gè)個(gè)體體被抽取取的概概率相相等將總體體分成成均衡幾部分分，按按規(guī)則關(guān)聯(lián)抽取總體由由層次不不同的的幾部部分構(gòu)構(gòu)成用簡單隨隨機(jī)抽樣樣抽取起起始號(hào)碼總體中的個(gè)體體數(shù)較少總體中的的個(gè)體數(shù)數(shù)較多總體由差異明顯顯的幾部分組組成從總體中中逐個(gè)不放放回抽取用簡單隨機(jī)機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣樣對各層抽樣階段練習(xí)習(xí)練習(xí)：某單位有有職工200人，其中中老年職職工40人，現(xiàn)從從該單位位的200人中抽取取40人進(jìn)行健健康普查查，如果果采用分分層抽樣樣進(jìn)行抽抽取，則則老年職職工應(yīng)抽抽取的人人數(shù)為多多少？2.某中學(xué)有有180名教職員員工，其其中教學(xué)學(xué)人員144人，管理理人員12人，后勤勤服務(wù)人人員24人，設(shè)計(jì)計(jì)一個(gè)抽抽樣方案案，從中中選取15人去參觀觀旅游.用分層抽抽樣，抽抽取教學(xué)學(xué)人員12人，管理理人員1人，后勤勤服務(wù)人人員2人.思考:在分層抽抽樣中，，如果總總體的個(gè)個(gè)體數(shù)為為N，樣本容容量為n，第i層的個(gè)體體數(shù)為k，則在第第i層應(yīng)抽取取的個(gè)體體數(shù)如何何計(jì)算？？思考：樣本容量量與總體體的個(gè)體體數(shù)之比比是分層層抽樣的的比例常常數(shù)，按按這個(gè)比比例可以以確定各各層應(yīng)抽抽取的個(gè)個(gè)體數(shù)，，如果各各層應(yīng)抽抽取的個(gè)個(gè)體數(shù)不不都是整整數(shù)該如如何處理理？調(diào)節(jié)樣本本容量，，剔除個(gè)個(gè)體.例：某單單位有老老年人28人，中年年人54人，青年年人81人，為了了調(diào)查他他們的身身體狀況況，從他他們中抽抽取容量量為36的本，最最適合抽抽取樣本本的方法法是（））A.簡單隨機(jī)機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣樣C.分層抽樣樣D.先從老年年人中剔剔除1人，再用用分層抽樣樣分析：總?cè)藬?shù)數(shù)為28+54+81=163．樣本容容量為36，由于總總體由差差異明顯顯的三部部分組成成，考慮慮用分層層抽樣.若按36∶163取樣，無無法得到到整解，，故考慮慮先剔除除1人，抽取取比例變變?yōu)?6∶162=2∶9，則中中年人人取12人，青青年人人取18人，先先從老老年人人中剔剔除1人，老老年人人取6人，組組成36的樣本本。一試身身手例．某某校500名學(xué)生生中，，O型血有有200人，A型血有有125人，B型血有有125人，AB型血有有50人，為為了研研究血血型與與色弱弱的關(guān)關(guān)系，，需從從中抽抽取一一個(gè)容容量為為20的樣本本．怎樣抽抽取樣樣本？？解：用用分層層抽樣樣抽取取樣本本．∵，即即抽樣樣比為為20/500=1/25.∴200××1/25=8，125×1/25=5，50××1/25=2.故O型血抽抽8人，A型血抽抽5人，B型血抽抽5人，AB型血抽抽2人.抽樣步步驟：：①確定抽抽樣比比；②按比比例分分配各各層所所要抽抽取的的個(gè)體體數(shù)，，O型血抽抽8人，A型血抽抽5人，B型血抽抽5人，AB型血抽抽2人;③用簡單單隨機(jī)機(jī)抽樣樣分別別在各各種血血型中中抽取取樣本，直直至取取出容容量為為20的樣本本.比比誰誰最快快1.（2007浙江高高考，，文13）某校校有學(xué)生2000人，其中中高三學(xué)學(xué)生500人．為了解解學(xué)生生的身身體素素質(zhì)情情況，，采用按按年級(jí)分層抽抽樣的的方法法，從該校校學(xué)生生中抽抽取一一個(gè)200人的樣本本．則樣本本中高三學(xué)生的的人數(shù)數(shù)為_____．比比誰誰最快快2.某商場場有四四類食食品，，其中中糧食食類、、植物油油類、、動(dòng)物物性食食品類類及果果蔬類類分別有有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中中抽取取一個(gè)個(gè)容量量為20的樣本本進(jìn)行食食品安安全檢檢測．．若采采用分分層抽抽樣的方法法抽取取樣本本，則則抽取取的植植物油油類與果蔬蔬類食食品種