第3節等比數列及其前n項和

課程標準要求.理解等比數列的概念..掌握等比數列的通項公式與前n項和公式..能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題..了解等比數列與指數函數的關系.必備知識?課前回顧密知識梳理.等比數列的有關概念(1)定義:如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一常數(不為零),那么這個數列叫做等比數列.這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示,定義的表達式為皿=q(n￡N*,q為非 an零常數).(2)等比中項:如果a,G,b成等比數列，那么￡叫做a與b的等比中項.即G是a與b的等比中項=a,G,b成等比數列nG'ab..等比數列的有關公式(1)通項公式:an=電色.⑵前n項和公式：nar(q=1),Sn=tq(1-qn)=aranqg0])1-qlq”.等比數列的常用性質(1)通項公式的推廣:an=am?CL(n,mGN*).(2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kGN*),則an,an-apa2=4⑶若數列｛aj,｛bj(項數相同)是等比數列，則｛入aj,｛馬，｛畸｝,區bn｝,｛$｝(入#0)仍然是等比數列.(4)在等比數列｛aj中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數歹！J,公比為qk.(5)在等比數列｛aj中，若出為其前n項和，則Sn,S2n-Sn,S『S2n也成等比數列(n為偶數且qWT).■釋疑(1)任意兩個實數不一定都有等比中項，只有同號的兩個非零實數才有等比中項.(2)&=也?qn,當q>0且q#l時,可以看成函數y=cqn,其是一個不為0q的常數與指數函數的乘積，因此數列｛aj各項所對應的點都在函數y=cq'的圖象上；當q=l時，｛aj為非零常數列.(3)忖尸嗎父^-魯q”+魯,若設a=魯,貝！JSn=-aqn+a(a#:0,qHO,q#4).l-ql-ql-q l-q由此可知，數列｛SJ的圖象是函數y=-ad+a圖象上一系列孤立的點.對于常數列的等比數列，即q=l時，因為“0,所以Sn=nai,由此可知，數列｛SJ的圖象是函數y=a1x圖象上一系列孤立的點.—各點—1.已知在等比數列｛aj中,a3=7,$3=21,則公比q的值是(C)A.1B.--2C.1或3D.-l或g解析：當q=l時,33=7,S3=21,符合題意；?1Q2=7,當q#l時，ai（lq3）得口=-3-； =4,Ll-q綜上,q的值是1或-去故選C.2.（多選題）已知數列｛aj是等比數列，那么下列數列一定是等比數列的是（AD）A.｛—｝B.log?若anC.｛an+an+i｝D.｛an+an+i+an+2｝解析:等比數列｛aj的通項4=1時，log?硅=0,數列｛log?W｝不是等比數列，等比數列｛aj的公比q=T時,an+an,i=0,數歹U｛an+aM不是等比數歹山由等比數列的定義知｛-｝和｛an+an+1+an+2｝都是等比數歹（J.故選AD.an3.在等比數列｛aj中，a3=4,a7=16,則as等于（C）A.10B.±10C.8D.±8解析：因為硅=a3a7=4X16=64,所以a5=±8.又因為as-asQ>0,所以a5=8.故選C..在等比數列｛aj中，a3=9,a7=729,則a3與a7的等比中項為.解析:設a3與a7的等比中項為G.因為a3=9,a?=729,所以G?=9X729=6561,所以G=±81.答案：±81.若等比數列｛aj的各項均為正數，且aioau+a9al2=2e;則Ina,+lnaz+c'+lna2o=.解析:因為數列｛aj為等比數列，且aioa“+a9al2=2e,所以ai()aii+a9al2=2ai()au=2e,所以310311-e,所以Inai+lna2+---+lna2o=ln(aia2,,,a2o)=ln(aiOan)10=ln(e5)10=lne50=50.答案：50關鍵能力?課堂突破戚考點一等比數列基本量的運算.已知各項均為正數的等比數列瓜｝的前4項和為15,且a5=3as+4ai,則a3等于（C）A.16B.8C.4D.2解析:設各項均為正數的等比數列｛4｝的公比為q,則+a】q+atq2+arq3=15,a1q4=3atq2+4%,解嘴二:所以a3=a,q2=4.故選C..設2為等比數列｛a｝的前n項和，已知3s3=a「2,3S2=a3-2,則公比q等于(B)A.3B.4C.5D.6解析：因為3s3=&-2,3S2=a3-2,所以兩式相減，得3(S3_S2)=(a廠2)-63-2),即3a3=a「a3,得a.i=4a3,所以q=%=4.故選B.a33.已知等比數列｛aj的前n項和為Sn,且ai+a3-^,az+a.)^,則TOC\o"1-5"\h\z2 4Sn_an解析:設等比數列｛aj的公比為q,因為I I\a2+a4=-,(?i+arq2=；，①所以 Q5(?iq+aiq3=『②由①除以②可得斗2,解得q=?代入①得ai=2,所以an=2X0產攝S“=1--4(1-媼,所以吸”起=27.萍答案：2"T*題后悟通(1)等比數列中有五個量abn,q,an,Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.(2)等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q=l時，｛aj的前n項和S產向；當qrl時，｛aj的前n項和S/i?"刃-即"嗎l-ql-qIM考點二等比數列的判定與證明例1,設數歹ll｛a』的前n項和為Sn,已知ai+2a2+3a3+…+nan=(n-l)Sn+2n(n￡N*).(1)求a2,a?的值;(2)求證:數列5+2｝是等比數列.⑴解：因為ai+2a2+3a34---+nan=(n-l)Sn+2n(n6N*),所以當n=l時,ai=2X1=2;當n—2時,a】+2a2=(ai+a2)+4,所以a2=4;當n=3時，a1+2a?+3a3=2(ai+az+a3)+6,所以a3=8.綜上,a2=4,a3=8.(2)證明：因為ai+2a2+3as+…+皿=(n-1)Sn+2n(nGN*),①所以當n22時，a1+2a2+3a?+…+(n_l)an-i=(n-2)Sn-i+2(n-l).②①-②，得nan=(n-l)Sn-(n-2)Sn-i+2-n(Sn_Sn-l)-Sn+2Sn-l+2-nan_Sn+2Sn-i+2.所以-Sn+2Si+2=0,即Sn=2Sn-i+2,所以Sn+2=2(Si+2).因為S1+2=4#0,所以Sg+2W0,所以衿力2,Sn-l+N故｛Sn+2｝是以4為首項,2為公比的等比數列.［典例探究1］把本例改為“a=1,%=2%+1(22)”，求數列｛aj的通項公式.解：由an=2a-+l(n22)得an+l=2(an-i+l),即即+1-2.On-1+l所以數列｛a+1｝是首項為ai+l=2,公比為2的等比數列.所以an+l=2n,即an=2n-l.［典例探究2］在本例條件不變的情況下,判斷數列｛aj是否是等比數列.解：由本例知｛出+2｝是首項為4,公比為2的等比數列，所以Sn+2=4X2n\即Sn=4X2"L2,①當n22時,Sj4X2"-2.②①-②得a?=4X2n-1-4X2n'2=4X2n'2=2n(n22).又n=l時，ai=2,符合此式，

所以4=才(neN).這時皿若=2,?n2n故數列｛aj是等比數列.解題策略判定一個數列為等比數列的常見方法(1)定義法:若出2q(q是不為零的常數)，則數列｛aj是等比數列.an(2)等比中項法:若W+i=anan+2(n￡N*,anKO),則數列｛aj是等比數列.(3)通項公式法:若an=Aqn(A,q是不為零的常數)，則數列｛an｝是等比數列.考點三等比數列的性質及應用22O022a2

+O22O022a2

+O2O歹U｛bn｝ 等比數列，且bz020二包020,貝!J10g26019*b2021)的值為()A.1B.2C.4D.8(2)已知數列｛aj是等比數列，若a2=l,a5=J,貝！)a^+a2a3+…+2同向(neoN*)的最小值為()oA.-B.1C.2D.33(3)已知各項均為實數的等比數列｛aj的前n項和為Sn,若Sio-10,$30=70,則S?)等于( )A.150B.140C.130D.120解析：(1)因為在等差數列｛aj中，a.2019+a2021-232020,所以2a20192

所以2a20192

a2

+o2o2a22O-O2O因為數列｛&4的各項均不為零,所以a2020-4,因為數列｛bn｝是等比數歹|J,所以bz019?bz021=?2020=16.所以log2(b2019?bz021)—log216=4.故選c.(2)由已知得數列｛aj的公比滿足心里4a28解得q=iTOC\o"1-5"\h\z所以a尸2,a3=；,故數列｛aa.J是以2為首項,公比為2后的等比數2 4列，由|、1 , , , n]所以aia2+a2a3+---+anan+F 氣~=%|[l-(；)n]e[2,1).故選C.(3)在等比數列｛aj中，設公比為q,由S10=10,S30=70可知q#T,所以S.o,S2o-S.o,S30-S20,ShSso構成等比數列,設其公比為q'.所以(S2O-Slo所以(S2O-Slo)2~S10,(S30-S20)gp(S2o-1O)2=1O?(7O-S2o),解得S2o=3O(負值舍去).因為S2。a。-30Y0-2=q，,§10 10 7所以S?-S30=2(S30-S20)-80,S4o=S3O+8O=15O.故選A.解題策略在解決與等比數列有關的問題時,要注意挖掘隱含條件.利用性質時要注意成立的前提條件,有時需要進行適當變形.此外,解題時注意“設而不求”思想的運用.［針對訓練］TOC\o"1-5"\h\z(1)已知數列｛aj為等比數列,a4+a7=2,a5a6=-8,則由+④。等于( )A.7B.5C.-5D.-7⑵設Sn是等比數列｛aj的前n項和,若占3,則言等于()A.2B.-C.—D.1或23 10解析:⑴由解得黑U或目工所以y=二,或產=吃(_1 =-8,所以ai+aio=ai(l+q9)=-7.故選D.⑵設S2—k,Sl3k.因為數列｛aj為等比數列，所以s2,s4-s2,S6-S」也為等比數列.又S2二k,Si—S2—2k,所以Se—S4—4k,所以Se~7k,所以543k3故選B.皂備選例題C?D(2020?全國I卷)設｛aj是等比數列，且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8等于( )A.12B.24C.30D.32解析:法一設等比數列｛aj的公比為q,所以42+1+04(/1+@2+@3池(]_2。1+。2+。3al+a2+a3由ai+a2+a3=ai(l+q+q?)=ai(1+2+29=1,解得a《,所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)4X(25+26+27)^X25X(l+2+2?)=32.故選D.法二令bn=an+an+i+an+2(n￡N*),則bn+尸an+l+an+2+an+3.設數列｛aj的公比為q,則出=限1+/+2+限3=(巾"[+*2%,所以數列｛bj為等比數列bnan~^an+l'^an+2an~^an+l^~an+2題意知b.-l,b2=2,所以等比數列｛bJ的公比q=2,所以bn=2'i,所以be=a6+3j+a8=25=32.故D.C?記Sn為等比數列｛aj的前n項和,若aFl,sA則4S.i=.解析:設數列｛aj的公比為q,則有S3=ai+az+a3=l+q+q2。整理可得44q2+4q+1=0,所以q--^,所以Si-Ss+aF^-^^.2 488答案卷麗已知數列｛aj和｛bj滿足a^l,bi~0,4an+i=3an—bn+4,4bn+i—3bn—an—4.⑴證明：瓜+bJ是等比數列，｛a「bj是等差數列;⑵求｛aj和｛bj的通項公式.(1)證明：由題設得4(an+i+bn+i)=2(an+bn),則an+i+bnH=1(an+bn).又因為a.+bFl,所以區+bJ是首項為1,公比為3的等比數列.由題設得4(an+i-bn+i)-4(an_bn)+8,即an+i-bn+i=an-bn+2.又因為a.-b.-l,所以{a「bj是首項為1,公差為2的等差數列.⑵解：由⑴知，an+bn=*,an-bn=2n-l.所以an=1[(an+b)+(an-bn)]=^+n-1,bn=1[(an+bn)-(an-bn)]=^-n+1.■:里口日住、山 靈唐寺發右致爽.餞回選題明細表知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練等比數列基本量的運算1,2,4等比數列的性質及應用3,6,7,8,913等比數列的判定與證明5,1011,12,17等比數列的綜合問題14,15,1618A級基礎鞏固練1.已矢口等比數歹!J{aJ滿足a1」,a3a5=4(a「l),貝!la2等于(C)4A.2B.1C.- D.-2 8解析：因為a3a5二a%a3a5=4(a「l),所以底=4(a4-l),所以欣-4ai+4=0,所以a4=2.又因為q3-M=8,-4所以q二2,所以a2=aiq=-X2=-.4 2故選C.2.設正項等比數列｛aj的前n項和為S”,若Sz=3,S4=15,則公比q等于(D)A.5B.4C.3D.2解析：因為S2=3,S4=15,S4-S2=12,所以明：武,兩個方程左右兩邊分別相除,得q2=4,因為數列是正項等比數列，所以q=2.故選D.(2021?廣東汕頭高三一模)在正項等比數列｛aj中，a2a4=16,a4+a5=24,則數列｛aj的通項公式為(A)A.&=2—B.an=2nC.a=3"D.an=3n''解析:設等比數列｛aj的公比為q,由題意可知，對任意的nGN*,an>0,q>0,由等比中項的性質可得試=22?a“=16,解得33-4,所以a.i+a5=a3(q+q2)=4(q+q2)=24,整理可得q2+q-6=0,因為q>0,解得q=2,因此a產a3qf4X2f2nT.故選A..已知等比數列｛aj的前n項和為Sn,且aio=V2a6,若mS32=S8+S24,貝(Jm等于(C)A.-B.-C.-D.-15 2 15 16解析：因為ai0=V2a6,所以q-V2.由IHS32—Ss+S24,得m(l-q：i2)=l-qs+l-q2',即m(l-16)=l-2+l-8,解得故選C..已知數列｛aj滿足:ai=l,a?+產生;(n￡N*).貝()a］。等于(C)an+2A.」一B.-^―1021 1022C--- D---?1023 ?1024解析：因為an^=-^-,an+2所以兩邊取倒數得二-=幺2巳+1,Qn+1anan則」_+1=2(2+1),Qn+1an所以數列｛2+1｝為等比數列，an則J_+1=（J_+1）?2n-1=2n,anat所以an島，故aio=2^i=ro23-故選C.6.在等比數列｛aj中,若a2a5=-；,a2+a3+a.i+a5=7,則工+工+工+工等于4 4a2a3a4a5（C）3A.1B.--4C.-3D.i3TOC\o"1-5"\h\z解析：區｝是等比數列，a2a5=-0=a3aSaz+as+ai+asC4 491+1+1+1—。2+。5+。3+由4_1 3a3% a2a5a3a4《 ,故選C.q,7.（多選題）（2021?廣東揭陽高三一模）已知等比數列區｝的公比為q,且a5=l,則下列選項正確的是（AC）A.a3+a722 B.ad+a622C.a7_2ae+l^0 D.a?一2a廠l、0解析:因為等比數列｛aj的公比為q,且a5=l,所以33=—,二一，氏二q,3.7=q,qzq因為a3+a7=W+q、2,故A正確；因為a4+a6=-+q,當q<0時,式子為負數,故B錯誤；q因為a7-2a6+1=q2-2q+1=(q-1)i0,故C正確；因為a3-2a廠1J,-1=(、1產-2,存在q使得a3-2a4-l<0,故D錯誤.qNqq故選AC..（2021?湖北高三一模）已知等比數列｛aj的前n項積為若2a5,則Tg=.解析：因為a4a6=2a5,由等比數列的性質，可得ag6=遽，所以譴=2a5,解得a5=2,又由T9=a1a2a3…a9=譴=2，=512.答案：512.（2021?遼寧沈陽高三一模）在正項等比數列瓜｝中，譴+2a6a8+W=100,貝ijas+a.9=.解析：因為譴+2a6a8+堵=100,所以磅+225也+詔=100,即（。5+。9）2=100,因為數列｛a｝是正項數列，所以as+a.9=10.答案：10.已知數歹Ij｛aj的首項ai=l,前n項和為Sn,M^2an+1+Sn=2（nCN*）,則數列｛aj的通項公式an=.解析：因為2an+1+Sn=2,①當n，2時,24+S*2,②①式減②式得ari+l=|an.又當n=l時，2a2+Si=2,所以數列｛aj是以1為首項,;為公比的等比數列,為與三.答案口木,2n-1B級綜合運用練.設數歹！J｛aJ的前n項和為S“若a1=l,Sn+i=2Sn+l,貝US?等于(B)A.63B.127C.128D.256解析:在S*2Sn+l中,令n=l,得Sz=3,所以32—2.由Sn+l=2Sn+l得Sn+2=2Sn+l+l,兩式相減得an+2=2an+1,即皿=2.an+l又aFl,—=2,Q]所以數列｛aj是以1為首項,2為公比的等比數列，所以S7~~t\-127.故選B.12.(多選題)已知數列｛aj的前n項和為Sn,a^l,S?H=Sn+2an+l,數列on｛——｝的前n項和為Tn,n￡N*,則下列選項正確的為(BCD)an*Qn+1A.數列｛adl｝是等差數列B.數列列n+1｝是等比數列C.數列｛aj的通項公式為an=2n-lD.Tn<l解析:Sn+l=Sn+2an+l即為%*尸Sn+「Sn=2an+l,可化為a田+l=2(an+l),由Si=aR,可得數列瓜+1｝是首項為2,公比為2的等比數列，

則an+l-2n,即an-2n-l,T72n_2n_1 1^anan+1(2n-l)(2n+1-l)2n-l2n+1-l,可得L=1-上+―-工+???+^-—---=1---—<1,」bn▲22-122-123-12n-l2n+1-1 2n+1-l故A錯誤,B,C,D正確.故選BCD.13.已知公比不為1的正項等比數列｛aj的前n項和為Sn,數列｛bj滿足批令,則下列不等式恒成立的是(D)7b2《8b6,b22bi+-817b2W8b6,b2^b4+-813b3W4b9,b42b8+2413b3W4b9,b4Wb8+—4解析:設正項等比數列｛aj的公比為q（q>0,且q^l）,貝IJ出用產，丸應產l-q l-q52ni-<?2n52ni-<?2n(i+qn)(i-qn)Sn1-Qnl~qn=l+q9O,TOC\o"1-5"\h\zb67_l+q67_(l+q2)(i-q2+q4)7 4 .———= 一一二 ——=q-q十一,b28l+q28 l+q2 8 8令q't,貝I普一g/T+J,貝!)A=1一卜；>0l?28 o 22所以掉法小關系不確定，即7b2與8b6大小關系不確定,A,B錯誤;b93b93_l+q9 ———匕341+Q33(1+q3)(1-q3+q6)3_,—— ——二4 l+q3 4qJq'+》(qW”20,

4 2咤衿所以3bW恤b4-b8-i=l+q1-l-q8^=-q8+q4-i=-(q4^)2^0,即bWbg.故選D.14.(2021?上海金山高三一模)已知定義在R上的函數f(x)是奇函數,且滿足f(x+3)=f(x),f⑴=-3,數列｛aj滿足Sn=2an+n(其中S”為｛an｝的前n項和)，則f(a5)+f⑸)等于(C)A.-3B.-2C.3D.2解析:對任意的n￡N*,Sn=2an+n.當n-1時，ai-Si-2ai+l,解得ai--1;當n22時，由Sn=2an+n可得Sn-i=2an-i+n-l,上述兩式作差得an=2an-2an-i+l,即an—2an-i—1,所以an-l=2(an-i-l),所以數列｛a「l｝是以a-1-2為首項,2為公比的等比數列，所以an-l=-2?2n-*=-2n,即an=l-2n,所以 —31, —63,因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，則f(0)=0,又函數f(x)滿足f(x+3)=f(x),f(1)=-3,所以f(as)=f(-31)=-f(31)=-f(1)=3,f(a6)=f(-63)=f(0)=0,因此f(a5)+f(%)=3.故選C.15.著名物理學家李政道說：“科學和藝術是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴格的數學方法確定的.我國明代的音樂理論家朱載埴創立了十二平均律，他是第一個利用數學使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數,如表所示，其中ai,a%…,am表示這些半音的頻率，它們滿足log2(^),2=lai(i=l,2,…，12).若某一半音與D#的頻率之比為冠，則該半音為(B)頻率ai@23334363.8&9H.1Hu312313半音CC8DD;EFFGG"AA:BC(八度)A.F#B.GC.G#D.A解析:依題意可知a?>0(n=l,2,????13).由于a?a2,…，如滿足log2(^ii)12=l(i=l,2,…，12),則(如)W,% Qii所以"2運所以數列aba2,a”為等比數列,公比q=2a,D"對應的頻率為a4,題r一1 14目所求半音與D"的頻率之比為該=25=(2石)，14所以所求半音對應的頻率為a”-(2石):a.即對應的半音為G.故選B.16.各項均為正數的數列｛aj和｛bj滿足:a”,壯,an,1成等差數列，L,an+bbe成等比數歹山且ai=l,a2=3,則數列｛aj的通項公式為.解析：由題設可得an+l=y/bnbn+1,a。力匕nbn-i(n22),代入2bn=an+an+1