第六節極限存在準則兩個重要極限第一章（Existencecriterionforlimits&Twoimportantlimits）二、兩個重要極限一、極限存在的兩個準則三、內容小結12/23/20221第六節極限存在準則兩個重要極限第一章（Exis1.單調有界準則數列單調增加單調減少準則I單調有界數列必有極限單調上升有上界數列必有極限單調下降有下界數列必有極限說明:(1)在收斂數列的性質中曾證明：收斂的數列一定有界，但有界的數列不一定收斂．(2)利用準則Ⅰ來判定數列收斂必須同時滿足數列單調和有界這兩個條件．12/23/202221.單調有界準則數列單調增加單調減少準則I單調有界(3)準則Ⅰ只能判定數列極限的存在性，而未給出求極限的方法．例如，數列，雖然有界但不單調；，雖然是單調的，但其無界，易知，這兩數列均發散．數列(4)對于準則I，函數極限根據自變量的不同變化過程也有類似的準則，只是準則形式上略有不同.例如，準則I′

設函數在點的某個左鄰域內單調在的左極限必存在．并且有界，則12/23/20223(3)準則Ⅰ只能判定數列極限的存在性，而未作為準則Ⅰ的應用，我們討論一個重要極限：首先，證是單調的．＝＝所以，數列是單調增加的．12/23/20224作為準則Ⅰ的應用，我們討論一個重要極限：首先，證是單調的．＝顯然，單調性的證明可證得數列是單調增加的．設數列由于數列是單調增加的，所以數列是單調減少的.又其次，證有界．類似于，則則.綜上，根據極限存在準則Ⅰ可知，數列是收斂的.12/23/20225顯然，單調性的證明可證得數列是單調增加的．設數列由于數列是單通常用字母來表示這個極限，即也可以證明，當取實數而趨于或時，函數的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式12/23/20226通常用字母來表示這個極限，即也可以證明，當取實數而趨于或時，例1解:例2求解:12/23/20227例1解:例2求解:12/17/202272.夾逼準則準則II證:由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故12/23/202282.夾逼準則準則II證:由條件(2),當時,當時,令我們可將準則II推廣到函數的情形：準則II′且注意:準則II和準則II′統稱為夾逼準則..,的極限是容易求的與并且與關鍵是構造出利用夾逼準則求極限12/23/20229我們可將準則II推廣到函數的情形：準則II′且注意:準則II例3解：由夾逼準則得12/23/202210例3解：由夾逼準則得12/17/202210解:

利用夾逼準則.且由思考題：？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL12/23/202211解:利用夾逼準則.且由思考題：？1211lim222=?夾逼準則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面利用它證明另一個重要的圓扇形AOB的面積證:

當即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注極限公式：12/23/202212夾逼準則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面當時注12/23/202213當時注12/17/202213例4求解:例5求（課本例7）解:令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式12/23/202214例4求解:例5求（課本例7）解:令則因此原式例6求（課本例5）解:例7求（補充題）解:12/23/202215例6求（課本例5）解:例7求（補充題）解:12/1內容小結1.極限存在的兩個準則夾逼準則;單調有界準則.2.兩個重要極限或注:代表相同的表達式12/23/202216內容小結1.極限存在的兩個準則夾逼準則;單調有界準則課后練習習題1-61（2）（4）

2（2）（4）（6）3（3）思考與練習1.填空題(1～4)12/23/202217課后練習習題1-61（2）（4）思考與練習1.解：原式=2.求12/23/202218解：原式=2.求12/17/2022183.證明證明：對任一，有，則當時，有于是,（1）當時，由夾逼準則得（2）當時，同樣有12/23/2022193.證明證明：對任一，有，則當時，有于是,（1）當時，故極限存在，4.設,且求解：設則由遞推公式有∴數列單調遞減有下界，故利用極限存在準則12/23/202220故極限存在，4.設,且求解：設則由遞推公式有∴數列單證:顯然證明下述數列有極限.即單調增,又存在“拆項相消”法

5.設12/23/202221證:顯然證明下述數列有極限.即單調增,又存在“拆項相消”第六節極限存在準則兩個重要極限第一章（Existencecriterionforlimits&Twoimportantlimits）二、兩個重要極限一、極限存在的兩個準則三、內容小結12/23/202222第六節極限存在準則兩個重要極限第一章（Exis1.單調有界準則數列單調增加單調減少準則I單調有界數列必有極限單調上升有上界數列必有極限單調下降有下界數列必有極限說明:(1)在收斂數列的性質中曾證明：收斂的數列一定有界，但有界的數列不一定收斂．(2)利用準則Ⅰ來判定數列收斂必須同時滿足數列單調和有界這兩個條件．12/23/2022231.單調有界準則數列單調增加單調減少準則I單調有界(3)準則Ⅰ只能判定數列極限的存在性，而未給出求極限的方法．例如，數列，雖然有界但不單調；，雖然是單調的，但其無界，易知，這兩數列均發散．數列(4)對于準則I，函數極限根據自變量的不同變化過程也有類似的準則，只是準則形式上略有不同.例如，準則I′

設函數在點的某個左鄰域內單調在的左極限必存在．并且有界，則12/23/202224(3)準則Ⅰ只能判定數列極限的存在性，而未作為準則Ⅰ的應用，我們討論一個重要極限：首先，證是單調的．＝＝所以，數列是單調增加的．12/23/202225作為準則Ⅰ的應用，我們討論一個重要極限：首先，證是單調的．＝顯然，單調性的證明可證得數列是單調增加的．設數列由于數列是單調增加的，所以數列是單調減少的.又其次，證有界．類似于，則則.綜上，根據極限存在準則Ⅰ可知，數列是收斂的.12/23/202226顯然，單調性的證明可證得數列是單調增加的．設數列由于數列是單通常用字母來表示這個極限，即也可以證明，當取實數而趨于或時，函數的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式12/23/202227通常用字母來表示這個極限，即也可以證明，當取實數而趨于或時，例1解:例2求解:12/23/202228例1解:例2求解:12/17/202272.夾逼準則準則II證:由條件(2),當時,當時,令則當時,有由條件(1)即故12/23/2022292.夾逼準則準則II證:由條件(2),當時,當時,令我們可將準則II推廣到函數的情形：準則II′且注意:準則II和準則II′統稱為夾逼準則..,的極限是容易求的與并且與關鍵是構造出利用夾逼準則求極限12/23/202230我們可將準則II推廣到函數的情形：準則II′且注意:準則II例3解：由夾逼準則得12/23/202231例3解：由夾逼準則得12/17/202210解:

利用夾逼準則.且由思考題：？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL12/23/202232解:利用夾逼準則.且由思考題：？1211lim222=?夾逼準則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面利用它證明另一個重要的圓扇形AOB的面積證:

當即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注極限公式：12/23/202233夾逼準則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面當時注12/23/202234當時注12/17/202213例4求解:例5求（課本例7）解:令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式12/23/202235例4求解:例5求（課本例7）解:令則因此原式例6求（課本例5）解:例7求（補充題）解:12/23/202236例6求（課本例5）解:例7求（補充題）解:12/1內容小結1.極限存在的兩個準則夾逼準則;單調有界準則.2.兩個重要極限或注:代表相同的表達式12/23/202237內容小結1.極限存在的兩個準則夾逼準則;單調有界準則課后練習習題1-61（2）（4）

2（2）（4）（6）3（3）思考與練習1.填空題(1～4)12/23/202238課后練習習題1-61（2）（4）思考與練習1.解：原式=2.求12/23/202239解：原式=2.求12/17/2022183.證明證明：對任一，有，則當時，有于是,（1）當時，由夾逼準則得（2）當時，同