等腰三角形本課內容本節內容2.3等腰三角形本課內容本節內容2.3

我們前面已經學習了三角形的一些性質，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質外，還具有哪些特殊的性質呢？我們前面已經學習了三角形的一些性質，那么等腰三角形除探究

任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12探究任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點B的像是點C，點C的像是點

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關于直線

對稱.ABABBADABABBAD由于點D的像是點D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=由于點D的像是點D，DC中線DA=90高CB=結論由此得到等腰三角形的性質定理：

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.結論由此得到等腰三角形的性質定理：等腰三角形是軸對稱

等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).

結論

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).結動腦筋因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關系呢？動腦筋因為△ABC是等邊三角形，如圖，△ABC是等邊由此得到等邊三角形的如下性質：等邊三角形的三個內角相等，且都等于60°.結論由此得到等邊三角形的如下性質：等邊三角形的三個內角相等，且都

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內角的平分線所在的直線.由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E

在邊BC上，且AD=AE.

求證：BD=CE.舉例證明

作AF⊥BC，垂足為點F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E舉證明

如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點D掛一個重錘，自然下垂，調整架身，使點A恰好在鉛錘線上.（1）AD與BC是否垂直，試說明理由.（2）這時BC處于水平位置，為什么？議一議如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點D掛一個練習1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數及DC的長.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.練習1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上答：2.如圖，點P為等邊三角形ABC的邊BC上一點，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度數.答：∠DPC=20°.2.如圖，點P為等邊三角形ABC的邊BC上一答：∠DPC

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關系嗎？我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等我測量后發現AB與AC相等.3cm3cm我測量后發現AB與AC相等.3cm3cm事實上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內角和的性質得∠ADB=∠ADC.D12事實上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點B與點C重合，于是AB=AC.沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以結論有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).結論有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).結論三個角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結合三角形內角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：結論三個角都是60°的三角形是等邊三角形.由此并且結例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E

分別是AB，AC上的點，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.舉例證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E舉證明

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？動腦筋有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內角和定理得由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結論有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結論有一個角是60°的等例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E

分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.舉例證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E舉證明練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和ABCDEO∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長線于點E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.2.已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE證明∵C3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，證明中考試題例1

等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角形周長為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一邊長為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關系定理，故選5.∴周長為5+5+2=12cm.中考試題例1等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，中考試題例2

若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°解析

因為50°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D中考試題例2若等腰三角形中有一個角等于50°，則這結束結束湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）執教：黃亭市鎮中學

湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面產生關系。一個相等關系.（和/倍/不同方案間不變量的相等）設未知數(直接設，間接設),包括單位名稱.把相等關系中各個量轉化成代數式,從而列出方程.解方程,求出未知數的值(x=a).代入方程檢驗。檢驗所求解是否符合題意，寫出答案。審設列找答解回顧與復習列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等,求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料?解：設B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由題意可知方程變形為：1000x=800(x+20)x=80檢驗:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合題意.答：B型機器人每小時搬運80kg，A型機器人每小時搬運100kg.引入問題課前熱身

強調：既要檢驗所求的解是否是原分式方程的解，還要檢驗是否符合題意；

動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.（1）審清題意；（2）設未知數（要有單位）；（3）找出相等關系，列出方程；（4）解方程，并驗根。（5）寫出答案（要有單位）。例題講解與練習例1.

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，完成全部工程，哪個隊的施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程的

,設乙隊如果單獨完成施工1個月能完成總工程的

,那么甲隊半個月完成總工程的

，乙隊半個月完成總工程的

，兩隊半個月完成總工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙隊的施工速度快。歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否

例2

A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車的速度之比為5：2，求兩車的速度。分析：

已知兩邊的速度之比為5：2，所以設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，而A、B兩地相距135千米，則大車行駛時間

小時，小車行駛時間

小時，又知大車早出發5小時，比小車早到30分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多4.5小時.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，根據題意得解之得x=9經檢驗x=9是原方程的解當x=9時，2x=18，5x=45

答：大車的速度為18千米/時，小車的速度為45千米/時.例2A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽例3：農機廠到距工廠15km的向陽村檢修農機，一部分人騎自行車先走，過了40分鐘，其余人乘汽車去，結果他們同時到達，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度。分析：設自行車的速度是xkm/h，汽車的速度是3xkm/h請根據題意填寫速度、時間、路程之間的關系表速度(km/h)路程(km)時間（h）自行車

汽車

x3x1515x153x15找出等量關系。列出方程。汽車所用的時間＝自行車所用時間－時3232x153x15=-借助表格分析數量關系解答由學生完成。例3：農機廠到距工廠15km的向陽村檢修農機，一部分人騎自行1、甲乙兩人同時從A地出發，騎自行車到B地，已知兩地AB的距離為30㎞，甲每小時比乙多走3㎞，并且比乙先到40分鐘．設乙每小時走x㎞，則可列方程為()A、B、C、D、當堂練習2、某農場挖一條960m長的渠道，開工后每天比原計劃多挖20m，結果提前4天完成了任務。若設原計劃每天挖xm，則根據題意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、甲乙兩人同時從A地出發，騎自行車到B地，已知兩地AB的距1、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆水航行48km所需時間相同.已知水流的速度是2km/h，求輪船在靜水中航行的速度.練習2、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執行任務，由于情況發生了變化，急行軍速度必需是原計劃的1.5倍，才能按要求提前2小時到達，求急行軍的速度。3、甲、乙分別從相距36千米的A、B兩地同時相向而行．甲從A出發到1千米時發現有東西遺忘在A地，立即返回，取過東西后又立即從A向B行進，這樣二人恰好在AB中點處相遇，又知甲比乙每小時多走0.5千米，求二人速度．1、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆7、一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完成，如果乙隊獨做，就要超過規定3天，現在由甲、乙兩隊合作2天，剩下的由乙隊獨做，也剛好在規定日期內完成，問規定日期是幾天？

6、甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？4.某班學生到距學校12千米的烈士陵園掃墓,一部分人騎自行車先行,經0.5時后,其余的人乘汽車出發,結果他們同時到達.已知汽車的速度是自行車的3倍,求自行車和汽車的速度.5.某農場開挖一條長960米的渠道，開工后工作效率比計劃提高50%，結果提前4天完成任務，原計劃每天挖多少米？7、一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完1.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？

2.甲、乙兩人練習騎自行車，已知甲每小時比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時間和乙起騎60千米所用時間相等，求甲、乙每小時各騎多少千米？

3.甲、乙兩種商品，已知甲的價格每件比乙多6元，買甲90件所用的錢和買乙60件所用錢相等，求甲、乙每件商品的價格各多少元？下面三個問題有什么區別和聯系？議一議1.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲小結

列分式方程解應用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出數量關系和相等關系.2.設:選擇恰當的未知數,注意單位和語言完整.3.列:根據數量和相等關系,正確列出代數式和方程.4.解:認真仔細.5.驗:有兩次檢驗.6.答:注意單位和語言完整.且答案要生活化.檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.作業：P36練習1、P36A2、4小結列分式方程解應用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）執教：黃亭市鎮中學

湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面產生關系。一個相等關系.（和/倍/不同方案間不變量的相等）設未知數(直接設，間接設),包括單位名稱.把相等關系中各個量轉化成代數式,從而列出方程.解方程,求出未知數的值(x=a).代入方程檢驗。檢驗所求解是否符合題意，寫出答案。審設列找答解回顧與復習列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等,求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料?解：設B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由題意可知方程變形為：1000x=800(x+20)x=80檢驗:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合題意.答：B型機器人每小時搬運80kg，A型機器人每小時搬運100kg.引入問題課前熱身

強調：既要檢驗所求的解是否是原分式方程的解，還要檢驗是否符合題意；

動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.（1）審清題意；（2）設未知數（要有單位）；（3）找出相等關系，列出方程；（4）解方程，并驗根。（5）寫出答案（要有單位）。例題講解與練習例1.

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，完成全部工程，哪個隊的施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程的

,設乙隊如果單獨完成施工1個月能完成總工程的

,那么甲隊半個月完成總工程的

，乙隊半個月完成總工程的

，兩隊半個月完成總工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙隊的施工速度快。歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否

例2

A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車的速度之比為5：2，求兩車的速度。分析：

已知兩邊的速度之比為5：2，所以設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，而A、B兩地相距135千米，則大車行駛時間

小時，小車行駛時間

小時，又知大車早出發5小時，比小車早到30分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多4.5小時.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，根據題意得解之得x=9經檢驗x=9是原方程的解當x=9時，2x=18，5x=45

答：大車的速度為18千米/時，小車的速度為45千米/時.例2A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽例3：農機廠到距工廠15km的向陽村檢修農機，一部分人騎自行車先走，過了40分鐘，其余人乘汽車去，結果他們同時到達，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度。分析：設自行車的速度是xkm/h，汽車的速度是3xkm/h請根據題意填寫速度、時間、路程之間的關系表速度(km/h)路程(km)時間（h）自行車

汽車

x3x1515x153x15找出等量關系。列出方程。汽車所用的時間＝自行車所用時間－時3232x153x15=-借助表格分析數量關系解答由學生完成。例3：農機廠到距工廠15km的向陽村檢修農機，一部分人騎自行1、甲乙兩人同時從A地出發，騎自行車到B地，已知兩地AB的距離為30㎞，甲每小時比乙多走3㎞，并且比乙先到40分鐘．設乙每小時走x㎞，則可列方程為()A、B、C、D、當堂練習2、某農場挖一條960m長的渠道，開工后每天比原計劃多挖20m，結果提前4天完成了任務。若設原計劃每天挖xm，則根據題意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、甲乙兩人同時從A地出發，騎自行車到B地，已知兩地AB的距1、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆水航行48km所需時間相同.已知水流的速度是2km/h，求輪船在靜水中航行的速度.練習2、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執行任務，由于情況發生了變化，急行軍速度必需是原計劃的1.5倍，才能按要求提前2小時到達，求急行軍的速度。3、甲、乙分別從相距36千米的A、B兩地同時相向而行．甲從A出發到1千米時發現有東西遺忘在A地，立即返回，取過東西后又立即從A向B行進，這樣二人恰好在AB中點處相遇，又知甲比乙每小時多走0.5千米，求二人速度．1、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆7、一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完成，如果乙隊獨做，就要超過規定3天，現在由甲、乙兩隊合作2天，剩下的由乙隊獨做，也剛好在規定日期內完成，問規定日期是幾天？

6、甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？4.某班學生到距學校12千米的烈士陵園掃墓,一部分人騎自行車先行,經0.5時后,其余的人乘汽車出發,結果他們同時到達.已知汽車的速度是自行車的3倍,求自行車和汽車的速度.5.某農場開挖一條長960米的渠道，開工后工作效率比計劃提高50%，結果提前4天完成任務，原計劃每天挖多少米？7、一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完1.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？

2.甲、乙兩人練習騎自行車，已知甲每小時比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時間和乙起騎60千米所用時間相等，求甲、乙每小時各騎多少千米？

3.甲、乙兩種商品，已知甲的價格每件比乙多6元，買甲90件所用的錢和買乙60件所用錢相等，求甲、乙每件商品的價格各多少元？下面三個問題有什么區別和聯系？議一議1.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲小結

列分式方程解應用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出數量關系和相等關系.2.設:選擇恰當的未知數,注意單位和語言完整.3.列:根據數量和相等關系,正確列出代數式和方程.4.解:認真仔細.5.驗:有兩次檢驗.6.答:注意單位和語言完整.且答案要生活化.檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.作業：P36練習1、P36A2、4小結列分式方程解應用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出等腰三角形本課內容本節內容2.3等腰三角形本課內容本節內容2.3

我們前面已經學習了三角形的一些性質，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質外，還具有哪些特殊的性質呢？我們前面已經學習了三角形的一些性質，那么等腰三角形除探究

任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12探究任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點B的像是點C，點C的像是點

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關于直線

對稱.ABABBADABABBAD由于點D的像是點D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=由于點D的像是點D，DC中線DA=90高CB=結論由此得到等腰三角形的性質定理：

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.結論由此得到等腰三角形的性質定理：等腰三角形是軸對稱

等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).

結論

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).結動腦筋因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關系呢？動腦筋因為△ABC是等邊三角形，如圖，△ABC是等邊由此得到等邊三角形的如下性質：等邊三角形的三個內角相等，且都等于60°.結論由此得到等邊三角形的如下性質：等邊三角形的三個內角相等，且都

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內角的平分線所在的直線.由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E

在邊BC上，且AD=AE.

求證：BD=CE.舉例證明

作AF⊥BC，垂足為點F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E舉證明

如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點D掛一個重錘，自然下垂，調整架身，使點A恰好在鉛錘線上.（1）AD與BC是否垂直，試說明理由.（2）這時BC處于水平位置，為什么？議一議如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點D掛一個練習1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數及DC的長.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.練習1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上答：2.如圖，點P為等邊三角形ABC的邊BC上一點，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度數.答：∠DPC=20°.2.如圖，點P為等邊三角形ABC的邊BC上一答：∠DPC

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關系嗎？我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等我測量后發現AB與AC相等.3cm3cm我測量后發現AB與AC相等.3cm3cm事實上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內角和的性質得∠ADB=∠ADC.D12事實上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點B與點C重合，于是AB=AC.沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以結論有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).結論有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).結論三個角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結合三角形內角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：結論三個角都是60°的三角形是等邊三角形.由此并且結例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E

分別是AB，AC上的點，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.舉例證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E舉證明

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？動腦筋有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內角和定理得∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內角和定理得由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結論有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結論有一個角是60°的等例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E

分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.舉例證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E舉證明練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和ABCDEO∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長線于點E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.2.已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE證明∵C3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.

求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，證明中考試題例1

等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角形周長為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一邊長為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關系定理，故選5.∴周長為5+5+2=12cm.中考試題例1等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，中考試題例2

若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°解析

因為50°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D中考試題例2若等腰三角形中有一個角等于50°，則這結束結束湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）執教：黃亭市鎮中學

湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面產生關系。一個相等關系.（和/倍/不同方案間不變量的相等）設未知數(直接設，間接設),包括單位名稱.把相等關系中各個量轉化成代數式,從而列出方程.解方程,求出未知數的值(x=a).代入方程檢驗。檢驗所求解是否符合題意，寫出答案。審設列找答解回顧與復習列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等,求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料?解：設B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由題意可知方程變形為：1000x=800(x+20)x=80檢驗:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合題意.答：B型機器人每小時搬運80kg，A型機器人每小時搬運100kg.引入問題課前熱身

強調：既要檢驗所求的解是否是原分式方程的解，還要檢驗是否符合題意；

動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.（1）審清題意；（2）設未知數（要有單位）；（3）找出相等關系，列出方程；（4）解方程，并驗根。（5）寫出答案（要有單位）。例題講解與練習例1.

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，完成全部工程，哪個隊的施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程的

,設乙隊如果單獨完成施工1個月能完成總工程的

,那么甲隊半個月完成總工程的

，乙隊半個月完成總工程的

，兩隊半個月完成總工程的

.131x1612x1612x+1612x+13+=1得方程：解得：x=1

所以乙隊的施工速度快。歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否

例2

A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽車比小汽車早出發5小時，小汽車比大汽車晚到30分鐘，已知小汽車與大汽車的速度之比為5：2，求兩車的速度。分析：

已知兩邊的速度之比為5：2，所以設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，而A、B兩地相距135千米，則大車行駛時間

小時，小車行駛時間

小時，又知大車早出發5小時，比小車早到30分鐘，實際大車行駛時間比小車行駛時間多4.5小時.2x1355x1352x1355x135-=5-0.5解：設大車的速度為2x千米/時，小車的速度為5x千米/時，根據題意得解之得x=9經檢驗x=9是原方程的解當x=9時，2x=18，5x=45

答：大車的速度為18千米/時，小車的速度為45千米/時.例2A，B兩地相距135千米，兩輛汽車從A開往B，大汽例3：農機廠到距工廠15km的向陽村檢修農機，一部分人騎自行車先走，過了40分鐘，其余人乘汽車去，結果他們同時到達，已知汽車的速度是自行車的3倍，求兩車的速度。分析：設自行車的速度是xkm/h，汽車的速度是3xkm/h請根據題意填寫速度、時間、路程之間的關系表速度(km/h)路程(km)時間（h）自行車

汽車

x3x1515x153x15找出等量關系。列出方程。汽車所用的時間＝自行車所用時間－時3232x153x15=-借助表格分析數量關系解答由學生完成。例3：農機廠到距工廠15km的向陽村檢修農機，一部分人騎自行1、甲乙兩人同時從A地出發，騎自行車到B地，已知兩地AB的距離為30㎞，甲每小時比乙多走3㎞，并且比乙先到40分鐘．設乙每小時走x㎞，則可列方程為()A、B、C、D、當堂練習2、某農場挖一條960m長的渠道，開工后每天比原計劃多挖20m，結果提前4天完成了任務。若設原計劃每天挖xm，則根據題意可列出方程（）A、C、B、D、BA1、甲乙兩人同時從A地出發，騎自行車到B地，已知兩地AB的距1、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆水航行48km所需時間相同.已知水流的速度是2km/h，求輪船在靜水中航行的速度.練習2、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執行任務，由于情況發生了變化，急行軍速度必需是原計劃的1.5倍，才能按要求提前2小時到達，求急行軍的速度。3、甲、乙分別從相距36千米的A、B兩地同時相向而行．甲從A出發到1千米時發現有東西遺忘在A地，立即返回，取過東西后又立即從A向B行進，這樣二人恰好在AB中點處相遇，又知甲比乙每小時多走0.5千米，求二人速度．1、一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆7、一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完成，如果乙隊獨做，就要超過規定3天，現在由甲、乙兩隊合作2天，剩下的由乙隊獨做，也剛好在規定日期內完成，問規定日期是幾天？

6、甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？4.某班學生到距學校12千米的烈士陵園掃墓,一部分人騎自行車先行,經0.5時后,其余的人乘汽車出發,結果他們同時到達.已知汽車的速度是自行車的3倍,求自行車和汽車的速度.5.某農場開挖一條長960米的渠道，開工后工作效率比計劃提高50%，結果提前4天完成任務，原計劃每天挖多少米？7、一項工程，需要在規定日期內完成，如果甲隊獨做，恰好如期完1.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲做90個零件所用的時間和乙做60個零件所用時間相等，求甲、乙每小時各做多少個零件？

2.甲、乙兩人練習騎自行車，已知甲每小時比乙多走6千米，甲騎90千米所用的時間和乙起騎60千米所用時間相等，求甲、乙每小時各騎多少千米？

3.甲、乙兩種商品，已知甲的價格每件比乙多6元，買甲90件所用的錢和買乙60件所用錢相等，求甲、乙每件商品的價格各多少元？下面三個問題有什么區別和聯系？議一議1.甲、乙兩人做某種機器零件，已知甲每小時比乙多做6個，甲小結

列分式方程解應用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出數量關系和相等關系.2.設:選擇恰當的未知數,注意單位和語言完整.3.列:根據數量和相等關系,正確列出代數式和方程.4.解:認真仔細.5.驗:有兩次檢驗.6.答:注意單位和語言完整.且答案要生活化.檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.作業：P36練習1、P36A2、4小結列分式方程解應用題的一般步驟：1.審:分析題意,找出湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）執教：黃亭市鎮中學

湘教版SHUXUE八年級上本節內容1.5分式方程的應用（一）列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物在什么方面產生關系。一個相等關系.（和/倍/不同方案間不變量的相等）設未知數(直接設，間接設),包括單位名稱.把相等關系中各個量轉化成代數式,從而列出方程.解方程,求出未知數的值(x=a).代入方程檢驗。檢驗所求解是否符合題意，寫出答案。審設列找答解回顧與復習列方程解應用題的一般步驟分析題中已知什么,求什么.有哪些事物動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等,求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料?解：設B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由題意可知方程變形為：1000x=800(x+20)x=80檢驗:x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，x=80是原方程的根，并符合題意.答：B型機器人每小時搬運80kg，A型機器人每小時搬運100kg.引入問題課前熱身

強調：既要檢驗所求的解是否是原分式方程的解，還要檢驗是否符合題意；

動腦筋問題1、A,B兩種型號機器人搬運原料,已知A型機器人比歸納概括列分式方程解應用題的一般步驟：檢驗目的是:(1)是否是所列方程的解;(2)是否滿足實際意義.（1）審清題意；（2）設未知數（要有單位）；（3）找出相等關系，列出方程；（4）解方程，并驗根。（5）寫出答案（要有單位）。例題講解與練習例1.

兩個工程隊共同參與一項筑路工程，甲隊單獨施工1個月完成總工程的三分之一，這時增加了乙隊，兩隊又共同工作了半個月，完成全部工程，哪個隊的施工速度快？分析：甲隊1個月完成總工程的

,設乙隊如果單獨完成施工1個月能完成總工程的

,那么甲隊半個月完成總工程的

，乙隊半個月完成總工程的

，兩隊半個月完成總工程的

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