對26、27屆全國物理競賽預賽若干問題的思考柯橋中學孫國標對26、27屆全國物理競賽柯橋中學孫國標1一、衛星發射能量的計算

題目：(第27屆物理競賽預賽第8題)選擇合適的衛星發射地發射衛星，對提高運載效率、節省燃料等方面都有影響（特別是對同步衛星的發射）。如果在地球表面緯度為φ處發射一顆繞地球表面運行的人造地球衛星，假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球自轉的角速度為w，地球半徑為R，地球表面處重力加速度為g，衛星質量為m，則至少要給衛星的能量為____________。設重力加速度g=9.8m/s2，地球半R=6.40×106m，衛星質量m=1.00×103kg，若發射地在酒泉，其緯度為北緯40度58分，則所需的能量為_________J；若發射地在文昌，其緯度為北緯19度19分，則所需的能量為_________J。一、衛星發射能量的計算題目：(第27屆物理競賽預賽第8題2緯度為φ處地球自轉的速度為(相對于地心)地球表面發射一顆衛星繞地球運轉，衛星的速度為（相對于地心）。觀點一：以地面為參考系，根據，衛星相對于地面的速度為，發射衛星所需的最小能量為因此在酒泉發射，需能量，在文昌發射，需能量緯度為φ處地球自轉的速度為(相對于地心)3觀點一：以地面為參考系，根據，衛星相對于地面的速度為，發射衛星所需的最小能量為因此在酒泉發射，需能量，在文昌發射，需能量觀點二：以地心為參考系，發射衛星所需的最小能量為因此在酒泉發射，需能量，在文昌發射，需能量觀點一：以地面為參考系，根據4計算衛星發射的能量不僅要考慮衛星增加的動能，還要考慮發射附件（主要是燃料燃燒產生的氣體）增加的動能，即要考慮系統總機械能的增量。若考慮到這一點，兩種參考系下求得的能量應該是一致的，下面從理論上加以論證。

理論分析：設火箭初始的總質量為M，衛星的質量為m，我們認為火箭燃料燒盡后都以氣體形式噴出，其質量為M-m。計算衛星發射的能量不僅要考慮衛星增加的動51）以地面為參考系，設氣體相對于地面的速度大小為u，則發射衛星的最小能量為把衛星和噴出的氣體作為系統，規定衛星運動方向為正，由動量守恒定律得：由上面兩式得發射衛星的最小能量為1）以地面為參考系，設氣體相對于地面的速度大小為u，則發射衛62）以地心為參考系，設氣體相對于地心的速度為u’，則發射衛星的最小能量為把衛星和噴出的氣體作為系統，規定衛星運動方向為正，由動量守恒定律得：由上面兩式得發射衛星的最小能量為2）以地心為參考系，設氣體相對于地心的速度為u’，把衛星和7可見，衛星發射所需能量與參考系選取無關，只與衛星質量與燃料質量的比值及衛星發射的始末相對速度有關，因此開頭提出的兩種觀點的計算都是不確切的。在近似計算中，由于衛星的質量m比火箭的初始質量M要小得多，即m<<M，因此都可近似等于，這與競賽委員會給出的參考答案是相符的，也是很多資料中給出計算衛星發射所需能量的方法，但值得注意的是這個計算結果不是因為地面參考系更為合理，而是因為系統總的機械能增加量近似等于這個值，與參考系選擇無關?？梢姡l星發射所需能量與參考系選取無關，只與衛星質量8二、條件太多，答案不唯一——對26屆物理競賽預賽第14題解法的思考如圖所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的剛性U型金屬導軌，導軌中接有阻值為R的電阻，它們的質量為m0。導軌的兩條軌道間的距離為l。PQ是質量為m的金屬桿，可在軌道上滑動，滑動時保持與軌道垂直，桿與軌道的接觸是粗糙的，桿與導軌的電阻均不計。初始時，桿PQ位于圖中的虛線處，虛線的右側為一勻強磁場區域，磁場方向垂直于桌面，磁感應強度的大小為B。現有一位于導軌平面內的與軌道平行的恒力F作用于PQ上，使之從靜止開始的軌道上向右作加速運動。已知經過時間t，PQ離開虛線的距離為x，此時通過電阻的電流為I0，導軌向右移動的距離為x0（導軌的N1N2部分尚未進入磁場區域）。求在此過程中電阻所消耗的能量。不考慮回路的自感。N1N2M2M1RPQF二、條件太多，答案不唯一9N1N2M2M1RPQF解法一：對導體棒分析，由動能定理得PQ離開虛線x時，通過導體棒電流為I0對導軌分析，在摩擦力作用下做勻加速得：N1N2M2M1RPQF解法一：對導體棒分析，由動能定理得P10N1N2M2M1RPQF解法二：N1N2M2M1RPQF解法二：11解法三：解法三：12解法四：解法四：13（第26屆預賽第6題）傳統的雷達天線依靠轉動天線來搜索空中各個方向的目標，這嚴重影響了搜索的速度。現代的“雷達”是“相位控制陣列雷達”，它是由數以萬計的只有幾厘米或更小的小天線按一定的順序排列成的天線陣，小天線發出相干的電磁波，其初相位可通過電子計算機調節，從而可改變空間干涉極強的方位，這就起了快速掃描搜索空中各個方向目標的作用對下的簡單模型的研究，有助于了解改變相干波的初相位差對空間干涉級強方位的影響。圖中a、b為相鄰兩個小天線，間距為d，發出波長為λ的相干電磁波。Ox軸通過a、b的中點且垂直于a、b的連線。若已知當a、b發出的電磁波在a、b處的初相位相同即相位差為0時，將在與x軸成θ角（θ很?。┓较虻倪h處形成干涉極強，現設法改變a、b發出的電磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一個小量φ，結果，原來相干極強的方向將從θ變為θ’，則θ—θ’等于______________________。三、對干涉的正確理解（第26屆預賽第6題）傳統的雷達天線依靠轉動天線來搜索空中各14s1s2pr1r2設波源S1的振動方程為波源S2的振動方程為則P點同時參與了兩個振動三、對干涉的正確理解s1s2pr1r2設波源S1的振動方程為波源S2的振動方程為15由疊加原理得P點合振動：相位差合振幅c)其他情況合振幅在最大值與最小值之間。干涉加強

(干涉相長）b)干涉減弱

（干涉相消）s1s2pr1r2由疊加原理得P點合振動：相位差合振幅c)其他情況合振幅在最16(1)a、b處的初相位相同即相位差為0(2)b的初相位比a的落后一個小量φ,結果，原來相干極強的方向將從θ變為θ‘

(1)a、b處的初相位相同即相位差為0(2)b的初相位比a的17四、電容器充放電的暫態分析（第26屆預賽第5題）電容器在開始充電的瞬間相當于短路電容器在充電結束后相當于斷路U23U12=U34U14U13四、電容器充放電的暫態分析（第26屆預賽第5題）電容器在開始18設充電過程中任意時刻，電流為i根據閉合電路歐姆定律得對電容器分析代入得且t=0時刻，U=0，充電完畢后U=E，則c’’=E設充電過程中任意時刻，電流為i根據閉合電路歐姆定律得對電容器19對2627屆全國物理競賽預賽若干問題的思考課件20電源提供的能量電容器儲存的能量不管外電阻多少，電阻上消耗的能量永遠是電源提供的能量電容器儲存的能量不管外電阻多少，電阻上消耗的能21五、軌跡方程在解題中的應用（26屆預賽16題）一個質量為m1的廢棄人造地球衛星在離地面h=800km高空作圓周運動，在某處和一個質量為m2=m1的太空碎片發生迎頭正碰，碰撞時間極短，碰后二者結合成一個物體并作橢圓運動。碰撞前太空碎片作橢圓運動，橢圓軌道的半長軸為7500km，其軌道和衛星軌道在同一平面內。已知質量為m的物體繞地球作橢圓運動時，其總能量即動能與引力勢能之和E=，式中G是引力常量，M是地球的質量，a為橢圓軌道的半長軸。設地球是半徑R=6371km的質量均勻分布的球體，不計空氣阻力。（1）試定量論證碰后二者結合成的物體會不會落在地球上。（2）如果此事件是發生在北極上空（地心和北極的連線方向上），碰后二者結合成的物體與地球相碰處的緯度是多少？五、軌跡方程在解題中的應用（26屆預賽16題）一個質量為m122若2a<2R+h,則衛星將與地面相撞設碰撞前衛星作圓周運動的速度為v1，五、軌跡方程在解題中的應用若2a<2R+h,則衛星設碰撞前衛星作圓周運動的速度為v1，23設碰撞前太空碎片的速度為v2由機械能守恒得五、軌跡方程在解題中的應用設碰撞前太空碎片的速度為v2由機械能守恒得五、軌跡方程在解題24碰撞過程由動量守恒得

m1v1－m2v2=(m1+m2)v

由機械能守恒得代人有關數據得a'=5259km

2a‘<2R+h，衛星將與地面發生碰撞五、軌跡方程在解題中的應用碰撞過程由動量守恒得m1v1－m2v2=(m1+m2)v25xyOa=5295kma+c=7171kmc=1912km衛星與碎片碰撞后的軌跡方程θ設地球與橢圓軌道的交點為（x,y）五、軌跡方程在解題中的應用xyOa=5295kma+c=7171kmc=1912km衛26一個典型的錯解O1O2一個典型的錯解O1O227O1xy450O1xy45028六、對稱性的應用UA+UB+UCUB+UA+UBUC+UA+UBUB-UCUB-UC0六、對稱性的應用UA+UB+UCUB+UA+UB29UBA增大UBC增大UAC不變UBA增大UBC增大UAC不變30謝謝！謝謝！31對26、27屆全國物理競賽預賽若干問題的思考柯橋中學孫國標對26、27屆全國物理競賽柯橋中學孫國標32一、衛星發射能量的計算

題目：(第27屆物理競賽預賽第8題)選擇合適的衛星發射地發射衛星，對提高運載效率、節省燃料等方面都有影響（特別是對同步衛星的發射）。如果在地球表面緯度為φ處發射一顆繞地球表面運行的人造地球衛星，假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球自轉的角速度為w，地球半徑為R，地球表面處重力加速度為g，衛星質量為m，則至少要給衛星的能量為____________。設重力加速度g=9.8m/s2，地球半R=6.40×106m，衛星質量m=1.00×103kg，若發射地在酒泉，其緯度為北緯40度58分，則所需的能量為_________J；若發射地在文昌，其緯度為北緯19度19分，則所需的能量為_________J。一、衛星發射能量的計算題目：(第27屆物理競賽預賽第8題33緯度為φ處地球自轉的速度為(相對于地心)地球表面發射一顆衛星繞地球運轉，衛星的速度為（相對于地心）。觀點一：以地面為參考系，根據，衛星相對于地面的速度為，發射衛星所需的最小能量為因此在酒泉發射，需能量，在文昌發射，需能量緯度為φ處地球自轉的速度為(相對于地心)34觀點一：以地面為參考系，根據，衛星相對于地面的速度為，發射衛星所需的最小能量為因此在酒泉發射，需能量，在文昌發射，需能量觀點二：以地心為參考系，發射衛星所需的最小能量為因此在酒泉發射，需能量，在文昌發射，需能量觀點一：以地面為參考系，根據35計算衛星發射的能量不僅要考慮衛星增加的動能，還要考慮發射附件（主要是燃料燃燒產生的氣體）增加的動能，即要考慮系統總機械能的增量。若考慮到這一點，兩種參考系下求得的能量應該是一致的，下面從理論上加以論證。

理論分析：設火箭初始的總質量為M，衛星的質量為m，我們認為火箭燃料燒盡后都以氣體形式噴出，其質量為M-m。計算衛星發射的能量不僅要考慮衛星增加的動361）以地面為參考系，設氣體相對于地面的速度大小為u，則發射衛星的最小能量為把衛星和噴出的氣體作為系統，規定衛星運動方向為正，由動量守恒定律得：由上面兩式得發射衛星的最小能量為1）以地面為參考系，設氣體相對于地面的速度大小為u，則發射衛372）以地心為參考系，設氣體相對于地心的速度為u’，則發射衛星的最小能量為把衛星和噴出的氣體作為系統，規定衛星運動方向為正，由動量守恒定律得：由上面兩式得發射衛星的最小能量為2）以地心為參考系，設氣體相對于地心的速度為u’，把衛星和38可見，衛星發射所需能量與參考系選取無關，只與衛星質量與燃料質量的比值及衛星發射的始末相對速度有關，因此開頭提出的兩種觀點的計算都是不確切的。在近似計算中，由于衛星的質量m比火箭的初始質量M要小得多，即m<<M，因此都可近似等于，這與競賽委員會給出的參考答案是相符的，也是很多資料中給出計算衛星發射所需能量的方法，但值得注意的是這個計算結果不是因為地面參考系更為合理，而是因為系統總的機械能增加量近似等于這個值，與參考系選擇無關?？梢姡l星發射所需能量與參考系選取無關，只與衛星質量39二、條件太多，答案不唯一——對26屆物理競賽預賽第14題解法的思考如圖所示，M1N1N2M2是位于光滑水平桌面上的剛性U型金屬導軌，導軌中接有阻值為R的電阻，它們的質量為m0。導軌的兩條軌道間的距離為l。PQ是質量為m的金屬桿，可在軌道上滑動，滑動時保持與軌道垂直，桿與軌道的接觸是粗糙的，桿與導軌的電阻均不計。初始時，桿PQ位于圖中的虛線處，虛線的右側為一勻強磁場區域，磁場方向垂直于桌面，磁感應強度的大小為B?，F有一位于導軌平面內的與軌道平行的恒力F作用于PQ上，使之從靜止開始的軌道上向右作加速運動。已知經過時間t，PQ離開虛線的距離為x，此時通過電阻的電流為I0，導軌向右移動的距離為x0（導軌的N1N2部分尚未進入磁場區域）。求在此過程中電阻所消耗的能量。不考慮回路的自感。N1N2M2M1RPQF二、條件太多，答案不唯一40N1N2M2M1RPQF解法一：對導體棒分析，由動能定理得PQ離開虛線x時，通過導體棒電流為I0對導軌分析，在摩擦力作用下做勻加速得：N1N2M2M1RPQF解法一：對導體棒分析，由動能定理得P41N1N2M2M1RPQF解法二：N1N2M2M1RPQF解法二：42解法三：解法三：43解法四：解法四：44（第26屆預賽第6題）傳統的雷達天線依靠轉動天線來搜索空中各個方向的目標，這嚴重影響了搜索的速度?，F代的“雷達”是“相位控制陣列雷達”，它是由數以萬計的只有幾厘米或更小的小天線按一定的順序排列成的天線陣，小天線發出相干的電磁波，其初相位可通過電子計算機調節，從而可改變空間干涉極強的方位，這就起了快速掃描搜索空中各個方向目標的作用對下的簡單模型的研究，有助于了解改變相干波的初相位差對空間干涉級強方位的影響。圖中a、b為相鄰兩個小天線，間距為d，發出波長為λ的相干電磁波。Ox軸通過a、b的中點且垂直于a、b的連線。若已知當a、b發出的電磁波在a、b處的初相位相同即相位差為0時，將在與x軸成θ角（θ很小）方向的遠處形成干涉極強，現設法改變a、b發出的電磁波的初相位，使b的初相位比a的落后一個小量φ，結果，原來相干極強的方向將從θ變為θ’，則θ—θ’等于______________________。三、對干涉的正確理解（第26屆預賽第6題）傳統的雷達天線依靠轉動天線來搜索空中各45s1s2pr1r2設波源S1的振動方程為波源S2的振動方程為則P點同時參與了兩個振動三、對干涉的正確理解s1s2pr1r2設波源S1的振動方程為波源S2的振動方程為46由疊加原理得P點合振動：相位差合振幅c)其他情況合振幅在最大值與最小值之間。干涉加強

(干涉相長）b)干涉減弱

（干涉相消）s1s2pr1r2由疊加原理得P點合振動：相位差合振幅c)其他情況合振幅在最47(1)a、b處的初相位相同即相位差為0(2)b的初相位比a的落后一個小量φ,結果，原來相干極強的方向將從θ變為θ‘

(1)a、b處的初相位相同即相位差為0(2)b的初相位比a的48四、電容器充放電的暫態分析（第26屆預賽第5題）電容器在開始充電的瞬間相當于短路電容器在充電結束后相當于斷路U23U12=U34U14U13四、電容器充放電的暫態分析（第26屆預賽第5題）電容器在開始49設充電過程中任意時刻，電流為i根據閉合電路歐姆定律得對電容器分析代入得且t=0時刻，U=0，充電完畢后U=E，則c’’=E設充電過程中任意時刻，電流為i根據閉合電路歐姆定律得對電容器50對2627屆全國物理競賽預賽若干問題的思考課件51電源提供的能量電容器儲存的能量不管外電阻多少，電阻上消耗的能量永遠是電源提供的能量電容器儲存的能量不管外電阻多少，電阻上消耗的能52五、軌跡方程在解題中的應用（26屆預賽16題）一個質量為m1的廢棄人造地球衛星在離地面h=800km高空作圓周運動，在某處和一個質量為m2=m1的太空碎片發生迎頭正碰，碰撞時間極短，碰后二者結合成一個物體并作橢圓運動。碰撞前太空碎片作橢圓運動，橢圓軌道的半長軸為7500km，其軌道和衛星軌道在同一平面內。已知質量為m的物體繞地球作橢圓運動時，其總能量即動能與引力勢能之和E