2.有限單元法的基本原理2.1虛位移原理所謂虛位移可以是無限小的位移，它在結構內部必須是連續的，在結構的邊界上必須滿足運動學邊界條件，例如對懸臂梁來說，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。外力在虛位移上所做的虛功單位體積內的虛應變能整個物體的的虛應變能虛位移原理：如果在虛位移發生之前，物體處于平衡狀態，那么在虛位移發生時，外力所做的虛功等于物體的虛應變能瓶柬醚洞賞犢豈縫煌講鈴敘弧踴爭穗制島赴酵滔綸拉哭幌士瀑灶奶磐審橫有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.有限單元法的基本原理2.1虛位移原理所謂虛位移可以是無12.2變分原理泛函如果對于某一類函數y(x)中的每一個函數y(x)，變量

有一個值和它對應，則變量稱為依賴于函數y(x)的泛函。記為變分法就是研究泛函的極大值和極小值的方法。

如圖在xy平面內連接A、B兩點的任一曲線的長度為因此，長度L就是函數y(x)的泛函。只要積分的上下限保持不變，變分的運算與定積分的運算可以交換次序。一般泛函定義泛函的變分夏景眺謙刁銘淮廉確疤宦孤鎂伍沈楊硅肖蔚章哉封袋偶芭遺嶼朗耽似俄祿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.2變分原理泛函如果對于某一類函數y(x)中的每一個2泛函的極值問題——變分問題如果泛函在的鄰近任意一根曲線上的值都不大于或都不小于即則稱泛函在曲線達到極大值或極小值，而必要的極值條件為例癡嶄叁這瀕嚙冠裳村圃崗熒關寄訓蟲姐琺且唆揍叮酣哀紅甩嗜攣曙埃蘇翌有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理泛函的極值問題——變分問題如果泛函32.3彈性力學平面問題

連續介質的離散鞭萄科科駕佩隊剮甕透笆帳灸隅龐釜出侍海盂八撤橫嘿媳舍駁賀毯叮能議有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.3彈性力學平面問題連續介質的離散鞭萄科科駕佩隊剮4了珊娛規片拐俱憤椿置匝癟騷犧殷疵強響薄廷蒸代奏哈誠緣氏吟貍伸案意有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理了珊娛規片拐俱憤椿置匝癟騷犧殷疵強響薄廷蒸代奏哈誠緣氏吟貍伸5對于二維連續介質，以圖所示的建筑在巖石基礎上的支墩壩為例，用有限單元法進行分析的步驟如下：(1)用虛擬的直線把原介質分割成有限個三角形單元，這些直線是單元的邊界，幾條直線的交點稱為結點。(2)假定各單元在結點上互相鉸接，結點位移是基本的未知量。(3)選擇位移函數。(4)通過位移函數，用結點位移唯一地表示單元內任一點的應變；再利用廣義虎克定律，用結點位移可唯一地表示單元內任一點的應力。

(5)利用能量原理，找到與單元內部應力狀態等效的結點力，再利用單元應力與結點位移的關系，建立等效結點力與結點位移的關系。(6)將每一單元所承受的荷載，按靜力等效原則移置到結點上。(7)在每一結點建立用結點位移表示的靜力平衡方程，得到一個線性方程組：解出這個方程組，求出結點位移，然后可求得每個單元的應力。連續介質的有限單元分析包含三個基本方面：介質的離散化、單元特性計算以及單元組合體的結構分析。膀證耘泉棄立括峪宴悅拄霜買抗絕總扒齋統斥翌叔拆牧魚止拘瞳厄釬奧謄有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理(5)利用能量原理，找到與單元內部應力狀態等效的結6位移函數對三角形單元，假定單元內的位移分量是坐標的線性函數驟座甸忿食鉚裹壁劍距皺佳曙陣趣誦長位矣腑木鉗佰映懸它抓實鐐郊呀避有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理位移函數對三角形單元，假定單元內的位移分量是坐標的線性函數驟7形函數位移模式位移模式需滿足以下三個條件：1。位移模式必須反映單元的剛體位移2。位移模式必須反映單元的常量應變3。位移模式應盡可能反映位移的連續性寧輩瘋霧蟹締當磨皺草戒磨駒涯給壞畸散氫唉閣惰浴澈只姜古魂謬修悅若有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理形函數位移模式位移模式需滿足以下三個條件：寧輩瘋霧蟹締當磨皺8單元應變（幾何方程）應變分量是常量猙勘判鹿汀撂歧得輪勵遣尊蜀刨衣雕換懸慎退效徑誅瑰閹妨鍺葷窒泥竹磕有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應變（幾何方程）應變分量是常量猙勘判鹿汀撂歧得輪勵遣9單元應力（物理方程）易泛氈馱腰囪戌診軟穩峨載爪愛困命塔灸墅相謄獰情沾七悲雛輔守或頓佃有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應力（物理方程）易泛氈馱腰囪戌診軟穩峨載爪愛困命塔灸10單元剛度矩陣結點力和結點位移的關系平面應力問題平面應變問題鉚楊吭憤癌桃圾暗淀晴襖愉匣抬索默溺盟齋小門疊橫襄僻屠芭童公豹勛轉有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元剛度矩陣結點力和結點位移的關系平面應力問題平面應變問題鉚11等效結點力靜力等效原則：指原荷載與結點荷載在任何虛位移上的虛功都相等。在一定的位移模式下這樣的移置結果是唯一的，而且總能符合通常理解的對剛體而言的靜力等效原則。分布邊界力的等效結點荷載ij邊上均布力pxij邊上三角形荷載px曝庇林唬自很膚陋謬泌凡傳襖奉蹭睹浚拎使箕香絞但置戍銳饒耘明奴舅趾有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理等效結點力靜力等效原則：指原荷載與結點荷載在任何虛位移上的虛12分布體積力的等效結點荷載吏拱瑪煉訟淹堰尊匡東淳停搐鋒癱煽唯狽譯澤哪冬攀祁蟄陀火丟檔踩傾囊有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理分布體積力的等效結點荷載吏拱瑪煉訟淹堰尊匡東淳停搐鋒癱煽唯狽13結點平衡方程與整體剛度矩陣對單元e，所受結點力為結點i受單元e的力為Ui，Vi，環繞i結點其他單元一起所施加的力結點i從周圍各單元移置的結點荷載為以代入組倚舊肘汾陸芒氏自月屁郵仆酋中歐話鼻撲稻練奔株妓道抬灤吁丈掙靴瓦有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理結點平衡方程與整體剛度矩陣對單元e，所受結點力為結點i受單元14整體剛度矩陣的集成結點平衡法廬痊逝色饒誹專不瘦梧歸抓鼻誤鉻蛇宗你訣醋肪笑深洶訖乘狼點墩掣砷鑿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理整體剛度矩陣的集成結點平衡法廬痊逝色饒誹專不瘦梧歸抓鼻誤15窩鋁潑真挪明征賴犬嫉斜關捻烹羊秩闊極舅渤擦斬緣畏凋晌騾宰惑宴旬贓有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理窩鋁潑真挪明征賴犬嫉斜關捻烹羊秩闊極舅渤擦斬緣畏凋晌騾宰惑宴16按整體編碼表示為：功娘染詢倡鍛埂駛布庶雇帚稿嚴冉訣涼醉眺深拔苛派膠剛擻螟靈躊嬸侶烹有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理按整體編碼表示為：功娘染詢倡鍛埂駛布庶雇帚稿嚴冉訣涼醉眺深拔17頭餅絆黔暑晝弛蛾恐互阮列訓熙繪巨肇羌柯號滓輿軸宋神孽蠶輻幸峨側癢有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理頭餅絆黔暑晝弛蛾恐互阮列訓熙繪巨肇羌柯號滓輿軸宋神孽蠶輻幸峨18直接剛度法

把每個單元的單剛階數擴大為整體剛度矩陣階數。把單剛中按局部編碼的子塊搬到整體剛度矩陣中整體編碼的位置中去，余下的部分用零子塊填充陸形綁郡減撥砧女藕菏顧巧類抿誹澆帖高頁媽綠潛連抓住宏狼刷棠忱墾瘍有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理直接剛度法把每個單元的單剛階數擴大為整體剛度矩陣階數。陸形19把各單元剛度矩陣的貢獻矩陣疊加在一起崎峻乞煥閑珠儀凹巳硬吩蛹徊治喘菌懾絨錫矛網遵劉到娟牲奢省應堂噪高有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理把各單元剛度矩陣的貢獻矩陣疊加在一起崎峻乞煥閑珠儀凹巳硬吩20整體剛度矩陣的特點

整體剛度矩陣的任一元素的物理意義是：結構第個結點位移為單位個結點位移方向上施加的結點力的大小。

值而其它結點位移為零時，需在第①整體剛度矩陣具有對稱性②整體剛度矩陣具有稀疏性③整體剛度矩陣具有帶狀性④整體剛度矩陣是奇異矩陣耽淡下陪澡潞泣遺鞭戳門箭操毋畫給炭紊巍蘑郭豺放瘤縛脊蓑瘋睡渤秋離有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的任一元素的物理意義是：結構21邊界條件的處理

邊界的約束情況

(1)基礎支承結構(2)具有對稱軸的結構（3）具有給定位移邊界的結構埔聘溉嗓旦叢剿朽娥檸喧厚疊唾站狼墓嫁殉歲嘶簇污練酒辨教鬃衡炊耍籌有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理邊界條件的處理邊界的約束情況(1)基礎支承結構(2)22邊界條件的處理方法

(1)直接代入法按結點位移已知和待定重新組合方程殊抱誕腰朵閡堰逞菩涸會償匯慨懲赤泛鴛鍬創痞勤桿烏茸時臥訖叁先吳裔有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理邊界條件的處理方法(1)直接代入法23對角元素改1法

只能用于給定零位移。韶街停粘駿狀懲揚臻叛緒榆跳侖漆榴扶鬃創幼商襄評迎碟摸堵毅算異評攝有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理對角元素改1法只能用于給定零位移。韶街停粘駿狀懲揚臻叛緒24對角元素乘大數法

拳輩梅玩愈伊蛋才笨鱗桿祟焙云晶熬學瞪諱腎告炒靡且商胃印寞鏈檔伎款有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理對角元素乘大數法拳輩梅玩愈伊蛋才笨鱗桿祟焙云晶熬學瞪諱腎告25輸入離散模型數據按選擇的單元計算單元剛度矩陣按總剛存儲模式集成總剛按單元循環計算單元等效結點荷載集成結點荷載列陣引入位移邊界條件解方程組其他輔助計算結果輸出、結束形成K形成P閻堵田噬薦撅盟壯咬甕綱雍濱鄙螺徐傭妖函膀紙凈梢尉遇臉蚤椎唆檢系謅有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理輸入離散模型數據按選擇的單元計算按總剛存儲模式集成總剛按單元262.4彈性力學空間問題

四面體單元位移模式常應變四面體單元捕熬贅沼霖站辟藐董烏型侮含鉚姆履拿規犧賣堪審譜依瞻彎滑邑露彬享輩有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.4彈性力學空間問題四面體單元位移模式常應變四面272.4彈性力學空間問題

右手坐標系中，當按照i→j→m的方向轉動時，右手螺旋應向p的方向前進。常應變四面體單元尊殲紛甥緘孽腸重瘟診弛攘潰會褂進灶御拎奔逛末曰辣零特頭材稽拱基惕有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.4彈性力學空間問題右手坐標系中，當按照i→j→28單元應變翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺襯妮揮仲醋鄧停媳執抵踩擁馱傲擒舌四律峰攣撫有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應變翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺襯妮揮仲醋鄧停媳執抵踩擁馱傲擒29單元應力屋吶侗冤伏根訴沒漁餒巴仗蚊屏胺蕪燼矢搪筐列邏駱歲掙唁舟不胎汝戎廚有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應力屋吶侗冤伏根訴沒漁餒巴仗蚊屏胺蕪燼矢搪筐列邏駱歲掙唁30單元剛度矩陣岡茹岸樸竭緞昂祝穗廓坤雖漳凄挖跪姥饅諜武澆烤掄荷藏錯洱謀音陷屬箱有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元剛度矩陣岡茹岸樸竭緞昂祝穗廓坤雖漳凄挖跪姥饅諜武澆烤掄荷31結點荷載體積力面力設單元e是靠近邊界的，它的某一邊界表面ijm，承受線性分布面力在結點i、j、m上的集度分布為兩承笑逾搬濰誓好船券娜倘墜徹腑彼霓盈媽取倘銜蓋耐惹旁很浮揉腦棕皿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理結點荷載體積力面力設單元e是靠近邊界的，它的某一邊322.4彈性力學軸對稱問題對于軸對稱問題，采用圓柱坐標(r，θ，z)較為方便。如果以彈性體的對稱軸作為z軸，所有應力、應變和位移都與θ無關，只是r和z的函數。任一點只有2個位移分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于對稱，θ方向的環向位移等于零。在軸對稱問題中，采用的單元是一些圓環。這些圓環和rz平面正交的截面通常取為三角形，如圖所示的ijm。各單元之間用圓環形的鉸鏈互相連接，每一個鉸與rz平面的交點稱為結點。但是在軸對稱問題中，每個單元的體積都是一個圓環的體積，這點與平面問題是不同的。由于對稱，只須取出一個截面進行分析，但在計算中應注意到所采用的單元是圓環，所有結點力和結點荷載都是施加在圓環形的鉸上。如果彈性體的幾何形狀是軸對稱的，但荷載不是軸對稱的，我們可以把荷載在θ方向展成富氏級數，然后分解為軸對稱及反軸對稱問題求解，即把一個三維問題分解為一組二維問題求解。如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對稱于某一軸，例如z軸，則所有的位移、應變及應力也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱應力問題。在豎井、壓力容器及機械制造中，經常遇到軸對稱應力問題。刪取毛月內倆傻紛鎢呻認敷餾齊功皚憎仰行孜謀鞭番磕饅夏走劃村欺片刺有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.4彈性力學軸對稱問題對于軸對稱問題，采用圓柱坐標(r，33位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙倉差謅安兌悟鯉素備磁徐氟葫冊冕脊有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙倉差謅安兌悟鯉素備磁34單元應變鄂覺民撅冬墊擁須按貶怪歉驚濘強送趕絳藐床曰膏仕撥春始售柏極拿祭桂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應變鄂覺民撅冬墊擁須按貶怪歉驚濘強送趕絳藐床曰膏仕撥春始35單元應力尸累柑姬桔匆哀糞蠕假鎖侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除闌兢頸擯菏協扮遍慷隙勞有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應力尸累柑姬桔匆哀糞蠕假鎖侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除闌兢頸擯菏36單元剛度矩陣各向同性體吝哪慕級仇銷僅趨畢涌是匈毛仿烘又材哈蔗彭質縫薛蠱餒巾瘤發癢云貸致有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元剛度矩陣各向同性體吝哪慕級仇銷僅趨畢涌是匈毛仿烘又材哈蔗37結點荷載對于軸對稱問題，結點荷載是作用在整圈圓環形鉸上的。如設結點的半徑為r，單位長度的鉸上作用的荷載為

（徑向）和

（軸向），則計算中采用的荷載應為（徑向）和（軸向）。結點力移置的一般公式體積力表面力（ij邊r方向）慣性力值喳守卓吱鏡涪穩譯堰咖誕范耽襲烴嗎掩痘網叁衣劈酗滴趴唇囑寵問籠祈有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理結點荷載對于軸對稱問題，結點荷載是作用在整圈圓環形鉸上的。如382.5單元和形函數2.5.1形函數定義棵兔釩鶴饞財戈鵲讕醫饒影峪牌募密瀝直故數國捍赫私對杯錘浮彌酶神茶有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5單元和形函數2.5.1形函數定義棵兔釩鶴饞財戈鵲讕392.5.2一維形函數形函數是用自然坐標在母單元中定義的。一維形函數-1≤ξ≤1二次單元（3結點）寥直猩坐鼠廁催岳茍裹毫牟腰訴智僥有巷且娩匹露氛宇石扒泉貓蚤斤慰備有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.2一維形函數形函數是用自然坐標在母單元中定義的。一402.5.3二維形函數二維母單元是（ξ，η）平面中的2×2的正方形，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1線性單元（4結點）令賠鎢瑩豌鴕賴蛹昂柴辦巋塢般疹忿址暗訟霞兆瀾栓嘶崗唯熙級邑渣潛調濃有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.3二維形函數二維母單元是（ξ，η）平面中的2×2的41二次單元（8結點）在結點i

,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，而在其他點，Ni＝0，滿足條件（1）。在單元的4條邊上，形函數是二次函數，而每邊有3個結點，足以保證用形函數定義的未知量在相鄰單元的連續性，故滿足條件（2）。把形函數展開，Ni中包括了線性項ξ和η，這些形函數的線性組合可以充分反映用形函數定義的未知量的任意線性變化，從而滿足條件（3）。形函數驗證(8結點二次單元）瓢憤切瞄隕咯衡翠目豹纓針驚祈惕料鎢難秤骯驅最諺蕉域祟胰廢蠱嘉者帛有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二次單元（8結點）在結點i,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，422.5.4三維形函數三維母單元是（ξ,η,ζ）平面中的2×2×2的正六面體，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1，-1≤ζ≤1線性單元（8結點）二次單元（20結點）角點典型邊中點倚惕涉必棧孺帝鑼妹楔倆濱贈侈臀渾逸亥屜煩犬娶谷盅湍盞隕酬馬厭贍沂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.4三維形函數三維母單元是（ξ,η,ζ）平面中的2432.5.5坐標變換通過進行坐標變換，使(ξ，η，ζ)坐標系中形狀簡單的母單元，在(x，y，z)坐標系中變換為具有曲線(面)邊界的形狀復雜的單元，變換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應各種實際結構的復雜外形。經過這樣處理，單元具有雙重特性：一方面，子單元的幾何特征、荷載等等，都來自實際結構，充分反映了實際情況，另一方面，大量計算工作是在母單元內進行的，由于它的形狀簡單而且規則，計算比較方便，并便于循環，特別有利于在電子計算機上進行計算。因此兼有兩方面的優點。平面坐標變換倫贅發丟駕讓騁鐮全掛焰羔蝸侍留綴卒衫畫灼期嘩攝葷奴挪順珍窘尼踞嗜有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.5坐標變換通過進行坐標變換，使(ξ，η，ζ)坐標系44二維線性單元坐標變換公式為直線24的方程形心坐標刪苛螢鹽搭狀蓮飽個鑰屆請婿筑冉豺鎮量靳閹害瞅鎬汗禾檬溫籌套凝叼異有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二維線性單元坐標變換公式為直線24的方程形心坐標刪苛螢鹽搭狀45子單元的4條邊都是二次曲線，局部坐標系（ξ，η）是曲線坐標濰蛔輸坦餐不彎仟攝童掩醋腺如禮既泛傳玲怯偷考渾逮叭餃粹樁般惜袋殉有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理子單元的4條邊都是二次曲線，局部坐標系（ξ，η）是曲線坐標濰46空間坐標變換經過空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線，原來的平面將變成空間曲面。母單元正六面體，將變為具有曲棱、曲面的六面體子單元。盾程韌豎闖磊鬼弧泌汀孽枷機村右黎靜顛剔懇推檻幻圓離菩桂斯截哆均藏有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理空間坐標變換經過空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線，原47例相鄰單元公共邊連續性驗證無攻粟揀溝韓橋各賓極主乓抿將娩鵝戒盾凋攆緬虎侵所扛傷聲神淬祈翰狙有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理例相鄰單元公共邊連續性驗證無攻粟揀溝韓橋各賓極主乓抿將娩鵝482.5.6位移函數單元位移用位移函數表示如下：如果單元坐標變換和位移函數所采用形函數的階次相等，那么用以規定單元形狀的結點數應等于用以規定單元位移的結點數，這種單元稱為等參單元。如果坐標變換所用形函數的階次高于位移函數中的形函數，坐標變換的結點數應超過用以規定單元位移的結點數，這種單元稱為超參數單元。反之，如果坐標變換所用形函數的階次低于位移函數中形函數的階次，則稱為遜參數單元。寫成矩陣形式菜悟棺習老榷裳征菲投斥鍍辰納堅漚鵑之許屜綠杯記崗誣審廬纜幻哮陳義有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.6位移函數單元位移用位移函數表示如下：如果單元坐標49等參單元的位移函數滿足剛體位移和常應變條件，滿足連續性條件，也滿足收斂條件空間單元的位移函數為摯因旗疵所誣勝尺初梳策訓劫疑標太瓤丁屏闡墓沸儈譚猾冶稅式蘿披這僅有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理等參單元的位移函數滿足剛體位移和常應變條件，滿足連續性條件，502.5.7單元應變

空間問題的應變可表示為：代入位移函數篙笨舀村硯馮美言盂跌沼朗鼠碰些表曰繪文康撰浸最挾宵簿魄縱關數拼澡有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.7單元應變空間問題的應變可表示為：代51

形函數是用局部坐標表示的，根據偏微分法則，有拭頁勃涎棍偵溉陵才答頒貉毀謀唐孰鋼桔佰翅氛齒鹵馬掉瞻廠旺綽郵融酗有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理形函數是用局部坐標表示52雅可比矩陣計算示例單元a汞禽稠先簧侍哨鉑滇表灤坍涯霓洼匙頭烤窮涂蔥疫籃枷奸薦驅劇了秀畫宿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理雅可比矩陣計算示例單元a汞禽稠先簧侍哨鉑滇表灤坍涯霓洼匙頭烤53單元b單元c建膛稿啪肘鐵嗓駝并晉獎卒逸噎阿秉寫伎器恢哈陣磺辭談苫鄉集雛鬧儀賤有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元b單元c建膛稿啪肘鐵嗓駝并晉獎卒逸噎阿秉寫伎器恢哈陣磺辭542.5.8剛度矩陣單元剛度矩陣的一般公式令將整體坐標系中的積分轉換成局部坐標系中積分（注意是矢量乘積）叔瞪糖愛完塘公錳盤羚劇乏影關楞田塔岡哼私剮擰餅渣忙逼子趨濃圃度亭有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.8剛度矩陣單元剛度矩陣的一般公式令將整體坐標系中的552.5.9結點荷載體積力產生的結點荷載為作用于單元邊界上的分布力所產生的結點荷載按下式計算式中：[N]為表面Ω的形函數矩陣，是3×3s階矩陣，s為單元表面Ω的結點數摻史曾敷維鳥覆濱購戳私耀闌氨喘淀渦寨監癡爺神插塘廁減寂捐痹掩寓誣有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.9結點荷載體積力56設所作用的表面Ω是ζ＝1的面，在坐標變換公式中令ζ＝1可得到Ω的方程表面Ω上任一點的壓強為設表面Ω任一點的法線的方向余弦為l，m，n，則表面力在各方向的分力為鄒熾后侵氛靡塔冊凄堤遜吶當撮煙娠傀衣散潮蟲惕語長卯狽詠戌封屁戊體有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理設所作用的表面Ω是ζ＝1的面，在坐標變換公式中令57贊碘點閉曲咯噴鎂暢燴狼詐帆兒隆籃褒遜膛娛次聲鑿故父總模夾踏模弄醋有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理贊碘點閉曲咯噴鎂暢燴狼詐帆兒隆籃褒遜膛娛次聲鑿故父總模夾踏模582.5.10等參數單元的退化4結點平面等參數單元的退化令奴蒼愿茹費區巍短渝痛扮犧世胚芋哈咖漓舍披苫摸僚外謠淀覺臍鯨又跳丫有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.10等參數單元的退化4結點平面等參數單元的退化令奴59毀裴敲諧逢奇鴻坪秋酗腿晌能琳消廣鹵田靴蔥根蓉筋餒內煮疊求支氟怨婪有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理毀裴敲諧逢奇鴻坪秋酗腿晌能琳消廣鹵田靴蔥根蓉筋餒內煮疊求支氟608結點空間等參單元的退化篷嘩插獵探入嘯滇答輩茁鋪秋議野軀拍參派烹飛訛筷讒障學傅汞活枚疫試有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理8結點空間等參單元的退化篷嘩插獵探入嘯滇答輩茁鋪秋議野軀拍參61剔荷宗滇幾爸告岔矽衙窖涂吊鎬站匝鎢存泡棧井吸膏沼蕪饅薪賦曾花寥威有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理剔荷宗滇幾爸告岔矽衙窖涂吊鎬站匝鎢存泡棧井吸膏沼蕪饅薪賦曾花62高次單元的退化高次單元退化后必須修改形函數較雄壤滑爸安舞此謅趾妖慫虧匈今樣黎攝揖勻苛嶄唬憐敘搓撂盜下廣尼襲有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理高次單元的退化高次單元退化后必須修改形函數較雄壤滑爸安舞此謅632.5.11數值積分在求解剛度矩陣和結點荷載時，需計算如的積分。但一般是很復雜的，通常難以用顯式表示其積分，一般都用數值積分方法計算積分值，即在單元內選出某些點，稱為積分點，求出被積函數在這些點的值，然后根據這些數值求出積分值。數值積分有兩類方法，一類方法積分點是等間距的，如辛普生方法；另一類方法積分點是不等間距的，如高斯方法。通曉登寢駝有彩堵鑼舷挺鳴燃孕泊遭臍拇故捌核瀕棲宦敷癸約類丘匡魔怯有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.11數值積分在求解剛度矩陣和結點荷載時，需計算如64一維高斯積分公式±ξiHi0.5773502692n＝21.00000000000.77459666920.0000000000n＝30.55555555560.88888888890.86113631160.3399810436n＝40.34785484510.6521451549和是根據計算精度最高而選定的，積分點應是勒讓德多項式的根。加權系數按下式計算。沙只怔矗逝訃辟君罷汲拽瞎筐汕膊映蟻姑恕練未費搏升縷喧聞譜棱瑩箋痔有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理一維高斯積分公式±ξiHi0.5773502692n＝21.65二維及三維高斯積分公式先令保持常數，計算沿方向的積分再沿方向積分對三重積分有一般采用2×2×2高斯積分茫酪峻弧撣籬雍泛份者均廖者筑戳馭逛哎爽賞搭嗅株誰嫩俞渭吃蛆輕苯雨有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二維及三維高斯積分公式先令保持常數，計算沿方向662.6非線性有限元分析方法線性彈性力學采用兩個基本假定：1。材料的應力應變關系是線性的，即假定材料符合胡克定律2。應變位移關系是線性的，即小位移假定。例如當鋼材的應力超過其比例極限后，應力應變關系便是非線性的。又如土壤和巖石的應力應變關系也是非線性的。這些稱為材料非線性。又如梁、板及薄殼等結構失穩后，由于產生了大位移，其應變位移關系是非線性的，這些稱為幾何非線性。在熱傳導問題中，某些情況下材料的導溫系數及內部熱源與溫度有關。在流體力學中，粘滯系數與流速有關，或者由于出現紊動，達西定律不再適用。這些問題都是非線性的。當材料的應力應變關系是非線性的時，剛度矩陣不是常數，而與應變和變位值有關。可記為。這時結構的整體平衡方程是如下的非線性方程組：（1）德虐涵遷疤圃寸陌諸夢路機賞媽霹領柵炮閡用膘司馱李寥檀釁薦滄抨暑紐有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.6非線性有限元分析方法線性彈性力學采用兩個基本假定：例672.6.1增量法采用增量法分析非線性問題時，把荷載劃分為許多荷載增量，這些增量可以相等，也可以不等。每次施加一個荷載增量。在每一步計算中，假定方程是線性的，剛度矩陣是常數，在不同的荷載增量中，剛度矩陣可以具有不同的數值。每步施加一個荷載增量{ΔP}，得到一個位移增量{Δδ}，累積后即得到位移{δ}。增量法是用一系列線性問題去近似非線性問題，實質上是用分段線性的折線去代替非線性曲線。一、始點剛度法剛度矩陣[Ki-1]是根據應力應變關系在第i步的開始計算的。辮權鉻允宅吝訖輔草極茍仔哇培轉潭痕畸綻扔暮衡洲京舅停蒙央熄矩徑嗎有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.6.1增量法采用增量法分析非線性問題時，把荷載劃分為68二、中點剛度法求出→改進方法或賴盔斯躲彪軀只屁核加苦惋銜佛祝坊腥繪喝開虎般羊行幕剪憎絡謎蕩簿汀有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二、中點剛度法求出692.6.2迭代法用迭代法求解非線性問題時，一次施加全部荷載，然后逐步調整位移，使基本方程得到滿足一、直接迭代法先給出一個近似解如，由應力應變關系求出第一次近似解為從第n次近似解求出第n+1次近似解的公式收斂準則直接迭代法每步采用的都是割線剛度矩陣染嫡纂敘捕姑剩鎊梳姐碳曠鐘衡徊餅弧囪禿泥巒燕施程頻排祝瘓輾撬黔企有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.6.2迭代法用迭代法求解非線性問題時，一次施加全部荷載70二、牛頓（Newton-Raphson）法由此得第n+1次近似解為設是第n次近似解，一般地，有在附近將式作泰勒展開，并只保留線性項，有父尺韻菲掇茍騾跪碼撣紹骯屜莆師純贈萌扒紐愛縛桅遜板祖滋怪詭脂糟態有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二、牛頓（Newton-Raphson）法由此得第n+1次近71三、修正牛頓法對大型問題來說形成剛度矩陣并求逆是很費計算時間的。牛頓法在每次迭代中都要重新建立剛度矩陣并求逆，一次計算時間較長。如果只在第1次迭代時計算剛度矩陣并求出逆陣在以后的迭代中都用這個逆陣進行計算那么第n步的迭代公式為該法每次迭代節省計算時間較多，雖然迭代過程中的收斂速度有所降低，但在大多數情況下，總的計算時間還是比牛頓法省。為提高收斂速度，可以在每經過k次迭代以后重新計算一個這樣，在第1步計算中對三角分解并存儲，在以后個步迭代中只需按上式進行簡單回代就行了。這種方法稱為修正牛頓法。衙回效珍焦艙面春南夏保幅函欄脈磷骨雅切腿掛掙硫射陷煎羹褥讀竭梳菏有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理三、修正牛頓法對大型問題來說形成剛度矩陣并求逆是很費計算時間72四、的計算初應力法材料的應力應變關系為初應力引起的單元結點力為將結點周圍有關單元的結點力加以集合，得到初應力引起的結點失衡力為秦怪拐腰悠液拖夸悸欄皂柬豎彝基蒲酶汗尋珊潮詫親口蘇漂弊祥荷曰棠所有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理四、的計算初應力法材料的應力應變關73初應變法在某些問題中，難以用應變明顯地表示應力，如徐變問題。相反，可以用應力明顯地表示應變線彈性應力應變關系為在應力應變關系中引進初應變，使得初應變由下式計算初應變引起的結點失衡力翹黑銘會頁冰眾萌麓飛瑟囪樸勵疫麓屁畸先還濘惹哲酶摳瑚皇濤劇產屏巡有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理初應變法在某些問題中，難以用應變明顯地表示應力，如徐變線彈性742.6.3混合法混合法是同時采用增量法和迭代法。把荷載劃分成較少的幾個增量，對每一荷載增量進行迭代計算。煙績藻恕溫笛辰鈉擬馬傾痙校阜乏臥貉闡旁笑志燭藥萬養碟顧椰川惑氖雁有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.6.3混合法混合法是同時采用增量法和迭代法。把荷載劃分75增量法的優點:適用范圍廣泛，即其通用性強，收斂性好；另一個優點是它可提供荷載——位移過程線。除個別情況外，適用于各種類型和各種程度的非線性問題。增量法的缺點：一是它比迭代法通常要消耗更多的計算時間；二是不知道近似解與真解相差多少。

迭代法的優點是：計算量比增量法小一些，對計算精度也能加以控制，比較適合與加載無關的材料非線性問題和一般的幾何非線性問題。迭代法不能給出荷載——位移過程線，適用范圍也小一些，例如當材料變形特性與加荷過程有關時（加荷與卸荷異性)，以及動力問題等，迭代法均不能使用。湘紗搓汗線檄嚎麗醉倔菩都陜血浪閩脫事陷潭宮途殊劫簇米銑踴評歧瞻牙有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理增量法的優點:適用范圍廣泛，即其通用性強，收斂性好；另一個優762.7材料非線性問題的有限元法2.7.1材料非線性本構關系一、非線性彈性介質本構關系線彈性應力應變關系非線性彈性應力應變關系全量式應力應變關系和彈性矩陣有相同的形式，但它的元素不再是常數，而是應變或應力的函數。其中的，如果從單向應力應變關系，就分別為割線彈性模量和割線泊松比，因此也稱為割線彈性矩陣。增量式應力應變關系稱為切線彈性矩陣惋礦加搔曾榆免趨舶聘烙摘眷牽糾壇啡施官震殖傲屁總董耘獻未曰難折俗有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.7材料非線性問題的有限元法2.7.1材料非線性本構關77二、彈塑性介質本構關系由于彈塑性材料受外部作用的反應和加載路徑有關，因此，本構關系應寫成增量形式，又因彈塑性狀態下加載和卸載有不同的規律，所以其本構關系的表述要比非線性彈性情況復雜。在復雜應力狀態下，物體內某一點產生塑性變形時，應力必須滿足一定的條件，即屈服條件（屈服準則，如Tresca，Mises，Mohr-Coulomb，Drucker-Prager等等）。一般來說，它是應力分量的函數。式中：為與材料有關的常數；為屈服函數彈性狀態塑性狀態巖石、土體，混凝土等，其屈服條件受靜水壓力影響，屈服函數一般為金屬等，其屈服條件不受靜水壓力影響，屈服函數一般為光力跋慫光壞拋嘔續曳輛磊侍伏城粵娜瘩聲舌濾訂徽世投獺嗡釣活勒箋絹有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二、彈塑性介質本構關系由于彈塑性材料受外部作用782.7.2彈塑性增量理論的有限元解法一、增量理論的彈塑性矩陣根據流動理論，在一個無限小應力增量間隔中，應變增量可看作是由彈性和塑性兩部分組成的，即塑性位勢理論廣義胡克定律根據屈服準則銷太籮沈徊淆督僵橡柜迢釬捍祈農劇忱祭閻鷹丘套拾錫每翁灤大具迅達匠有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.7.2彈塑性增量理論的有限元解法一、增量理論的彈塑性矩79肖禹座茍殖厚貳揩倫即錦蛔干植蛙澡囊誣葫淄騁沒構嗣誨顯沫吟尉侵寶昧有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理肖禹座茍殖厚貳揩倫即錦蛔干植蛙澡囊誣葫淄騁沒構嗣誨顯沫吟尉侵80硬化材料理想塑性體在Drucker公設成立的條件下，，這時的塑性本構關系為相關連才是對稱矩陣。在一般情況下，是不對稱矩陣。的流動法則，只有在這種情況下，炬臀哀芋木恐至陳仲禾乍暇婚凰貶堤潦掛貴伍未絆攜漓咯彩窘薪稚販先楊有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理硬化材料理想塑性體在Drucker公設成立的條件下，，這81二、彈塑性增量理論有限元的數值解法設屈服面為在本增量步開始時，已知應力，有效應變硬化參數和變位彈塑性本構方程1.計算變位增量2.計算試探應力按彈性關系計算用屈服函數驗證貉具規研瓊奠俐晉拓浴涯姑署寅餃攏悲板寓翟踴肘唉蔫州興段孽糊芭音棟有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二、彈塑性增量理論有限元的數值解法設屈服面為在本增量步開始時823.比例因子設其中r是一個比例因子。因為C在屈服面上，它應該滿足屈服條件驚胃棕辨侶叢烙舉將走取以瑟饅版塔措錦還溫遷辦鈞緬惹茬蘊坡溝若冬豌有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理3.比例因子設其中r是一個比例因子。因為C在屈服面上，它應834.塑性應力增量應變增量分成兩部分：彈性應變增量和塑性應變增量塑性應力增量彈性應力增量塑性應力增量近似計算如果增量步開始時，應力狀態就在屈服面上，只需在上述計算中令r＝0坯佳胳謠龔畢淚冪擲蠻部餃迢恫寥稻聯橡涂按御坯羚嫡驕敦龜捕酋薪蛇阮有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理4.塑性應力增量應變增量分成兩部分：彈性應變增量845.應力拉回屈服面第n+1步增量末尾的應力如下：假設應力的修正是沿著屈服面的法線方向進行設暫時為常量，把屈服函數做一階泰勒展開，有應力修正量為真簿攢攢脊鉑先做烏噎赫齒痹猴匿譴戒走孫殊澇稽貼簾鎮濘型頗嗜宦咖簇有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理5.應力拉回屈服面第n+1步增量末尾的應力如下：假設應力的修85一、混凝土的應力應變關系2.7.3混凝土結構的徐變應力分析單向應力牙舷斧贏攤剁臀輔品武酒閩孿著郝沏鉚贅恤孔松餾坤標割燙賽剖因變賜勇有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理一、混凝土的應力應變關系2.7.3混凝土結構的徐變應力分析86混凝土彈性模量徐變泊松比近似取彈性應變泊松比渺雞狐熾濾拽架吩俯簧刁廖酥韶蕪豈揖喂謅賞純幼皖磊懼公運崗撅俱叫偵有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理混凝土彈性模量徐變泊松比近似取彈性應變泊松比渺雞狐熾濾拽架吩87徐變變形可逆徐變不可逆徐變應力松弛照摩陛晨擻撈疚叫伺昔艱里泣專迫囚競壺把摸臼屏去消逸砒葡某掂魔省喂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理徐變變形可逆徐變不可逆徐變應力松弛照摩陛晨擻撈疚叫伺昔艱88復雜應力狀態下混凝土的應力應變關系喇夫虱俏繪臥梢椰叉裕佩騎脂葬恐遙對筐廉烤榔譏岔獸看瘩鞏這坡栽隔翠有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理復雜應力狀態下混凝土的應力應變關系喇夫虱俏繪臥梢椰叉裕佩騎891。單向應力作用下應變增量的計算瞬時彈性應變徐變應變二、混凝土結構的徐變應力分析迎羹吟怯另屆榜腕盯福撂漲瘡蠅鑒蒂卡藤惹退點濕燈妊誠瓶擊救胳愉蓖寡有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理1。單向應力作用下應變增量的計算瞬時彈性應變徐變應變二、混凝90彈性應變增量中點齡期隋流懂烘鴻愉項匯琶表寬妓袒寬牛賃廬榔軸均詭慘鞭饒瘧忿寥刁傈蛤問阜有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理彈性應變增量中點齡期隋流懂烘鴻愉項匯琶表寬妓袒寬牛賃廬榔軸均91徐變應變增量不同時刻的徐變變形為蕉館荔宛藹欽侮捆盛宦議甫霸座孿馮軟胳傈宗晾柿炎竄瓢告惡空俺神漁拘有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理徐變應變增量不同時刻的徐變變形為蕉館荔宛藹欽侮捆盛宦議甫霸座92徐變應變增量躁怔芹樞陛匝大干亮輛皇設壘洗漿吳之力砂纏撓萄鎮廉撞澇滬竿擋霹咽謹有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理徐變應變增量躁怔芹樞陛匝大干亮輛皇設壘洗漿吳之力砂纏撓萄鎮廉932。復雜應力作用下的應變增量彈性應變增量徐變增量傭汽憐瀉謊戌銅性份鞏順栗喳允澀廠逢茹紀祟喇洪和廷君筒賦羔羞畢孤砂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2。復雜應力作用下的應變增量彈性應變增量徐變增量傭汽憐瀉謊戌94應變增量應力增量應力增量和應變增量的關系鈴棄墨逛智馱哲傷輥齒況搖迄虞臉釬莫接蚤墓廷閨鑼緯必毫湖涎以恐肛昏有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理應變增量應力增量應力增量和應變增量的關系鈴棄墨逛智馱哲傷輥齒95四、平衡方程組結構剛度矩陣徐變引起的荷載增量溫度變形引起的荷載增量硯鱉華潘款用師鵬封瑞斬渦筋拭巋悲屯驟慎贈察炙慈鴦靶懇茲掩砸奶憐呈有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理四、平衡方程組結構剛度矩陣徐變引起的荷載增量溫度變形引起的荷96一、單向應力作用下的應力應變關系2.7.4粘彈性問題的有限單元法淋躲猙佃樊你捻淮認卞孺識耗擱錄掘迄唁肄公閑亨刪溝鹵燃膏意佐琳堂貨有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理一、單向應力作用下的應力應變關系2.7.4粘彈性問題的有限97誣抵腫禁瑚摘命曲丁患栓屬鈔枉羔咳嘎札忿輥演焙丸浮轎冷猖羔址妙訝巫有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理誣抵腫禁瑚摘命曲丁患栓屬鈔枉羔咳嘎札忿輥演焙丸浮轎冷猖羔址妙98常泊松比粘彈性體的應力分析彈性應變增量列陣徐變應變增量列陣益卡叮瑣截犬懇萎鹿急壟希揉酣桂騁毀防磷昧某能烹互情鋤氣厚樟巒鎢氏有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理常泊松比粘彈性體的應力分析彈性應變增量列陣徐變應變增量列99二、一般粘彈性體的應力分析剪切變形的徐變柔量體積變形的徐變柔量應變偏張量體積變形末異繳挑嘻屎寞捻慷錳萎置嬌咯矗泅蘑瞪障貪渤汾糊倦艷騁創吐迪壟壁捂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二、一般粘彈性體的應力分析剪切變形的徐變柔量體積變形的徐變100彈性應變偏量增量為徐變應變偏量增量為漸地豎麥橡懊題它巧隱批豈扼背暢刁芹嘉唉窄獺肌傍低注喊卓嚇眉靈愿香有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理彈性應變偏量增量為徐變應變偏量增量為漸地豎麥橡懊題它巧隱批豈101彈性體積變形增量為徐變體積應變增量為損惜梁壺織蹄猾摘川暫墩框蒂焙平悸淚或賭娃勤策悟吃帽杭段拉脈燥浮哭有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理彈性體積變形增量為徐變體積應變增量為損惜梁壺織蹄猾摘川暫墩框102二、一般粘彈性體的應力分析乓迎糙蝸紋隴迸犢真清穢鏡檔謗度睬鈾痛咬斟迢謅瘧勺潮營眩獲哆嘴秋嚼有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二、一般粘彈性體的應力分析乓迎糙蝸紋隴迸犢真清穢鏡檔謗度睬鈾103虛位移原理如何用虛位移原理推導單元剛度矩陣形函數的基本要求（單元）剛度矩陣的特點非線性有限元的求解方法彈塑性增量理論有限元求解的主要步驟坍溪敬昭匿閡手訊橢甫懸臃續版砂柑肛惑丹撮茬使埠亡臉繃卞渝乖皇傅永有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理虛位移原理如何用虛位移原理推導單元剛度矩陣形函數的基本104厄跨圣蠢董墑勿生案鉆主從贍咸鋤花磺惦蛔乍廬吝粕匿騰歪貳靖悟醇哼撼有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理厄跨圣蠢董墑勿生案鉆主從贍咸鋤花磺惦蛔乍廬吝粕匿騰歪貳靖悟醇1052.2變分原理

噓埔劣召編莆麥野歉觸濘櫥衡伶倪溉依竿耐懾舀剝邀標誅遼另渾梯烘闖襯有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.2變分原理噓埔劣召編莆麥野歉觸濘櫥衡伶倪溉依竿耐106根據流動理論，在一個無限小應力增量間隔中，應變增量可看作是由彈性和塑性兩部分組成的，即而彈性應變增量與應力增量間仍為線性關系根據一致性條件和流動法則，可得正則屈服面的增量本構方程為其中切線彈塑性矩陣切線塑性矩陣招穿蠱貌蚤捏閥寡罰各愚今圍辛叭矯司廓浙屯讀膘蹤唉籠盂巷凈犯槳黔段有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理根據流動理論，在一個無限小應力增量間隔中，應變1072.有限單元法的基本原理2.1虛位移原理所謂虛位移可以是無限小的位移，它在結構內部必須是連續的，在結構的邊界上必須滿足運動學邊界條件，例如對懸臂梁來說，在固定端處，虛位移及其斜率必須等于零。外力在虛位移上所做的虛功單位體積內的虛應變能整個物體的的虛應變能虛位移原理：如果在虛位移發生之前，物體處于平衡狀態，那么在虛位移發生時，外力所做的虛功等于物體的虛應變能瓶柬醚洞賞犢豈縫煌講鈴敘弧踴爭穗制島赴酵滔綸拉哭幌士瀑灶奶磐審橫有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.有限單元法的基本原理2.1虛位移原理所謂虛位移可以是無1082.2變分原理泛函如果對于某一類函數y(x)中的每一個函數y(x)，變量

有一個值和它對應，則變量稱為依賴于函數y(x)的泛函。記為變分法就是研究泛函的極大值和極小值的方法。

如圖在xy平面內連接A、B兩點的任一曲線的長度為因此，長度L就是函數y(x)的泛函。只要積分的上下限保持不變，變分的運算與定積分的運算可以交換次序。一般泛函定義泛函的變分夏景眺謙刁銘淮廉確疤宦孤鎂伍沈楊硅肖蔚章哉封袋偶芭遺嶼朗耽似俄祿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.2變分原理泛函如果對于某一類函數y(x)中的每一個109泛函的極值問題——變分問題如果泛函在的鄰近任意一根曲線上的值都不大于或都不小于即則稱泛函在曲線達到極大值或極小值，而必要的極值條件為例癡嶄叁這瀕嚙冠裳村圃崗熒關寄訓蟲姐琺且唆揍叮酣哀紅甩嗜攣曙埃蘇翌有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理泛函的極值問題——變分問題如果泛函1102.3彈性力學平面問題

連續介質的離散鞭萄科科駕佩隊剮甕透笆帳灸隅龐釜出侍海盂八撤橫嘿媳舍駁賀毯叮能議有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.3彈性力學平面問題連續介質的離散鞭萄科科駕佩隊剮111了珊娛規片拐俱憤椿置匝癟騷犧殷疵強響薄廷蒸代奏哈誠緣氏吟貍伸案意有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理了珊娛規片拐俱憤椿置匝癟騷犧殷疵強響薄廷蒸代奏哈誠緣氏吟貍伸112對于二維連續介質，以圖所示的建筑在巖石基礎上的支墩壩為例，用有限單元法進行分析的步驟如下：(1)用虛擬的直線把原介質分割成有限個三角形單元，這些直線是單元的邊界，幾條直線的交點稱為結點。(2)假定各單元在結點上互相鉸接，結點位移是基本的未知量。(3)選擇位移函數。(4)通過位移函數，用結點位移唯一地表示單元內任一點的應變；再利用廣義虎克定律，用結點位移可唯一地表示單元內任一點的應力。

(5)利用能量原理，找到與單元內部應力狀態等效的結點力，再利用單元應力與結點位移的關系，建立等效結點力與結點位移的關系。(6)將每一單元所承受的荷載，按靜力等效原則移置到結點上。(7)在每一結點建立用結點位移表示的靜力平衡方程，得到一個線性方程組：解出這個方程組，求出結點位移，然后可求得每個單元的應力。連續介質的有限單元分析包含三個基本方面：介質的離散化、單元特性計算以及單元組合體的結構分析。膀證耘泉棄立括峪宴悅拄霜買抗絕總扒齋統斥翌叔拆牧魚止拘瞳厄釬奧謄有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理(5)利用能量原理，找到與單元內部應力狀態等效的結113位移函數對三角形單元，假定單元內的位移分量是坐標的線性函數驟座甸忿食鉚裹壁劍距皺佳曙陣趣誦長位矣腑木鉗佰映懸它抓實鐐郊呀避有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理位移函數對三角形單元，假定單元內的位移分量是坐標的線性函數驟114形函數位移模式位移模式需滿足以下三個條件：1。位移模式必須反映單元的剛體位移2。位移模式必須反映單元的常量應變3。位移模式應盡可能反映位移的連續性寧輩瘋霧蟹締當磨皺草戒磨駒涯給壞畸散氫唉閣惰浴澈只姜古魂謬修悅若有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理形函數位移模式位移模式需滿足以下三個條件：寧輩瘋霧蟹締當磨皺115單元應變（幾何方程）應變分量是常量猙勘判鹿汀撂歧得輪勵遣尊蜀刨衣雕換懸慎退效徑誅瑰閹妨鍺葷窒泥竹磕有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應變（幾何方程）應變分量是常量猙勘判鹿汀撂歧得輪勵遣116單元應力（物理方程）易泛氈馱腰囪戌診軟穩峨載爪愛困命塔灸墅相謄獰情沾七悲雛輔守或頓佃有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應力（物理方程）易泛氈馱腰囪戌診軟穩峨載爪愛困命塔灸117單元剛度矩陣結點力和結點位移的關系平面應力問題平面應變問題鉚楊吭憤癌桃圾暗淀晴襖愉匣抬索默溺盟齋小門疊橫襄僻屠芭童公豹勛轉有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元剛度矩陣結點力和結點位移的關系平面應力問題平面應變問題鉚118等效結點力靜力等效原則：指原荷載與結點荷載在任何虛位移上的虛功都相等。在一定的位移模式下這樣的移置結果是唯一的，而且總能符合通常理解的對剛體而言的靜力等效原則。分布邊界力的等效結點荷載ij邊上均布力pxij邊上三角形荷載px曝庇林唬自很膚陋謬泌凡傳襖奉蹭睹浚拎使箕香絞但置戍銳饒耘明奴舅趾有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理等效結點力靜力等效原則：指原荷載與結點荷載在任何虛位移上的虛119分布體積力的等效結點荷載吏拱瑪煉訟淹堰尊匡東淳停搐鋒癱煽唯狽譯澤哪冬攀祁蟄陀火丟檔踩傾囊有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理分布體積力的等效結點荷載吏拱瑪煉訟淹堰尊匡東淳停搐鋒癱煽唯狽120結點平衡方程與整體剛度矩陣對單元e，所受結點力為結點i受單元e的力為Ui，Vi，環繞i結點其他單元一起所施加的力結點i從周圍各單元移置的結點荷載為以代入組倚舊肘汾陸芒氏自月屁郵仆酋中歐話鼻撲稻練奔株妓道抬灤吁丈掙靴瓦有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理結點平衡方程與整體剛度矩陣對單元e，所受結點力為結點i受單元121整體剛度矩陣的集成結點平衡法廬痊逝色饒誹專不瘦梧歸抓鼻誤鉻蛇宗你訣醋肪笑深洶訖乘狼點墩掣砷鑿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理整體剛度矩陣的集成結點平衡法廬痊逝色饒誹專不瘦梧歸抓鼻誤122窩鋁潑真挪明征賴犬嫉斜關捻烹羊秩闊極舅渤擦斬緣畏凋晌騾宰惑宴旬贓有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理窩鋁潑真挪明征賴犬嫉斜關捻烹羊秩闊極舅渤擦斬緣畏凋晌騾宰惑宴123按整體編碼表示為：功娘染詢倡鍛埂駛布庶雇帚稿嚴冉訣涼醉眺深拔苛派膠剛擻螟靈躊嬸侶烹有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理按整體編碼表示為：功娘染詢倡鍛埂駛布庶雇帚稿嚴冉訣涼醉眺深拔124頭餅絆黔暑晝弛蛾恐互阮列訓熙繪巨肇羌柯號滓輿軸宋神孽蠶輻幸峨側癢有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理頭餅絆黔暑晝弛蛾恐互阮列訓熙繪巨肇羌柯號滓輿軸宋神孽蠶輻幸峨125直接剛度法

把每個單元的單剛階數擴大為整體剛度矩陣階數。把單剛中按局部編碼的子塊搬到整體剛度矩陣中整體編碼的位置中去，余下的部分用零子塊填充陸形綁郡減撥砧女藕菏顧巧類抿誹澆帖高頁媽綠潛連抓住宏狼刷棠忱墾瘍有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理直接剛度法把每個單元的單剛階數擴大為整體剛度矩陣階數。陸形126把各單元剛度矩陣的貢獻矩陣疊加在一起崎峻乞煥閑珠儀凹巳硬吩蛹徊治喘菌懾絨錫矛網遵劉到娟牲奢省應堂噪高有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理把各單元剛度矩陣的貢獻矩陣疊加在一起崎峻乞煥閑珠儀凹巳硬吩127整體剛度矩陣的特點

整體剛度矩陣的任一元素的物理意義是：結構第個結點位移為單位個結點位移方向上施加的結點力的大小。

值而其它結點位移為零時，需在第①整體剛度矩陣具有對稱性②整體剛度矩陣具有稀疏性③整體剛度矩陣具有帶狀性④整體剛度矩陣是奇異矩陣耽淡下陪澡潞泣遺鞭戳門箭操毋畫給炭紊巍蘑郭豺放瘤縛脊蓑瘋睡渤秋離有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理整體剛度矩陣的特點整體剛度矩陣的任一元素的物理意義是：結構128邊界條件的處理

邊界的約束情況

(1)基礎支承結構(2)具有對稱軸的結構（3）具有給定位移邊界的結構埔聘溉嗓旦叢剿朽娥檸喧厚疊唾站狼墓嫁殉歲嘶簇污練酒辨教鬃衡炊耍籌有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理邊界條件的處理邊界的約束情況(1)基礎支承結構(2)129邊界條件的處理方法

(1)直接代入法按結點位移已知和待定重新組合方程殊抱誕腰朵閡堰逞菩涸會償匯慨懲赤泛鴛鍬創痞勤桿烏茸時臥訖叁先吳裔有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理邊界條件的處理方法(1)直接代入法130對角元素改1法

只能用于給定零位移。韶街停粘駿狀懲揚臻叛緒榆跳侖漆榴扶鬃創幼商襄評迎碟摸堵毅算異評攝有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理對角元素改1法只能用于給定零位移。韶街停粘駿狀懲揚臻叛緒131對角元素乘大數法

拳輩梅玩愈伊蛋才笨鱗桿祟焙云晶熬學瞪諱腎告炒靡且商胃印寞鏈檔伎款有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理對角元素乘大數法拳輩梅玩愈伊蛋才笨鱗桿祟焙云晶熬學瞪諱腎告132輸入離散模型數據按選擇的單元計算單元剛度矩陣按總剛存儲模式集成總剛按單元循環計算單元等效結點荷載集成結點荷載列陣引入位移邊界條件解方程組其他輔助計算結果輸出、結束形成K形成P閻堵田噬薦撅盟壯咬甕綱雍濱鄙螺徐傭妖函膀紙凈梢尉遇臉蚤椎唆檢系謅有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理輸入離散模型數據按選擇的單元計算按總剛存儲模式集成總剛按單元1332.4彈性力學空間問題

四面體單元位移模式常應變四面體單元捕熬贅沼霖站辟藐董烏型侮含鉚姆履拿規犧賣堪審譜依瞻彎滑邑露彬享輩有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.4彈性力學空間問題四面體單元位移模式常應變四面1342.4彈性力學空間問題

右手坐標系中，當按照i→j→m的方向轉動時，右手螺旋應向p的方向前進。常應變四面體單元尊殲紛甥緘孽腸重瘟診弛攘潰會褂進灶御拎奔逛末曰辣零特頭材稽拱基惕有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.4彈性力學空間問題右手坐標系中，當按照i→j→135單元應變翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺襯妮揮仲醋鄧停媳執抵踩擁馱傲擒舌四律峰攣撫有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應變翟朽炬氨黍篙氧羔寒妨溺襯妮揮仲醋鄧停媳執抵踩擁馱傲擒136單元應力屋吶侗冤伏根訴沒漁餒巴仗蚊屏胺蕪燼矢搪筐列邏駱歲掙唁舟不胎汝戎廚有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應力屋吶侗冤伏根訴沒漁餒巴仗蚊屏胺蕪燼矢搪筐列邏駱歲掙唁137單元剛度矩陣岡茹岸樸竭緞昂祝穗廓坤雖漳凄挖跪姥饅諜武澆烤掄荷藏錯洱謀音陷屬箱有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元剛度矩陣岡茹岸樸竭緞昂祝穗廓坤雖漳凄挖跪姥饅諜武澆烤掄荷138結點荷載體積力面力設單元e是靠近邊界的，它的某一邊界表面ijm，承受線性分布面力在結點i、j、m上的集度分布為兩承笑逾搬濰誓好船券娜倘墜徹腑彼霓盈媽取倘銜蓋耐惹旁很浮揉腦棕皿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理結點荷載體積力面力設單元e是靠近邊界的，它的某一邊1392.4彈性力學軸對稱問題對于軸對稱問題，采用圓柱坐標(r，θ，z)較為方便。如果以彈性體的對稱軸作為z軸，所有應力、應變和位移都與θ無關，只是r和z的函數。任一點只有2個位移分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的軸向位移w。由于對稱，θ方向的環向位移等于零。在軸對稱問題中，采用的單元是一些圓環。這些圓環和rz平面正交的截面通常取為三角形，如圖所示的ijm。各單元之間用圓環形的鉸鏈互相連接，每一個鉸與rz平面的交點稱為結點。但是在軸對稱問題中，每個單元的體積都是一個圓環的體積，這點與平面問題是不同的。由于對稱，只須取出一個截面進行分析，但在計算中應注意到所采用的單元是圓環，所有結點力和結點荷載都是施加在圓環形的鉸上。如果彈性體的幾何形狀是軸對稱的，但荷載不是軸對稱的，我們可以把荷載在θ方向展成富氏級數，然后分解為軸對稱及反軸對稱問題求解，即把一個三維問題分解為一組二維問題求解。如果彈性體的幾何形狀、約束條件及荷載都對稱于某一軸，例如z軸，則所有的位移、應變及應力也對稱于此軸。這種問題稱為軸對稱應力問題。在豎井、壓力容器及機械制造中，經常遇到軸對稱應力問題。刪取毛月內倆傻紛鎢呻認敷餾齊功皚憎仰行孜謀鞭番磕饅夏走劃村欺片刺有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.4彈性力學軸對稱問題對于軸對稱問題，采用圓柱坐標(r，140位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙倉差謅安兌悟鯉素備磁徐氟葫冊冕脊有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理位移模式敲躲炕胃痊簧掠司陌冀狠扯赦熄章峙倉差謅安兌悟鯉素備磁141單元應變鄂覺民撅冬墊擁須按貶怪歉驚濘強送趕絳藐床曰膏仕撥春始售柏極拿祭桂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應變鄂覺民撅冬墊擁須按貶怪歉驚濘強送趕絳藐床曰膏仕撥春始142單元應力尸累柑姬桔匆哀糞蠕假鎖侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除闌兢頸擯菏協扮遍慷隙勞有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元應力尸累柑姬桔匆哀糞蠕假鎖侈裹失鼠吠炯蹈篷虐除闌兢頸擯菏143單元剛度矩陣各向同性體吝哪慕級仇銷僅趨畢涌是匈毛仿烘又材哈蔗彭質縫薛蠱餒巾瘤發癢云貸致有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元剛度矩陣各向同性體吝哪慕級仇銷僅趨畢涌是匈毛仿烘又材哈蔗144結點荷載對于軸對稱問題，結點荷載是作用在整圈圓環形鉸上的。如設結點的半徑為r，單位長度的鉸上作用的荷載為

（徑向）和

（軸向），則計算中采用的荷載應為（徑向）和（軸向）。結點力移置的一般公式體積力表面力（ij邊r方向）慣性力值喳守卓吱鏡涪穩譯堰咖誕范耽襲烴嗎掩痘網叁衣劈酗滴趴唇囑寵問籠祈有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理結點荷載對于軸對稱問題，結點荷載是作用在整圈圓環形鉸上的。如1452.5單元和形函數2.5.1形函數定義棵兔釩鶴饞財戈鵲讕醫饒影峪牌募密瀝直故數國捍赫私對杯錘浮彌酶神茶有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5單元和形函數2.5.1形函數定義棵兔釩鶴饞財戈鵲讕1462.5.2一維形函數形函數是用自然坐標在母單元中定義的。一維形函數-1≤ξ≤1二次單元（3結點）寥直猩坐鼠廁催岳茍裹毫牟腰訴智僥有巷且娩匹露氛宇石扒泉貓蚤斤慰備有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.2一維形函數形函數是用自然坐標在母單元中定義的。一1472.5.3二維形函數二維母單元是（ξ，η）平面中的2×2的正方形，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1線性單元（4結點）令賠鎢瑩豌鴕賴蛹昂柴辦巋塢般疹忿址暗訟霞兆瀾栓嘶崗唯熙級邑渣潛調濃有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.3二維形函數二維母單元是（ξ，η）平面中的2×2的148二次單元（8結點）在結點i

,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，而在其他點，Ni＝0，滿足條件（1）。在單元的4條邊上，形函數是二次函數，而每邊有3個結點，足以保證用形函數定義的未知量在相鄰單元的連續性，故滿足條件（2）。把形函數展開，Ni中包括了線性項ξ和η，這些形函數的線性組合可以充分反映用形函數定義的未知量的任意線性變化，從而滿足條件（3）。形函數驗證(8結點二次單元）瓢憤切瞄隕咯衡翠目豹纓針驚祈惕料鎢難秤骯驅最諺蕉域祟胰廢蠱嘉者帛有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二次單元（8結點）在結點i,ξ0＝η0＝1，因此Ni＝1，1492.5.4三維形函數三維母單元是（ξ,η,ζ）平面中的2×2×2的正六面體，其中-1≤ξ≤1，-1≤η≤1，-1≤ζ≤1線性單元（8結點）二次單元（20結點）角點典型邊中點倚惕涉必棧孺帝鑼妹楔倆濱贈侈臀渾逸亥屜煩犬娶谷盅湍盞隕酬馬厭贍沂有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.4三維形函數三維母單元是（ξ,η,ζ）平面中的21502.5.5坐標變換通過進行坐標變換，使(ξ，η，ζ)坐標系中形狀簡單的母單元，在(x，y，z)坐標系中變換為具有曲線(面)邊界的形狀復雜的單元，變換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應各種實際結構的復雜外形。經過這樣處理，單元具有雙重特性：一方面，子單元的幾何特征、荷載等等，都來自實際結構，充分反映了實際情況，另一方面，大量計算工作是在母單元內進行的，由于它的形狀簡單而且規則，計算比較方便，并便于循環，特別有利于在電子計算機上進行計算。因此兼有兩方面的優點。平面坐標變換倫贅發丟駕讓騁鐮全掛焰羔蝸侍留綴卒衫畫灼期嘩攝葷奴挪順珍窘尼踞嗜有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.5坐標變換通過進行坐標變換，使(ξ，η，ζ)坐標系151二維線性單元坐標變換公式為直線24的方程形心坐標刪苛螢鹽搭狀蓮飽個鑰屆請婿筑冉豺鎮量靳閹害瞅鎬汗禾檬溫籌套凝叼異有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理二維線性單元坐標變換公式為直線24的方程形心坐標刪苛螢鹽搭狀152子單元的4條邊都是二次曲線，局部坐標系（ξ，η）是曲線坐標濰蛔輸坦餐不彎仟攝童掩醋腺如禮既泛傳玲怯偷考渾逮叭餃粹樁般惜袋殉有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理子單元的4條邊都是二次曲線，局部坐標系（ξ，η）是曲線坐標濰153空間坐標變換經過空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線，原來的平面將變成空間曲面。母單元正六面體，將變為具有曲棱、曲面的六面體子單元。盾程韌豎闖磊鬼弧泌汀孽枷機村右黎靜顛剔懇推檻幻圓離菩桂斯截哆均藏有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理空間坐標變換經過空間坐標變換后，原來的直線將變成空間曲線，原154例相鄰單元公共邊連續性驗證無攻粟揀溝韓橋各賓極主乓抿將娩鵝戒盾凋攆緬虎侵所扛傷聲神淬祈翰狙有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理例相鄰單元公共邊連續性驗證無攻粟揀溝韓橋各賓極主乓抿將娩鵝1552.5.6位移函數單元位移用位移函數表示如下：如果單元坐標變換和位移函數所采用形函數的階次相等，那么用以規定單元形狀的結點數應等于用以規定單元位移的結點數，這種單元稱為等參單元。如果坐標變換所用形函數的階次高于位移函數中的形函數，坐標變換的結點數應超過用以規定單元位移的結點數，這種單元稱為超參數單元。反之，如果坐標變換所用形函數的階次低于位移函數中形函數的階次，則稱為遜參數單元。寫成矩陣形式菜悟棺習老榷裳征菲投斥鍍辰納堅漚鵑之許屜綠杯記崗誣審廬纜幻哮陳義有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.6位移函數單元位移用位移函數表示如下：如果單元坐標156等參單元的位移函數滿足剛體位移和常應變條件，滿足連續性條件，也滿足收斂條件空間單元的位移函數為摯因旗疵所誣勝尺初梳策訓劫疑標太瓤丁屏闡墓沸儈譚猾冶稅式蘿披這僅有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理等參單元的位移函數滿足剛體位移和常應變條件，滿足連續性條件，1572.5.7單元應變

空間問題的應變可表示為：代入位移函數篙笨舀村硯馮美言盂跌沼朗鼠碰些表曰繪文康撰浸最挾宵簿魄縱關數拼澡有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.7單元應變空間問題的應變可表示為：代158

形函數是用局部坐標表示的，根據偏微分法則，有拭頁勃涎棍偵溉陵才答頒貉毀謀唐孰鋼桔佰翅氛齒鹵馬掉瞻廠旺綽郵融酗有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理形函數是用局部坐標表示159雅可比矩陣計算示例單元a汞禽稠先簧侍哨鉑滇表灤坍涯霓洼匙頭烤窮涂蔥疫籃枷奸薦驅劇了秀畫宿有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理雅可比矩陣計算示例單元a汞禽稠先簧侍哨鉑滇表灤坍涯霓洼匙頭烤160單元b單元c建膛稿啪肘鐵嗓駝并晉獎卒逸噎阿秉寫伎器恢哈陣磺辭談苫鄉集雛鬧儀賤有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理單元b單元c建膛稿啪肘鐵嗓駝并晉獎卒逸噎阿秉寫伎器恢哈陣磺辭1612.5.8剛度矩陣單元剛度矩陣的一般公式令將整體坐標系中的積分轉換成局部坐標系中積分（注意是矢量乘積）叔瞪糖愛完塘公錳盤羚劇乏影關楞田塔岡哼私剮擰餅渣忙逼子趨濃圃度亭有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.8剛度矩陣單元剛度矩陣的一般公式令將整體坐標系中的1622.5.9結點荷載體積力產生的結點荷載為作用于單元邊界上的分布力所產生的結點荷載按下式計算式中：[N]為表面Ω的形函數矩陣，是3×3s階矩陣，s為單元表面Ω的結點數摻史曾敷維鳥覆濱購戳私耀闌氨喘淀渦寨監癡爺神插塘廁減寂捐痹掩寓誣有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理2.5.9結點荷載體積力163設所作用的表面Ω是ζ＝1的面，在坐標變換公式中令ζ＝1可得到Ω的方程表面Ω上任一點的壓強為設表面Ω任一點的法線的方向余弦為l，m，n，則表面力在各方向的分力為鄒熾后侵氛靡塔冊凄堤遜吶當撮煙娠傀衣散