一、集合1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.第一章函數與極限第一節映射與函數記為：集合表示：M={x|x所具的特征}2.鄰域:。二、映射定義：設X、Y是兩個非空集合，若存在使對

X中每個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，一個法則f

，則稱f為從X到Y的映射，記作f：X→Y定義設數集D,則稱映射f:D→R記作y=f(x)，x∈D為定義在D上的函數，三、函數x1-1yo(1)符號函數幾個特殊的函數舉例1.函數概念12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo(2)取整函數階梯曲線

y=[x][x]表示不超過

x

的最大整數(3)狄利克雷函數當x>0

時當

x≤0時2、函數的幾種特性（1）函數的有界性:設函數f(x)的定義域為D，定義：則稱函數f(x)在X上有界，否則稱無界。則稱函數f(x)在X上有上界。有下界。函數f(x)在X上有界的充要是：

f(x)在X上既有上界又有下界.例3證明有界證有界（2）函數的單調性:設函數f(x)的定義域為D，區間若對區間I上的任意兩點x1與x2,當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，稱y=f(x)在區間I

上是單調增加的.xyo減少xyo（3）函數的奇偶性:偶函數yxox-x（或奇函數）yxox-x奇函數例4證明兩個奇函數的乘積是偶函數證設f(x)、g(x)都是奇函數記h(x)=f(x)g(x)故h(x)是偶函數兩個偶函數的乘積是偶函數一個偶函數與一個奇函數的乘積是奇函數

證明定義在R上的任意函數，一個奇函數與一個偶函數之和。都可以表示為證奇函數偶函數（4）函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個正數l則稱f(x)為周期函數，l稱為f(x)的周期。3.反函數與復合函數（1）反函數定義：設函數

y=f(x)x∈X,若對存在唯一的x∈X,使

y=f(x)成立，則在f(X)中定義了一個函數稱為

y=f(x)的反函數.例5求的反函數解反函數定理1設函數

y=f(x)在X上單調增(減),則設

y=f(x)必存在反函數且它在f(X)上也是單調增(減).（2）復合函數定義:,函數u=g(x)設函數y=f(u)的定義域為

的定義域為D，

則稱函數y=f(g(x))為由函數y=f(u)和u=g(x)構成的復合函數

若存在

定義域(-1,1)例5解綜上所述1.常數函數基本初等函數

常函數的定義域為(-,+)，圖形為平行于x軸,在y軸上截距為C的直線。

三、初等函數

冪函數的定義域隨a而異，但不論a為何值,它在(0,+)內總有定義。冪函數圖形都經過(1,1)點。常見的冪函數及其圖形：

2.冪函數3.指數函數

定義域為(-,+)，值域為(0,+)，都通過點(0,1),當a>1時，函數單調增加；當0<a<1時，函數單調減少。4.對數函數

對數函數是指數函數y=ax的反函數,定義域為(0,+),圖形通過(1,0)點,當a>1時,函數單調增加；當0<a<1時,函數單調減少。對數的基本性質：換底公式對數恒等式5.三角函數正弦函數余弦函數

y

=

sinx與y

=

cosx的定義域均為(-,+)，均以2p為周期。y

=

sinx為奇函數，y

=

cosx為偶函數。它們都是有界函數。定義域:x(2n+1)p/2。周期:p。奇函數。正切函數定義域:xnp。周期:p。奇函數。余切函數正割函數余割函數6.反三角函數定義域：值域：單調增加函數；奇函數.定義域：值域：單調減少函數；無奇偶性.xy定義域：值域：單調增加函數；奇函數.反余切函數xy定義域：值域：單調減少函數；無奇偶性.

由基本初等函數經過有限次的四則運算或復合運算得到的一切函數統稱為初等函數.初等函數例如，等等。本課程討論的函數絕大多數都是初