高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)1知識點(diǎn)1.

數(shù)量積、向量積、夾角余弦；知識點(diǎn)1.數(shù)量積、向量積、夾角余弦；2知識點(diǎn)1.

數(shù)量積、向量積、夾角余弦；////知識點(diǎn)1.數(shù)量積、向量積、夾角余弦；////3解解4解解5知識點(diǎn)2：平面及其方程（三種形式）平面的點(diǎn)法式方程:平面的一般方程:平面的截距式方程:兩平面夾角余弦公式://知識點(diǎn)2：平面及其方程（三種形式）平面的點(diǎn)法式方程:平面的6取法向量化簡得所求平面方程為解取法向量化簡得所求平面方程為解7設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解8化簡得代入體積式所求平面方程為化簡得代入體積式所求平面方程為9知識點(diǎn)3：空間直線及其方程空間直線的一般方程:直線的參數(shù)方程:直線的對稱式方程:^兩直線的夾角公式知識點(diǎn)3：空間直線及其方程空間直線的一般方程:直線的參數(shù)方程10平面:垂直：平行：夾角公式：直線:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束知識點(diǎn)3：空間直線及面線間的關(guān)系方程平面:垂直：平行：夾角公式：直線:機(jī)動目錄上頁11例.

求直線與平面的交點(diǎn).提示:化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.求直線與平面的交點(diǎn).提示:化直線方程為參數(shù)方程代12解所求直線方程方法2:設(shè)解所求直線方程方法2:設(shè)13練習(xí):設(shè)有直線與則L1與L2的夾角為[注]L1和L2的方向向量分別為和練習(xí):設(shè)有直線與則L1與L2的夾角為[注]L1和L2的14知識點(diǎn)4：二元函數(shù)的定義域與極限例6求的定義域．解所求定義域?yàn)橹R點(diǎn)4：二元函數(shù)的定義域與極限例6求15例7求極限解其中例7求極限解其中16求極限:求極限:17知識點(diǎn)5：二元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t:

知識點(diǎn)5：二元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t:18特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似19例解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束20高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件21例.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故例.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解利用偏導(dǎo)數(shù)公22多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)23高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件242、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)（x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，是f(x，y)在該點(diǎn)連續(xù)的（A）充分條件而非必要條件（B）必要條件而非充分條件（C）充分必要條件（D）既非充分條件又非必要條件2、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)（x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在255、二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（B）連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（D）不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)存在，又當(dāng)（x，y）沿y=kx趨向于（0，0）時隨著k的不同，該極限值也不同，所以極限不存在，f(x，y)在（0，0）不連續(xù)。5、二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（B）26解解27解解28解令記同理有解令記同理有29于是于是30解令解令31練習(xí):設(shè),求解令則練習(xí):設(shè),求解令則32知識點(diǎn)6：多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1.曲線切線方程:2.曲線的法平面：3.切平面方程:4.曲面的法線方程為:知識點(diǎn)6：多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1.曲線切線方程:2.曲33解切平面方程為法線方程為解切平面方程為法線方程為34高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件355.方向?qū)?shù)與梯度（歸納）：

求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度5.方向?qū)?shù)與梯度機(jī)動目錄上頁下頁36一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù),記為

取P(x0tcos

y0tcos)U(P0)

如果極限方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P037一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)處沿方向l的變化率

一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P038一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)方向?qū)?shù)

如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)可微分,那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l(el(coscos))的方向?qū)?shù)都存在,且有定理(方向?qū)?shù)的計(jì)算)>>>

一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P039討論

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P沿x軸正向和負(fù)向,沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?提示

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0沿方向l(el(coscos))的方向?qū)?shù)

討論提示函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P040

例

求f(x

y

z)xy2z3xyz在點(diǎn)(112)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為604560

解

與l同向的單位向量為

因?yàn)楹瘮?shù)可微分且

所以

fx(112)(y2-yz)|(112)-1

fy(112)(2xy-xz)|(112)0

fz(112)(3z2-xy)|(112)11

例求f(xyz)xy2z3x41二、梯度梯度的定義

函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

如果函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)可微分

el(coscos)是與方向l同方向的單位向量,則gradf(x0

y0)el|gradf(x0

y0)|cos(gradf(x0

y0),^el)

二、梯度梯度的定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)42

函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

二、梯度梯度的定義

函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)|gradf(x0

y0)|cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)可微分

el(coscos)是與方向l同方向的單位向量,則函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個向量,它的方向與43例求

grad．

解這里

f(x，y)

．因?yàn)椋?/p>

grad．

例

設(shè)

f(x，y，z)x3－xy2－z，求gradf(1,1,0)．

解

gradf

(fx，fy，fz

)(3x2－y2,－2xy,－1)，于是

gradf(1，1，0)(2,2,－1)．函數(shù)在此點(diǎn)沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值為3.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)在此點(diǎn)沿方向(-2,2,1)減少率最大,其值為-3.例求grad．44說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在知識點(diǎn)7：多元函數(shù)的極值及其求法說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(45

46例.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0)47在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.48高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件49解則

2x=3y,y=2z解則2x=3y,y=2z50知識點(diǎn)8：二重積分的性質(zhì)與計(jì)算性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性知識點(diǎn)8：二重積分的性質(zhì)與計(jì)算性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２性51性質(zhì)4若在D上則有性質(zhì)5性質(zhì)6性質(zhì)4若在D上則有性質(zhì)5性質(zhì)652二重積分的計(jì)算1.二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的計(jì)算1.二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情53先確定積分次序(先看被積函數(shù),再看被積區(qū)域D)先積后定限,限內(nèi)畫條線,先交為下限,后交上限寫.先確定積分次序(先看被積函數(shù),再看被積區(qū)域D)54解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖55則2.極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則⑵⑴則2.極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁56例.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對y積分是常量例.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)57三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法2.“先二后一”(截面法)方法3.“三次積分”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.直角坐標(biāo)情形:三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法582.不同坐標(biāo)系的三重積分積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中其中2.不同坐標(biāo)系的三重積分積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,59其中為由例.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中為由例.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面60知識點(diǎn)9：重積分的應(yīng)用（1）平面區(qū)域的面積（2）曲面的面積知識點(diǎn)9：重積分的應(yīng)用（1）平面區(qū)域的面積（2）曲面的面積61例.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出的面積A.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上62知識點(diǎn)10：兩類曲線積分及格林公式知識點(diǎn)10：兩類曲線積分及格林公式63例16解例17解A(1,0)B(1,1)O例16解例17解A(1,0)B(1,1)O64第二類曲線積分幾種特殊情形的計(jì)算:第二類曲線積分幾種特殊情形的計(jì)算:65曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)66

兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：67平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理證明采用⑴→⑵→⑶→⑷平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理.設(shè)D是單連通域68解解69例.計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.計(jì)算曲線積分其中為螺旋的一段弧.解:線機(jī)動70例.

計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.計(jì)算其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解71在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和lˉ72例.

驗(yàn)證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.驗(yàn)證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:73知識點(diǎn)11：兩類曲面積分及高斯公式則則則知識點(diǎn)11：兩類曲面積分及高斯公式則則則74高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件75兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系76知識點(diǎn):常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散

條件收斂與絕對收斂結(jié)論:級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.知識點(diǎn):常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散

條件收斂與絕對收斂結(jié)論:77比較判別法:可作為參考的級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù)(包括調(diào)和級數(shù)).比較判別法:可作為參考的級數(shù):78比值判別法:根式判別法:比值判別法:根式判別法:79高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件80高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件81高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件82例求下列冪級數(shù)的收斂域:例求下列冪級數(shù)的收斂域:832.和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):2.和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):84冪級數(shù)求和與函數(shù)展開成冪級數(shù)

求和2.

映射變換法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對和式積分或求導(dǎo)難1.初等變換法:先求部分和極限,再分解(裂項(xiàng)相消法),最后套用收斂的等比級數(shù)的求和公式等方法;（在收斂區(qū)間內(nèi)）機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束?

直接展開法?間接展開法—利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì)—利用泰勒公式3.函數(shù)的冪級數(shù)展開法冪級數(shù)求和與函數(shù)展開成冪級數(shù)求和2.映85例.

求冪級數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,收斂,機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.求冪級數(shù)的和函數(shù)解:易求出冪級數(shù)的收斂半徑為1,86因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束上式中令x=－1,即得因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:而及機(jī)動目錄上頁下87例將函數(shù)展開成

x的冪級數(shù).解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例將函數(shù)展開成x的冪級數(shù).解:機(jī)動目錄上頁88注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).補(bǔ)充知識點(diǎn)注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).補(bǔ)充知識點(diǎn)89計(jì)算時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號”一投二代三定號計(jì)算時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號”一投二代三90例191:x=02:y=03:z=04:x+y+z=1解:例191:x=0解:91高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)92知識點(diǎn)1.

數(shù)量積、向量積、夾角余弦；知識點(diǎn)1.數(shù)量積、向量積、夾角余弦；93知識點(diǎn)1.

數(shù)量積、向量積、夾角余弦；////知識點(diǎn)1.數(shù)量積、向量積、夾角余弦；////94解解95解解96知識點(diǎn)2：平面及其方程（三種形式）平面的點(diǎn)法式方程:平面的一般方程:平面的截距式方程:兩平面夾角余弦公式://知識點(diǎn)2：平面及其方程（三種形式）平面的點(diǎn)法式方程:平面的97取法向量化簡得所求平面方程為解取法向量化簡得所求平面方程為解98設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解99化簡得代入體積式所求平面方程為化簡得代入體積式所求平面方程為100知識點(diǎn)3：空間直線及其方程空間直線的一般方程:直線的參數(shù)方程:直線的對稱式方程:^兩直線的夾角公式知識點(diǎn)3：空間直線及其方程空間直線的一般方程:直線的參數(shù)方程101平面:垂直：平行：夾角公式：直線:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束知識點(diǎn)3：空間直線及面線間的關(guān)系方程平面:垂直：平行：夾角公式：直線:機(jī)動目錄上頁102例.

求直線與平面的交點(diǎn).提示:化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.求直線與平面的交點(diǎn).提示:化直線方程為參數(shù)方程代103解所求直線方程方法2:設(shè)解所求直線方程方法2:設(shè)104練習(xí):設(shè)有直線與則L1與L2的夾角為[注]L1和L2的方向向量分別為和練習(xí):設(shè)有直線與則L1與L2的夾角為[注]L1和L2的105知識點(diǎn)4：二元函數(shù)的定義域與極限例6求的定義域．解所求定義域?yàn)橹R點(diǎn)4：二元函數(shù)的定義域與極限例6求106例7求極限解其中例7求極限解其中107求極限:求極限:108知識點(diǎn)5：二元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t:

知識點(diǎn)5：二元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t:109特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似110例解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束111高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件112例.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束故例.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解利用偏導(dǎo)數(shù)公113多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)114高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件1152、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)（x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，是f(x，y)在該點(diǎn)連續(xù)的（A）充分條件而非必要條件（B）必要條件而非充分條件（C）充分必要條件（D）既非充分條件又非必要條件2、二元函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)（x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在1165、二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（B）連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（D）不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)存在，又當(dāng)（x，y）沿y=kx趨向于（0，0）時隨著k的不同，該極限值也不同，所以極限不存在，f(x，y)在（0，0）不連續(xù)。5、二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（B）117解解118解解119解令記同理有解令記同理有120于是于是121解令解令122練習(xí):設(shè),求解令則練習(xí):設(shè),求解令則123知識點(diǎn)6：多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1.曲線切線方程:2.曲線的法平面：3.切平面方程:4.曲面的法線方程為:知識點(diǎn)6：多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1.曲線切線方程:2.曲124解切平面方程為法線方程為解切平面方程為法線方程為125高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件1265.方向?qū)?shù)與梯度（歸納）：

求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度5.方向?qū)?shù)與梯度機(jī)動目錄上頁下頁127一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù),記為

取P(x0tcos

y0tcos)U(P0)

如果極限方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0128一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)處沿方向l的變化率

一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0129一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線與l同方向的單位向量為el(coscos)方向?qū)?shù)

如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)可微分,那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l(el(coscos))的方向?qū)?shù)都存在,且有定理(方向?qū)?shù)的計(jì)算)>>>

一、方向?qū)?shù)設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0130討論

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P沿x軸正向和負(fù)向,沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?提示

函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0沿方向l(el(coscos))的方向?qū)?shù)

討論提示函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0131

例

求f(x

y

z)xy2z3xyz在點(diǎn)(112)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為604560

解

與l同向的單位向量為

因?yàn)楹瘮?shù)可微分且

所以

fx(112)(y2-yz)|(112)-1

fy(112)(2xy-xz)|(112)0

fz(112)(3z2-xy)|(112)11

例求f(xyz)xy2z3x132二、梯度梯度的定義

函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

如果函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)可微分

el(coscos)是與方向l同方向的單位向量,則gradf(x0

y0)el|gradf(x0

y0)|cos(gradf(x0

y0),^el)

二、梯度梯度的定義函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)133

函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

二、梯度梯度的定義

函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)fx(x0

y0)ify(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)|gradf(x0

y0)|cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)可微分

el(coscos)是與方向l同方向的單位向量,則函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是這樣一個向量,它的方向與134例求

grad．

解這里

f(x，y)

．因?yàn)椋?/p>

grad．

例

設(shè)

f(x，y，z)x3－xy2－z，求gradf(1,1,0)．

解

gradf

(fx，fy，fz

)(3x2－y2,－2xy,－1)，于是

gradf(1，1，0)(2,2,－1)．函數(shù)在此點(diǎn)沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值為3.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)在此點(diǎn)沿方向(-2,2,1)減少率最大,其值為-3.例求grad．135說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在知識點(diǎn)7：多元函數(shù)的極值及其求法說明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(136

137例.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0)138在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.139高等數(shù)學(xué)2知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)課件140解則

2x=3y,y=2z解則2x=3y,y=2z141知識點(diǎn)8：二重積分的性質(zhì)與計(jì)算性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性知識點(diǎn)8：二重積分的性質(zhì)與計(jì)算性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２性142性質(zhì)4若在D上則有性質(zhì)5性質(zhì)6性質(zhì)4若在D上則有性質(zhì)5性質(zhì)6143二重積分的計(jì)算1.二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的計(jì)算1.二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情144先確定積分次序(先看被積函數(shù),再看被積區(qū)域D)先積后定限,限內(nèi)畫條線,先交為下限,后交上限寫.先確定積分次序(先看被積函數(shù),再看被積區(qū)域D)145解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖146則2.極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則⑵⑴則2.極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)闄C(jī)動目錄上頁147例.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對y積分是常量例.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)148三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法2.“先二后一”(截面法)方法3.“三次積分”機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.直角坐標(biāo)情形:三重積分的計(jì)算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法1492.不同坐標(biāo)系的三重積分積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中其中2.不同坐標(biāo)系的三重積分積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,150其中為由例.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中為由例.計(jì)算三重積分所圍解:在柱面坐標(biāo)系下及平面151知識點(diǎn)9：重積分的應(yīng)用（1）平面區(qū)域的面積（2）曲面的面積知識點(diǎn)9：重積分的應(yīng)用（1）平面區(qū)域的面積（2）曲面的面積152例.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上投影為則出的面積A.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例.計(jì)算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面上153知識點(diǎn)10：兩類曲線積分及格林公式知識點(diǎn)10：兩類曲線積分及格林公式154例16解例17解A(1,0)B(1,1)O例16解例17解A(1,0)B(1,1)O155第二類曲線積分幾種特殊情形的計(jì)算:第二類曲線積分幾種特殊情形的計(jì)算:156曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)157

兩類曲線積分之間的聯(lián)系：兩類曲線積分之間的聯(lián)系：158平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D