文數課標版第四節基本不等式及其應用文數第四節基本不等式及其應用

1.基本不等式(1)基本不等式

≤

成立的條件:a>0,b>0.(2)等號成立的條件:當且僅當①

a=b

時等號成立.(3)其中②

稱為正數a,b的算術平均數,③

稱為正數a,b教材研讀的幾何平均數.?教材研讀的幾何平均數.22.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥④2ab

(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號.(2)ab≤

(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號.(3)

≥

(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號.(4)

+

≥2(a,b同號),當且僅當a=b時取等號.2.幾個重要的不等式33.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當⑤

x=y

時,x+y有最⑥小

值,是

⑦2

.(簡記:積定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當⑧

x=y

時,xy有最⑨大

值,是

.(簡記:和定積最大)3.利用基本不等式求最值4

判斷下列結論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)當a≥0,b≥0時,a+b≥2

.

(√)(2)兩個不等式a2+b2≥2ab與

≥

成立的條件是相同的.

(×)(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).

(√)(4)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.

(√)(5)函數y=x+

的最小值是2.

(×)(6)x>0且y>0是

+

≥2的充要條件.

(×)?(2)兩個不等式a2+b2≥2ab與?≥?成立的條件是相同51.下列不等式中正確的是

()A.若a∈R,則a2+9>6aB.若a,b∈R,則

≥2C.若a,b>0,則2lg

≥lga+lgbD.若x∈R,則x2+

>1答案

C∵a>0,b>0,∴

≥

.∴2lg

≥2lg

=lgab=lga+lgb.1.下列不等式中正確的是?()62.設x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為

()A.80

B.77

C.81

D.82答案

C∵x>0,y>0,x+y=18,∴18=x+y≥2

,即

≤9,∴xy≤81.故xy的最大值為81.3.已知x,y>0且x+4y=1,則

+

的最小值為

()A.8

B.9

C.10

D.11答案

B∵x+4y=1(x,y>0),∴

+

=

+

=5+

≥5+2

=5+4=9

當且僅當x=2y=

時,取等號

.2.設x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為?(74.已知f(x)=x+

-2(x<0),則f(x)有

()A.最大值0

B.最小值0C.最大值-4

D.最小值-4答案

C∵x<0,∴f(x)=-

-2≤-2-2=-4,當且僅當-x=

,即x=-1時取等號.∴f(x)有最大值-4.4.已知f(x)=x+?-2(x<0),則f(x)有?(85.已知x<

,則函數y=4x-2+

的最大值為

.答案1解析∵x<

,∴5-4x>0,∴y=4x-2+

=-

+3≤-2+3=1,當且僅當5-4x=

,即x=1時,等號成立,故當x=1時,ymax=1.5.已知x<?,則函數y=4x-2+?的最大值為

9考點一利用基本不等式求最值典例1(1)已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時x的值為()A.

B.

C.

D.

(2)已知a>0,b>0,a+b=1,則

+

的最小值為

.(3)已知正實數x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最小值為

.答案(1)B(2)4(3)2

-3考點突破考點一利用基本不等式求最值考點突破10解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3

=

.當且僅當x=1-x,即x=

時,“=”成立.(2)∵a>b,b>0,a+b=1,∴

+

=

+

=2+

+

≥2+2

=4,即

+

的最小值為4,當且僅當a=b=

時等號成立.(3)因為xy+2x+y=4,所以x=

.解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤11由x=

>0,得-2<y<4,又y>0,所以0<y<4,所以x+y=

+y=

+(y+2)-3≥2

-3,當且僅當

=y+2(0<y<4),即y=

-2時取等號.由x=?>0,12方法技巧(1)利用基本不等式解決條件最值問題的關鍵是構造和為定值或乘積為

定值,主要有兩種思路:①對條件使用基本不等式,建立相應的不等式求

解.②對條件變形,以進行“1”的代換,從而利用基本不等式求最值.(2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過

添項、分離常數、平方等方法使之能運用基本不等式.常用的方法還

有:拆項法、變系數法、湊因子法、換元法、整體代換法等.方法技巧131-1已知函數y=x-4+

(x>-1),當x=a時,y取得最小值b,則a+b等于

()A.-3

B.2

C.3

D.8答案

C

y=x-4+

=x+1+

-5,因為x>-1,所以x+1>0,

>0,所以由基本不等式,得y=x+1+

-5≥2

-5=1,當且僅當x+1=

,即x=2時取等號,所以a=2,b=1,則a+b=3.1-1已知函數y=x-4+?(x>-1),當x=a時,y取141-2實數x,y滿足x+2y=2,則3x+9y的最小值是

.答案6解析利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2

=2

.∵x+2y=2,∴3x+9y≥2

=6,當且僅當3x=32y,即x=1,y=

時取等號.1-2實數x,y滿足x+2y=2,則3x+9y的最小值是151-3設x>-1,則函數y=

的最小值為

.答案9解析因為x>-1,所以x+1>0,所以y=

=

=

=x+1+

+5≥2

+5=9,當且僅當x+1=

,即x=1時,等號成立,故函數y=

的最小值為9.1-3設x>-1,則函數y=?的最小值為

.16考點二基本不等式的實際應用典例2(1)某車間分批生產某種產品,每批產品的生產準備費用為800

元,若每批生產x件,則平均倉儲時間為

天,且每件產品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小,每批

應生產產品

()A.60件

B.80件

C.100件

D.120件(2)要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底

面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總

造價是

()A.80元

B.120元

C.160元

D.240元考點二基本不等式的實際應用17答案(1)B(2)C解析(1)設每批生產產品x件,則每件產品的生產準備費用是

元,倉儲費用是

元,總的費用是

元,由基本不等式得

+

≥2

=20,當且僅當

=

,即x=80時取等號.(2)設底面相鄰兩邊的長分別為xm,ym,總造價為T元,則V=xy·1=4?xy=

4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2

=80+20×4=160(當且僅當x=y時取等號).故該容器的最低總造價是160元.答案(1)B(2)C18易錯警示對實際問題,在審題和建模時一定不可忽略變量的范圍,一般地,每個表

示實際意義的代數式必須為正,由此可得變量的范圍,然后利用基本不

等式求最值.易錯警示192-1某工廠去年某產品的年銷售量為100萬件,每件產品的銷售價為10

元,每件產品的固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以

后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年

增加10萬件,第n次投入后,每件產品的固定成本為g(n)=

(k>0,k為常數,n∈N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值及f(n)的表達式;(2)若今年是第1年,則第幾年的年利潤最高?最高年利潤為多少萬元?解析(1)當n=0時,由題意得k=8.從而f(n)=(100+10n)

-100n=1000-80

,n∈N.2-1某工廠去年某產品的年銷售量為100萬件,每件產品的銷20(2)由(1)知f(n)=1000-80

≤1000-80×2×

=520,當且僅當

=

,即n=8時取等號.所以第8年的年利潤最高,最高年利潤為520萬元.(2)由(1)知f(n)=1000-80?≤1000-821考點三含參問題典例3(1)已知不等式(x+y)

≥9對任意的正實數x,y恒成立,則正實數a的最小值為

()A.2

B.4

C.6

D.8(2)設x>y>z,且

+

≥

(n∈N)恒成立,則n的最大值為

()A.2

B.3

C.4

D.5答案(1)B(2)C解析(1)(x+y)

=1+a+

+

≥1+a+2

=(

+1)2(x,y,a>0),當且僅當y=

x時取等號,所以(x+y)·

的最小值為(

+1)2,于是(

+1)2≥考點三含參問題229恒成立.所以a≥4,故選B.(2)因為x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0,不等式

+

≥

恒成立等價于n≤(x-z)

恒成立.因為x-z=(x-y)+(y-z)≥2

,

+

≥2

,所以(x-z)·

≥2

×2

=4(當且僅當x-y=y-z時等號成立),則要使n≤(x-z)

恒成立,只需使n≤4(n∈N),故n的最大值為4.9恒成立.所以a≥4,故選B.231.在應用基本不等式求最值時,要把握三個條件,即“一正——各項都是

正數;二定——和或積為定值;三相等——等號能取得”,這三個條件缺

一不可.易錯警示2.若無明顯“定值”,則常用配湊的方法,使和為定值或積為定值.當多

次使用基本不等式時,一定要注意每次是否能保證等號成立,并且要注

意取等號的條件的一致性,否則就會出錯,因此在利用基本不等式處理

問題時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗轉

換是否有誤的一種方法.1.在應用基本不等式求最值時,要把握三個條件,即“一正——各243-1已知a>0,b>0,若不等式

+

≥

恒成立,則m的最大值為

(

)A.9

B.12

C.18

D.24答案

B∵

+

≥

,且a>0,b>0,∴m≤

(a+3b)=6+

+

,又

+

≥2

=6

當且僅當

=

時等號成立

,∴m≤12,故m的最大值為12.3-1已知a>0,b>0,若不等式?+?≥?恒成立,則m的253-2已知lga+lgb=0,則滿足不等式

+

≤λ的實數λ的最小值是

.答案1解析由lga+lgb=0得ab=1(a>0且b>0),則

+

=

+

=

≤

=1(當且僅當a=b=1時等號成立),所以λ≥1,即實數λ的最小值是1.3-2已知lga+lgb=0,則滿足不等式?+?≤λ的26文數課標版第四節基本不等式及其應用文數第四節基本不等式及其應用

1.基本不等式(1)基本不等式

≤

成立的條件:a>0,b>0.(2)等號成立的條件:當且僅當①

a=b

時等號成立.(3)其中②

稱為正數a,b的算術平均數,③

稱為正數a,b教材研讀的幾何平均數.?教材研讀的幾何平均數.282.幾個重要的不等式(1)a2+b2≥④2ab

(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號.(2)ab≤

(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號.(3)

≥

(a,b∈R),當且僅當a=b時取等號.(4)

+

≥2(a,b同號),當且僅當a=b時取等號.2.幾個重要的不等式293.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當且僅當⑤

x=y

時,x+y有最⑥小

值,是

⑦2

.(簡記:積定和最小)(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當⑧

x=y

時,xy有最⑨大

值,是

.(簡記:和定積最大)3.利用基本不等式求最值30

判斷下列結論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)當a≥0,b≥0時,a+b≥2

.

(√)(2)兩個不等式a2+b2≥2ab與

≥

成立的條件是相同的.

(×)(3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).

(√)(4)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項.

(√)(5)函數y=x+

的最小值是2.

(×)(6)x>0且y>0是

+

≥2的充要條件.

(×)?(2)兩個不等式a2+b2≥2ab與?≥?成立的條件是相同311.下列不等式中正確的是

()A.若a∈R,則a2+9>6aB.若a,b∈R,則

≥2C.若a,b>0,則2lg

≥lga+lgbD.若x∈R,則x2+

>1答案

C∵a>0,b>0,∴

≥

.∴2lg

≥2lg

=lgab=lga+lgb.1.下列不等式中正確的是?()322.設x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為

()A.80

B.77

C.81

D.82答案

C∵x>0,y>0,x+y=18,∴18=x+y≥2

,即

≤9,∴xy≤81.故xy的最大值為81.3.已知x,y>0且x+4y=1,則

+

的最小值為

()A.8

B.9

C.10

D.11答案

B∵x+4y=1(x,y>0),∴

+

=

+

=5+

≥5+2

=5+4=9

當且僅當x=2y=

時,取等號

.2.設x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為?(334.已知f(x)=x+

-2(x<0),則f(x)有

()A.最大值0

B.最小值0C.最大值-4

D.最小值-4答案

C∵x<0,∴f(x)=-

-2≤-2-2=-4,當且僅當-x=

,即x=-1時取等號.∴f(x)有最大值-4.4.已知f(x)=x+?-2(x<0),則f(x)有?(345.已知x<

,則函數y=4x-2+

的最大值為

.答案1解析∵x<

,∴5-4x>0,∴y=4x-2+

=-

+3≤-2+3=1,當且僅當5-4x=

,即x=1時,等號成立,故當x=1時,ymax=1.5.已知x<?,則函數y=4x-2+?的最大值為

35考點一利用基本不等式求最值典例1(1)已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時x的值為()A.

B.

C.

D.

(2)已知a>0,b>0,a+b=1,則

+

的最小值為

.(3)已知正實數x,y滿足xy+2x+y=4,則x+y的最小值為

.答案(1)B(2)4(3)2

-3考點突破考點一利用基本不等式求最值考點突破36解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3

=

.當且僅當x=1-x,即x=

時,“=”成立.(2)∵a>b,b>0,a+b=1,∴

+

=

+

=2+

+

≥2+2

=4,即

+

的最小值為4,當且僅當a=b=

時等號成立.(3)因為xy+2x+y=4,所以x=

.解析(1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤37由x=

>0,得-2<y<4,又y>0,所以0<y<4,所以x+y=

+y=

+(y+2)-3≥2

-3,當且僅當

=y+2(0<y<4),即y=

-2時取等號.由x=?>0,38方法技巧(1)利用基本不等式解決條件最值問題的關鍵是構造和為定值或乘積為

定值,主要有兩種思路:①對條件使用基本不等式,建立相應的不等式求

解.②對條件變形,以進行“1”的代換,從而利用基本不等式求最值.(2)有些題目雖然不具備直接用基本不等式求最值的條件,但可以通過

添項、分離常數、平方等方法使之能運用基本不等式.常用的方法還

有:拆項法、變系數法、湊因子法、換元法、整體代換法等.方法技巧391-1已知函數y=x-4+

(x>-1),當x=a時,y取得最小值b,則a+b等于

()A.-3

B.2

C.3

D.8答案

C

y=x-4+

=x+1+

-5,因為x>-1,所以x+1>0,

>0,所以由基本不等式,得y=x+1+

-5≥2

-5=1,當且僅當x+1=

,即x=2時取等號,所以a=2,b=1,則a+b=3.1-1已知函數y=x-4+?(x>-1),當x=a時,y取401-2實數x,y滿足x+2y=2,則3x+9y的最小值是

.答案6解析利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2

=2

.∵x+2y=2,∴3x+9y≥2

=6,當且僅當3x=32y,即x=1,y=

時取等號.1-2實數x,y滿足x+2y=2,則3x+9y的最小值是411-3設x>-1,則函數y=

的最小值為

.答案9解析因為x>-1,所以x+1>0,所以y=

=

=

=x+1+

+5≥2

+5=9,當且僅當x+1=

,即x=1時,等號成立,故函數y=

的最小值為9.1-3設x>-1,則函數y=?的最小值為

.42考點二基本不等式的實際應用典例2(1)某車間分批生產某種產品,每批產品的生產準備費用為800

元,若每批生產x件,則平均倉儲時間為

天,且每件產品每天的倉儲費用為1元.為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小,每批

應生產產品

()A.60件

B.80件

C.100件

D.120件(2)要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底

面造價是每平方米20元,側面造價是每平方米10元,則該容器的最低總

造價是

()A.80元

B.120元

C.160元

D.240元考點二基本不等式的實際應用43答案(1)B(2)C解析(1)設每批生產產品x件,則每件產品的生產準備費用是

元,倉儲費用是

元,總的費用是

元,由基本不等式得

+

≥2

=20,當且僅當

=

,即x=80時取等號.(2)設底面相鄰兩邊的長分別為xm,ym,總造價為T元,則V=xy·1=4?xy=

4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2

=80+20×4=160(當且僅當x=y時取等號).故該容器的最低總造價是160元.答案(1)B(2)C44易錯警示對實際問題,在審題和建模時一定不可忽略變量的范圍,一般地,每個表

示實際意義的代數式必須為正,由此可得變量的范圍,然后利用基本不

等式求最值.易錯警示452-1某工廠去年某產品的年銷售量為100萬件,每件產品的銷售價為10

元,每件產品的固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以

后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年

增加10萬件,第n次投入后,每件產品的固定成本為g(n)=

(k>0,k為常數,n∈N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值及f(n)的表達式;(2)若今年是第1年,則第幾年的年利潤最高?最高年利潤為多少萬元?解析(1)當n=0時,由題意得k=8.從而f(n)=(100+10n)

-100n=1000-80

,n∈N.2-1某工廠去年某產品的年銷售量為100萬件,每件產品的銷46(2)由(1)知f(n)=1000-80

≤1000-80×2×

=520,當且僅當

=

,即n=8時取等號.所以第8年的年利潤最高,最高年利潤為520萬元.(2)由(1)知f(n)=1000-80?≤1000-847考點三含參問題典例3(1)已知不等式(x+y)

≥9對任意的正實數x,y恒成立,則正實數a的最小值為

()A.2

B.4

C.6

D.8(2)設x>y>z,且

+

≥

(n∈N)恒成立,則n的最大值為