《第7講權與定權的常用方法》主講人：李海峰《第7講權與定權的常用方法》主講人：李海峰提綱：一、權的概念二、測量中定權的常用方法三、協因數與協因數陣四、協因數及權倒數傳播定律提綱：一、權的概念在一組不等精度的觀測中，由于觀測值的精度不同，觀測值的可靠性也不一樣，觀測精度高的可靠程度大，觀測精度低的可靠程度小。這樣我們在進行數據處理的時候就不能等同對待，即為了區別觀測值精度的高低，確定各自所占的比重，就必須引入權的概念。下面我先看一個例子。設對一個已知角A（無誤差，A=30°25′36″）進行兩次不等精度觀測，其觀測值A1=30°25′34″，A2=30°25′42″，它們的中誤差分別為2.0″和4.0″。求該角的最或是值及其中誤差。一、權的概念在一組不等精度的觀測中，由于觀測值的精度不同，觀一、權的概念(1)將上述兩個不等精度觀測值的可靠程度等同看待，用算術平均值作為最可靠值并評定精度，則有:

(2)按照A1:

A2=4:1的比例進行數據處理,則有：一、權的概念(1)將上述兩個不等精度觀測值的可靠程度等同看待一、權的概念(3)按照A1:A2=10:1的比例進行數據處理,則有：

對比三種數據處理方法可知，第二種求得的最或是值最理想，精度最高。由此說明，如果觀測值的觀測精度不同，在做數據處理時，不能將觀測值等同看待，而是精度高的所占比例較大，精度低的所占比例較小，并且二者的比例也必須適當。一、權的概念(3)按照A1:A2=10:1的比例進行數據處理一、權的概念衡量不同精度觀測值在進行數據處理時所占的分量的輕重測量上稱為權,定義式Pi代表第i個觀測值的權為比例常數可以任意選取，但比例不變。上例中4:1的比例就是按照權之比確定的。就定義式而言，當Pi=1時，也就是說是權為1的觀測值的中誤差，在測量中權為1的觀測值稱為單位權觀測值，其中誤差就是單位權中誤差，的真正含義就是單位權中誤差。盡管是任選的，但一經選定就有其具體含義。即它是其它觀測值用來對比的精度標準。精度高于它的，權大于1，反之則小于1，而精度與之相等的，則權必為1。在同一個問題中只能選取一個。一、權的概念衡量不同精度觀測值在進行數據處理時所占的分量的輕二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權假設水準測量中，每一測站觀測高差的精度相同，且中誤差均為。若第i條水準路線共ni站，則該條水準路線觀測的高差中誤差為若令C個測站觀測高差中誤差為單位權中誤差，則根據權的定義式可知，水準測量中高差的權為當ni=1時，Pi=C;Pi=1時，ni=C

上式表明：當各測站觀測精度相同時，水準路線觀測高差的權與其測站數成反比。C是1測站的觀測高差的權；C是單位權觀測高差的測站數；二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權假設水準測量中，每一公里觀測高差的精度相同，且中誤差均為。若第i條水準路線共Si公里，則該條水準路線觀測的高差中誤差為若令Ckm觀測高差中誤差為單位權中誤差，則根據權的定義式可知，水準測量中高差的權為當Si=1時，Pi=C;Pi=1時，Si=C

上式表明：當每公里觀測精度相同時，水準路線觀測高差的權與其測站數成反比；C是1公里的觀測高差的權；C是單位權觀測高差的公里數；二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權二、測量中定權的常用方法【例7-1】設某條水準網由三條水準路線，各條水準路線的高差分別為h1、h2、h3，已知各條水準路線的測站數分別為n1=15n2=30、n3=60站，試求(1)若C=60站，求三條水準路線的權及比例；(2)若C=30站，求三條水準路線的權及比例。解：(1)根據公式Pi=C/ni且C=60得P1=60/15=4P2=60/30=2P3=60/60=1P1:P2:P3=4:2:1二、測量中定權的常用方法【例7-1】二、測量中定權的常用方法(2)根據公式Pi=C/ni且C=30得P1=30/15=2P2=30/30=1P3=30/60=1/2P1:P2:P3=4:2:1

說明：即使取不同的C值，但權之間的比例保持不變。二、測量中定權的常用方法(2)根據公式Pi=C/ni且C=3二、測量中定權的常用方法2、三角高程的權用三角測量推算的高差觀測值，其精度隨邊長的增加而急劇下降，其兩點間高差觀測值的權的計算公式為Si為任一邊的水平距離；C為任意常數二、測量中定權的常用方法2、三角高程的權二、測量中定權的常用方法3、同精度觀測值算術平均值的權設同精度獨立觀測值L1,L2,…,Ln,它們分別是N1,N2,…,Nn次觀測值的平均值。設每次觀測中誤差是，則Li的中誤差為令,則由權的定義可得

二、測量中定權的常用方法3、同精度觀測值算術平均值的權三、協因數和協因數陣1、協因數由權的定義可知權與觀測值的方差成反比，設有觀測值Li和Lj，它們的方差分別為令稱Qii、Qjj為觀測值Li和Lj的協因數或權倒數；Qij為觀測值Li和Lj的互協因數。不難理解，有類似的作用，也可作為比較觀測值精度高低的一種指標。協因數與方差成正比；互協因數有正負之分，絕對值越大相關性越大。三、協因數和協因數陣1、協因數三、協因數和協因數陣2、協因數陣當有一組觀測值L1,L2,…,Ln構成觀測向量,每個觀測值均有自己的協因數，任意兩個觀測值之間存在互協因數，于是我們定義協因數陣(QLL)如下觀測值相互獨立三、協因數和協因數陣2、協因數陣觀測值相互獨立三、協因數和協因數陣3、權陣協因數可以表示觀測向量的相對精度，但平差過程中經常用其逆矩陣參與運算，定義協因數的逆矩陣為權陣，表示如下

對單個觀測值而言，權和協因數互為倒數，對觀測向量而言互為逆矩陣，注意權陣主對角線上的元素并不一定是對應觀測值的權，這要分兩種情況：若觀測值相互獨立則主對角線的各個元素代表觀測值的權，若不獨立需通過協因數陣來求權。

三、協因數和協因數陣3、權陣三、協因數和協因數陣【例7-2】已知觀測向量L的權陣為,試求觀測向量L的協因數陣及觀測值L1、L2的權。解：因為觀測向量L的協因數陣為權陣的逆矩陣，所以L的協因數陣為

所以L1、L2的協因數為Q11=Q22=1/3L1、L2的權為P1=P2=3思考P=?三、協因數和協因數陣【例7-2】思考P=?四、協因數及權倒數傳播定律1、協因數傳播定律由于任意觀測向量的協方差總是等于單位權方差因子乘以該向量的協因數陣，因此可以方便的由協方差傳播定律推導出協因數傳播定律即四、協因數及權倒數傳播定律1、協因數傳播定律四、協因數及權倒數傳播定律2、權倒數傳播定律設有一觀測值的函數,各觀測值誤差相互獨立對其求全微分得：=應用協因數傳播律：

上式即為權倒數傳播定律，注意：權倒數傳播定律成立的條件，觀測值之間相互獨立是必要前提。四、協因數及權倒數傳播定律2、權倒數傳播定律四、協因數及權倒數傳播定律【例7-3】

已知獨立觀測值Li的權為Pi(i=1,2,…,n),求加權平均值的權Px。解：由權倒數傳播定律得四、協因數及權倒數傳播定律【例7-3】謝謝！測繪工程系誤差理論與測量平差權與定權的常用方法課件《第7講權與定權的常用方法》主講人：李海峰《第7講權與定權的常用方法》主講人：李海峰提綱：一、權的概念二、測量中定權的常用方法三、協因數與協因數陣四、協因數及權倒數傳播定律提綱：一、權的概念在一組不等精度的觀測中，由于觀測值的精度不同，觀測值的可靠性也不一樣，觀測精度高的可靠程度大，觀測精度低的可靠程度小。這樣我們在進行數據處理的時候就不能等同對待，即為了區別觀測值精度的高低，確定各自所占的比重，就必須引入權的概念。下面我先看一個例子。設對一個已知角A（無誤差，A=30°25′36″）進行兩次不等精度觀測，其觀測值A1=30°25′34″，A2=30°25′42″，它們的中誤差分別為2.0″和4.0″。求該角的最或是值及其中誤差。一、權的概念在一組不等精度的觀測中，由于觀測值的精度不同，觀一、權的概念(1)將上述兩個不等精度觀測值的可靠程度等同看待，用算術平均值作為最可靠值并評定精度，則有:

(2)按照A1:

A2=4:1的比例進行數據處理,則有：一、權的概念(1)將上述兩個不等精度觀測值的可靠程度等同看待一、權的概念(3)按照A1:A2=10:1的比例進行數據處理,則有：

對比三種數據處理方法可知，第二種求得的最或是值最理想，精度最高。由此說明，如果觀測值的觀測精度不同，在做數據處理時，不能將觀測值等同看待，而是精度高的所占比例較大，精度低的所占比例較小，并且二者的比例也必須適當。一、權的概念(3)按照A1:A2=10:1的比例進行數據處理一、權的概念衡量不同精度觀測值在進行數據處理時所占的分量的輕重測量上稱為權,定義式Pi代表第i個觀測值的權為比例常數可以任意選取，但比例不變。上例中4:1的比例就是按照權之比確定的。就定義式而言，當Pi=1時，也就是說是權為1的觀測值的中誤差，在測量中權為1的觀測值稱為單位權觀測值，其中誤差就是單位權中誤差，的真正含義就是單位權中誤差。盡管是任選的，但一經選定就有其具體含義。即它是其它觀測值用來對比的精度標準。精度高于它的，權大于1，反之則小于1，而精度與之相等的，則權必為1。在同一個問題中只能選取一個。一、權的概念衡量不同精度觀測值在進行數據處理時所占的分量的輕二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權假設水準測量中，每一測站觀測高差的精度相同，且中誤差均為。若第i條水準路線共ni站，則該條水準路線觀測的高差中誤差為若令C個測站觀測高差中誤差為單位權中誤差，則根據權的定義式可知，水準測量中高差的權為當ni=1時，Pi=C;Pi=1時，ni=C

上式表明：當各測站觀測精度相同時，水準路線觀測高差的權與其測站數成反比。C是1測站的觀測高差的權；C是單位權觀測高差的測站數；二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權假設水準測量中，每一公里觀測高差的精度相同，且中誤差均為。若第i條水準路線共Si公里，則該條水準路線觀測的高差中誤差為若令Ckm觀測高差中誤差為單位權中誤差，則根據權的定義式可知，水準測量中高差的權為當Si=1時，Pi=C;Pi=1時，Si=C

上式表明：當每公里觀測精度相同時，水準路線觀測高差的權與其測站數成反比；C是1公里的觀測高差的權；C是單位權觀測高差的公里數；二、測量中定權的常用方法1、水準測量的權二、測量中定權的常用方法【例7-1】設某條水準網由三條水準路線，各條水準路線的高差分別為h1、h2、h3，已知各條水準路線的測站數分別為n1=15n2=30、n3=60站，試求(1)若C=60站，求三條水準路線的權及比例；(2)若C=30站，求三條水準路線的權及比例。解：(1)根據公式Pi=C/ni且C=60得P1=60/15=4P2=60/30=2P3=60/60=1P1:P2:P3=4:2:1二、測量中定權的常用方法【例7-1】二、測量中定權的常用方法(2)根據公式Pi=C/ni且C=30得P1=30/15=2P2=30/30=1P3=30/60=1/2P1:P2:P3=4:2:1

說明：即使取不同的C值，但權之間的比例保持不變。二、測量中定權的常用方法(2)根據公式Pi=C/ni且C=3二、測量中定權的常用方法2、三角高程的權用三角測量推算的高差觀測值，其精度隨邊長的增加而急劇下降，其兩點間高差觀測值的權的計算公式為Si為任一邊的水平距離；C為任意常數二、測量中定權的常用方法2、三角高程的權二、測量中定權的常用方法3、同精度觀測值算術平均值的權設同精度獨立觀測值L1,L2,…,Ln,它們分別是N1,N2,…,Nn次觀測值的平均值。設每次觀測中誤差是，則Li的中誤差為令,則由權的定義可得

二、測量中定權的常用方法3、同精度觀測值算術平均值的權三、協因數和協因數陣1、協因數由權的定義可知權與觀測值的方差成反比，設有觀測值Li和Lj，它們的方差分別為令稱Qii、Qjj為觀測值Li和Lj的協因數或權倒數；Qij為觀測值Li和Lj的互協因數。不難理解，有類似的作用，也可作為比較觀測值精度高低的一種指標。協因數與方差成正比；互協因數有正負之分，絕對值越大相關性越大。三、協因數和協因數陣1、協因數三、協因數和協因數陣2、協因數陣當有一組觀測值L1,L2,…,Ln構成觀測向量,每個觀測值均有自己的協因數，任意兩個觀測值之間存在互協因數，于是我們定義協因數陣(QLL)如下觀測值相互獨立三、協因數和協因數陣2、協因數陣觀測值相互獨立三、協因數和協因數陣3、權陣協因數可以表示觀測向量的相對精度，但平差過程中經常用其逆矩陣參與運算，定義協因數的逆矩陣為權陣，表示如下

對單個觀測值而言，權和協因數互為倒數，對觀測向量而言互為逆矩陣，注意權陣主對角線上的元素并不一定是對應觀測值的權，這要分兩種情