倒推法的妙用

倒推法1例1一次數(shù)學考試后，李軍問于昆數(shù)學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數(shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個數(shù)是多少？把一個數(shù)用□來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.例1一次數(shù)學考試后，李軍問于昆數(shù)學考試得多少分.于昆說：“2如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因3解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4

答：于昆這次數(shù)學考試成績是96分.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝564例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析馬小虎錯把減數(shù)個位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.

解：111－（70—10）＋（7—1）＝57答：正確的答案是57.例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7，把減5例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走86

解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16（只）②第一棵樹上原有鳥只數(shù).

16＋8＝24（只）③第二棵樹上原有鳥只數(shù).

16＋6—8＝14（只）④第三棵樹上原有鳥只數(shù).

16—6＝10（只）答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥71.生產(chǎn)一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.已知師傅每天生產(chǎn)零件的個數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個？提示：先找到4倍是多少個.①徒弟每天生產(chǎn)多少個？

560÷4÷（3＋1）＝35（個）②師傅每天生產(chǎn)多少個？

35×3＝105（個）答：徒弟和師傅每天各生產(chǎn)35個、105個.1.生產(chǎn)一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.已知師傅82.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準備挑幾塊磚？提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑幾塊磚：（26-2）÷2＝12（塊）再用倒推法求出弟弟最初準備挑幾塊磚.

｛26－〔26－（12＋5）］×2｝×2＝16（塊）答：弟弟最初準備挑磚16塊.2.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥9例4籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？分析依題意，畫圖進行分析.

例4籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個.小明取走余下10解：列綜合算式：｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（個）

答：籃子里原有梨22個.解：列綜合算式：11例5甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？例5甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來12分析解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個油桶所剩油”及“這時甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.分析解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“13解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？14用倒推法畫圖如下：

用倒推法畫圖如下：15

④從甲桶賣出油多少千克？

15-11＝4（千克）

⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10（千克）

答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.④從甲桶賣出油多少千克？16例6菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？例6菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半17

分析解題時用倒推法進行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來.

分析解題時用倒推法進行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（18解：①剩余的白菜是多少千克？

1800÷3＝600（千克）②第二天運進200千克后的一半是多少千克？

600＋30＝630（千克）③第二天運進200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）④原來的一半是多少千克？

1260—200＝1060（千克）⑤原有貯存多少千克？

1060×2＝2120（千克）綜合算式：

［（1800÷3＋30）×2—200］×2＝2120（千克）

倒推法的妙用課件193.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11?！蹦阒腊⒎蔡嵋还矌Я硕嗌馘X？買魚用了多少錢？3.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又20①買菜的錢：1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）②總錢數(shù)：100×2×2＝400（元）③買魚的錢：400÷2÷2＝100（元）答：阿凡提一共帶了400元錢，買魚用去100元錢.

214、李老師拿著一批書送給36位同學,每到一位同學家里,李老師就將所有的書的一半給他,每位同學也都還她一本,最后李老師還剩下2本書,那么李教師原來拿了_____本書.最后李老師還剩2本書,因此,他到第36位同學家之前應(yīng)有(2-1)×２＝２本書；同樣,他到35位同學家之前應(yīng)有(2-1)×２＝２本書……由上此可知,他到每位同學家之前都有2本書,故李老師原來拿了2本書.4、李老師拿著一批書送給36位同學,每到一位同學家里,李老師22例7“六一”兒童節(jié),小明和小培從媽媽那兒分得一些糖，媽媽把糖分成相同的兩份給他們，多的一個給自己留下了.小明在路上遇著自己的兩個朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的兩顆分別送給了兩個朋友.過了一會兒,又遇上兩個小朋友,他同樣分給他們糖,多的兩顆分給了他們,后來,他又遇上了兩個朋友,分完糖之后,小明發(fā)現(xiàn)自己只剩下一顆糖了,請問媽媽原來有多少糖?例7“六一”兒童節(jié),小明和小培從媽媽那兒分得一些糖，媽媽把23最后一次分糖前小明有糖3+2=5顆；倒數(shù)第二次分糖前小明有糖5×3+2=17顆；倒數(shù)第三次分糖前小明有糖17×3+2=53顆；媽媽原來有糖53×2+1=107顆.最后一次分糖前小明有糖3+2=5顆；倒數(shù)第二次分糖前小明有糖24例8小玲問一老爺爺今年多大年齡,老爺爺說：“把我的年齡加上17后用4除,再減去15后用10乘,恰好是100歲”那么,這位老爺爺今年_____歲.采用逆推法,易知老爺爺?shù)哪挲g為(100÷10+15)×4-17=83(歲)例8小玲問一老爺爺今年多大年齡,老爺爺說：“把我的年齡加上1255、某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,其結(jié)果等于6,則這個數(shù)是_____.從最后的結(jié)果往前逆推,結(jié)果是6,是一個數(shù)除以6得到的,不除以6,這個數(shù)應(yīng)該是6×6=36；36是一個數(shù)減6得來的,那么這個數(shù)應(yīng)該是36+6=42；42是一個數(shù)乘以6得來的,那么這個數(shù)應(yīng)該是42÷6=7；7是由某數(shù)加上6得來的.因此,某數(shù)是7-6=1.綜合算式是:(6×6+6)÷6-6=15、某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,其結(jié)果等于6,則這個266、某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).615×6÷5×4＝29526、某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).61277、將某數(shù)的3倍減5,計算出答案,將答案再3倍后減5,計算出答案,這樣反復(fù)經(jīng)過4次,最后計算的結(jié)果為691,那么原數(shù)是_____.從最后的結(jié)果往前逆推,結(jié)果是691,這是一個數(shù)的3倍減5得到的,這個數(shù)應(yīng)該是(691+5)÷3=232,這是經(jīng)過3次后的結(jié)果；同樣可知,經(jīng)過2次后的結(jié)果為(232+5）÷3=79；經(jīng)過1次后的結(jié)果為(79+5)÷3=28；因此,原數(shù)為(28+5)÷3=117、將某數(shù)的3倍減5,計算出答案,將答案再3倍后減5,計算出28倒推法的妙用

倒推法29例1一次數(shù)學考試后，李軍問于昆數(shù)學考試得多少分.于昆說：“用我得的分數(shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分嗎？分析這道題如果順推思考，比較麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的敘述過程編成一道文字題：一個數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個數(shù)是多少？把一個數(shù)用□來表示，根據(jù)題目已知條件可得到這樣的等式：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.例1一次數(shù)學考試后，李軍問于昆數(shù)學考試得多少分.于昆說：“30如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因為56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因31解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4

答：于昆這次數(shù)學考試成績是96分.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝5632例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？分析馬小虎錯把減數(shù)個位上1看成7，使差減少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.

解：111－（70—10）＋（7—1）＝57答：正確的答案是57.例2馬小虎做一道整數(shù)減法題時，把減數(shù)個位上的1看成7，把減33例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？分析倒推時以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等”入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16（只）.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16—6＝10（只）.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6—8＝14（只）.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24（只），使問題得解.例3樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走834

解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16（只）②第一棵樹上原有鳥只數(shù).

16＋8＝24（只）③第二棵樹上原有鳥只數(shù).

16＋6—8＝14（只）④第三棵樹上原有鳥只數(shù).

16—6＝10（只）答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥351.生產(chǎn)一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.已知師傅每天生產(chǎn)零件的個數(shù)是徒弟的3倍.師徒二人每天各生產(chǎn)零件多少個？提示：先找到4倍是多少個.①徒弟每天生產(chǎn)多少個？

560÷4÷（3＋1）＝35（個）②師傅每天生產(chǎn)多少個？

35×3＝105（個）答：徒弟和師傅每天各生產(chǎn)35個、105個.1.生產(chǎn)一批零件共560個，師徒二人合作用4天做完.已知師傅362.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥趕到了.哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半.弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半.哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊.這時哥哥比弟弟多2塊.問：最初弟弟準備挑幾塊磚？提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑幾塊磚：（26-2）÷2＝12（塊）再用倒推法求出弟弟最初準備挑幾塊磚.

｛26－〔26－（12＋5）］×2｝×2＝16（塊）答：弟弟最初準備挑磚16塊.2.有磚26塊，兄弟二人爭著挑.弟弟搶在前，剛剛擺好磚，哥哥37例4籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個.小明取走余下的一半多1個.小軍取走了小明取走后剩下一半多一個.這時籃子里還剩梨1個.問：籃子里原有梨多少個？分析依題意，畫圖進行分析.

例4籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個.小明取走余下38解：列綜合算式：｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2＝22（個）

答：籃子里原有梨22個.解：列綜合算式：39例5甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一部分給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一部分給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個桶里各賣了多少千克油？例5甲乙兩個油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來40分析解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙兩個油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克”.可以求出甲、乙兩個油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙兩個油桶所剩油”及“這時甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙兩個油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個油桶各賣出多少千克.分析解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個油桶最后各有油多少千克.已知“41解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？42用倒推法畫圖如下：

用倒推法畫圖如下：43

④從甲桶賣出油多少千克？

15-11＝4（千克）

⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10（千克）

答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.④從甲桶賣出油多少千克？44例6菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半.第二天運進200千克.第三天賣出現(xiàn)有白菜的一半又30千克，結(jié)果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬貯大白菜多少千克？例6菜站原有冬貯大白菜若干千克.第一天賣出原有大白菜的一半45

分析解題時用倒推法進行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（見下圖），使數(shù)量關(guān)系清晰的展現(xiàn)出來.

分析解題時用倒推法進行分析.根據(jù)題目的已知條件畫線段圖（46解：①剩余的白菜是多少千克？

1800÷3＝600（千克）②第二天運進200千克后的一半是多少千克？

600＋30＝630（千克）③第二天運進200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）④原來的一半是多少千克？

1260—200＝1060（千克）⑤原有貯存多少千克？

1060×2＝2120（千克）綜合算式：

［（1800÷3＋30）×2—200］×2＝2120（千克）

倒推法的妙用課件473.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又用剩下錢買菜.別人問他帶多少錢，他說：“買菜的錢是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11?！蹦阒腊⒎蔡嵋还矌Я硕嗌馘X？買魚用了多少錢？3.阿凡提去趕集，他用錢的一半買肉，再用余下錢的一半買魚，又48①買菜的錢：1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）②總錢數(shù)：100×2×2＝400（元）③買魚的錢：400÷2÷2＝100（元）答：阿凡提一共帶了400元錢，買魚用去100元錢.

494、李老師拿著一批書送給36位同學,每到一位同學家里,李老師就將所有的書的一半給他,每位同學也都還她一本,最后李老師還剩下2本書,那么李教師原來拿了_____本書.最后李老師還剩2本書,因此,他到第36位同學家之前應(yīng)有(2-1)×２＝２本書；同樣,他到35位同學家之前應(yīng)有(2-1)×２＝２本書……由上此可知,他到每位同學家之前都有2本書,故李老師原來拿了2本書.4、李老師拿著一批書送給36位同學,每到一位同學家里,李老師50例7“六一”兒童節(jié),小明和小培從媽媽那兒分得一些糖，媽媽把糖分成相同的兩份給他們，多的一個給自己留下了.小明在路上遇著自己的兩個朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的兩顆分別送給了兩個朋友.過了一會兒,又遇上兩個小