等差數列（精練）（提升版）題組一題組一等差中項1．（2022·全國·模擬預測（理））已知數列是等差數列，，是方程的兩根，則數列的前20項和為（

）A． B． C．15 D．30【答案】D【解析】，是方程的兩根，所以，又是等差數列，所以其前20項和為．故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，若，則（

）A．28 B．34 C．40 D．44【答案】D【解析】因為，所以由，可得所以，所以，故選：D3．（2022·全國·高三專題練習）已知等差數列的前項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據等差數列公式及性質可得，所以，所以.故選：D4．（2022·江西·南昌十中高三階段練習（理））已知數列為等差數列，且滿足，則數列的前11項和為（

）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】D【解析】因為數列為等差數列，故等價于，故可得.又根據等差數列前項和性質.故選：D.4．（2022·河北石家莊·二模）等差數列的前n項和記為，若，則（

）A．3033 B．4044 C．6066 D．8088【答案】C【解析】由等差數列知，，所以，故選：C5．（2022·河南平頂山）已知為正項等差數列的前n項和，若，則（

）A．22 B．20 C．16 D．11【答案】A【解析】由題意設正項等差數列的首項為，公差為故由得：，即，故，故選：A6．（2022·全國·高三專題練習）已知數列滿足且，則（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【解析】,∴數列是以2為公差的等差數列，，，，，故選：B.題組二題組二等差數列的前n項和性質1．（2022·全國·高三專題練習（理））已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（

）A．10 B．15 C．20 D．40【答案】C【解析】數列是等差數列，為數列的前項和，根據等差數列的性質得到：仍成等差數列，記，設，，，，，計算可得到結果為：20.故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，若，，則（

）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】B【解析】由等差數列的前項和的性質可得：，，也成等差數列，，，解得．故選：B．3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校一模（理））已知等差數列的前項和為，，則（

）A． B．13 C．-13 D．-18【答案】D【解析】由，可設∵為等差數列，∴S3，S6S3，S9S6為等差數列，即a，6a，成等差數列，∴，即∴故選:D.4．（2022·陜西·武功縣普集高級中學一模（文））設Sn是等差數列{an}的前n項和，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據等差數列的性質，若數列為等差數列，則，，，也成等差數列；又，則數列，，，是以為首項，以為公差的等差數列則，，故選：A．5．（2022·重慶八中模擬預測）已知等差數列與等差數列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設等差數列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C6．（2022·全國·高三專題練習）設等差數列與等差數列的前n項和分別為，，若對任意自然數n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，.故選：C.7．（2022·全國·高三專題練習）等差數列的前項和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設的公差為d，∵∴，即{}為等差數列，公差為，由知，故故選：A﹒8．（2022·全國·高三專題練習）已知，分別是等差數列，的前n項和，且，則______．【答案】【解析】因為為等差數列，所以，所以.故答案為：9．（2022·遼寧·大連市一0三中學模擬預測）已知數列是等比數列，為其前項和，若，，則______．【答案】60【解析】為等比數列，，，，，也構成等比數列，又，，該等比數列首項為4，公比為2，項數為4，則，故答案為：6010．（2022·全國·高三專題練習）設等差數列的前項和為，若，則數列公差為___________.【答案】4【解析】由等差數列性質可知，又，∴,解得，故答案為：4題組三題組三等差數列的最值1．（2022·江西贛州·二模（文））已知等差數列的前項和為，若，，則使得前項和取得最大值時的值為（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【解析】因為等差數列的前項和為，，，所以，所以，，所以，，即等差數列的公差，所以，時，；時，，所以，使得前項和取得最大值時的值為.故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）已知是等差數列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，又，所以，所以的最小值為.故選：C.3．（2022·浙江省浦江中學高三期末）設等差數列的公差為d，其前n項和為，且，，則使得的正整數n的最小值為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【解析】由，得，因為是等差數列，所以，，，，，，所以，使得的正整數n的最小值為.故選:D.4．（2022·浙江省新昌中學模擬預測）設等差數列的前n項和為，首項，公差，若對任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得則得，即，令得，即①，即得.因為首項，公差，則得，即.又因為，所以，代入①得.當時，由得即，所以即因此當或11時，的最小值為.故選：C5．（2022·全國·高三專題練習）若是等差數列，首項，，，則使前項和成立的最小正整數是A． B． C． D．【答案】D【解析】因為等差數列中，，，所以公差，，，因為，所以，因為，所以，根據等差數列的性質可知，時，；時，.故使前項和成立的最小正整數是.故選：D.6．（2022·全國·高三專題練習）設等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則中最大的項為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵等差數列前n項和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數則對稱軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時有最大值，故為前8項，又d＜0，遞減，前8項中遞增，∴前8項中最大最小時有最大值，∴最大．7．（2022·湖南永州·三模）（多選）已知等差數列是遞減數列，為其前項和，且，則（

）A． B．C． D．、均為的最大值【答案】BD【解析】因為等差數列是遞減數列，所以，，所以，，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，故C錯誤；因為由題意得，，所以，，故D正確；故選：BD8．（2022·四川成都·模擬預測（理））已知數列是等差數列，且．若是和的等差中項，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為數列是等差數列，所以是正項等比數列，又，所以，解得或-1（舍），又因為是和的等差中項，所以，則，即．所以，令，則，所以，當且僅當時，即時取等號．故選：A．9．（2022·廣東·模擬預測）已知數列的前項和為，且，，則使時的的最小值為_________.【答案】【解析】當為偶數時，令，，又，即，即為偶數時，使時的的最小值為810；當為奇數時，令，，令，所以（驗證符合題意），即為奇數時，使時的的最小值為809；綜上可得：的最小值為809，故答案為：809.10．（2022·江蘇泰州·模擬預測）已知等差數列{}的前n項和是，，，則數列{||}中值最小的項為第___項．【答案】10【解析】由題意得：，∴，，∴，，∴，故等差數列{}為遞減數列，即公差為負數，因此的前9項依次遞減，從第10項開始依次遞增，由于，∴{||}最小的項是第10項，故答案為：1011．（2022·陜西·長安一中模擬預測（理））設等差數列的前n項和為，若，，，則當滿足成立時，n的最小值為___________.【答案】31【解析】等差數列的前n項和為，，由得：，即，數列的公差，因此，數列是首項為正的遞減數列，又，則當時，，而，因此，當時，，所以當滿足成立時，n的最小值為31.故答案為：3112．（2022·全國·高三專題練習）設，為實數，首項為，公差為的等差數列的前項和為，滿足：，且，則的最小值為_________．【答案】88【解析】由題意，..設.則．因為關于的方程有實數解，故.即，解得或（舍去）.故.此時，滿足．即的最小值為88.故答案為：88．題組四題組四等差數列的綜合運用1．（2022·廣東江門）（多選）已知數列的前n項和為，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數列 B．C．當，或17時，取得最大值 D．【答案】BC【解析】因為，所以兩式相減得，當時，適合上式，所以，因為，所以數列是遞減數列，由，解得，且所以當或17時，取得最大值，所以，.故選：BC2．（2022·廣東·金山中學高三階段練習）（多選）設等差數列的公差為，前項和為，已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對于AB，因為，，所以，解得，，所以AB正確，對于C，所以，對稱軸為，因為，所以當時，取得最大值，所以，所以C錯誤，對于D，令，則，解得，或，因為，所以，所以，所以D錯誤，故選：AB3．（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前項和，則下列結論正確的是（

）A．數列是等差數列B．數列是遞增數列C．，，成等差數列D．，，成等差數列【答案】D【解析】，∴時，時，．時，不滿足∴數列不是等差數列；，因此數列不是單調遞增數列；，因此，，不成等差數列．．．∴成等差數列．故選：D4．（2022·全國·高三專題練習）（多選）設等差數列的前項和為，公差為.已知，，，則（

）A．數列的最小項為第項 B．C． D．時，的最大值為【答案】ABC【解析】對于C選項，由且，可知，故C正確；對于B選項，由，可得，故B正確；對于D選項，因為，，所以，滿足的的最大值為，故D錯誤；對于A選項，由上述分析可知，當且時，；當且時，，所以，當且時，，當且時，，當且時，.由題意可知單調遞減，所以當且時，，由題意可知單調遞減，即有，所以，由不等式的性質可得，從而可得，因此，數列的最小項為第項，故A正確.故選：ABC.5．（2022·河北張家口·三模）（多選）已知公差為d的等差數列的前n項和為，則（

）A．是等差數列 B．是關于n的二次函數C．不可能是等差數列 D．“”是“”的充要條件【答案】AD【解析】由知，，則，所以是等差數列，故A正確；當時，不是n的二次函數，故B不正確；當時，，則，所以是等差數列，故C不正確；當時，，故，，所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：AD.題組五題組五等差數列的實際運用1．（2022·全國·高三專題練習）2022北京冬奧會開幕式將我國二十四節氣融入倒計時，盡顯中國人之浪漫．倒計時依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長等量減少，若冬至、立冬、秋分三個節氣的日影長之和為31.5寸，冬至到處暑等九個節氣的日影長之和為85.5寸，問大暑的日影長為（

）A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸【答案】B【解析】因為從冬至到夏至的日影長等量減少，所以構成等差數列，由題意得：，則，，則，所以公差為，所以，故選：B2．（2022·江西·模擬預測（理））“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數學著作《孫子算經》卷下第十六題，叫做“物不知數”問題，原文如下：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二．問物幾何？現有一個相關的問題：將1到2021這2021個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序排成一列，構成一個數列，則該數列的項數為（

）A．58 B．59 C．60 D．61【答案】A【解析】因為由1到2021這2021個自然數中被5除余3且被7除余2的數按照從小到大的順序所構成的數列是一個首項為23，公差為35的等差數列，所以該數列的通項公式為．因為，所以．即該數列的項數為58．故選：A3．（2022·貴州貴陽·模擬預測（理））《孫子算經》一書中有如下問題：“今有五等諸侯，共分橘子60顆，人別加3顆．問：五人各得幾何？”其大意為“有5人分60個橘子，他們分得的橘子數構成公差為3的等差數列，問5人各得多少個橘子？”根據上述問題的已知條件，則分得橘子最多的人所得的橘子數為（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【解析】依題意，這5人得到的橘子數按從小到大的順序排成一列構成公差的等差數列，而數列的前5項和，由，解得，則，所以分得橘子最多的人所得的橘子數為18.故選：D4．（2022·寧夏·平羅中學三模（理））朱世杰是歷史上偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五向中有如下一段話：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人，”其大意為“官府陸續派遣1864人修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人”，則派出總人數為708人時，共用時（

）A．7天 B．8天 C．9天 D．10天【答案】B【解析】由題意可知，每天派出的人數構成一個等差數列，其中首項，公差，記數列的前n項和為，則，當時，解得．故選：B．5．（2022·全國·高三專題練習（理））某公園有一塊等腰梯形狀的空地，現準備在空地上鋪上大理石，使它成為一個運動場地，若第一排需要大理石8片，從第二排開始后面每一排比前一排多2片，共需鋪10排，則這塊空地共需大理石（

）A．160片 B．170片 C．180片 D．190片【答案】B【解析】因為這10排大理石片數構成一個首項為8，公差為2的等差數列，所以．故選：B．6．（2022·遼寧·東北育才學校模擬預測）天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.今年是辛丑年，也是偉