十四函數模型及其應用…基礎落實練?一 3（）分鐘60分一、單選題（每小題5分，共20分）1.拉面是很多食客喜好的食物.師傅在制作拉面的時候，將面團先拉到一定長度，然后對折（對折后面條根數變為原來的2倍），再拉到上次面條的長度.每次對折后，師傅都要去掉拾在一只手里的面團.如果拉面師傅將300g面團拉成細絲面條，每次對折后去掉拾在手里的面團都是18g,第一次拉的長度是1m,共拉了7次，則最后每根1m長的細絲面條的質量（假定所有細絲面條粗細均勻，質量相等）是（）87A.—gB.3gC.1.5gD.3.5g【解析】選B.拉面師傅拉7次面條共有27T=2'=64根面條，在7次拉面過程中共對折6次,則去掉面的質量為6X18=108g；剩下64根面條的總質量為300—108=192g,1Q9則每根面條的質量為正=3g.（2022?深圳模擬）核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA實時監測，在PCR擴增的指數時期，熒光信號強度達到閾值時，DNA的數量無，與擴增次數〃滿足lgX產nlg（l+p）+lg%,其中p為擴增效率，友為DNA的初始數量.已知某被測標本DNA擴增10次后，數量變為原來的100倍，那么該樣本的擴增效率P約為（參考數據：10°z公l585,KT。2分0631）（）A.0.369B.0.415C.0.585D.0.631【解題指南】根據已知條件，可推得1g（100篇=101g（1+M+lg%,結合對數函數的性質，即可求解.【解析】選C.由題意可知，lg（100X）=101g（l+0）+lg%即2+lg%=101g（l+p）+lg所以1+0=10"2Q1.585,解得夕亡0.585.（2021?常熟模擬）生物體死亡后，它機體內原有的碳14含量P會按確定的比率衰減（稱為衰減率），夕與死亡年數￡之間的函數關系式為々住）a（其中a為常數），大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的79%,則可推斷該文物屬于(參考數據：log。79Q一0.34)()參考時間軸：TOC\o"1-5"\h\z-475-221-20202206189079601279公元2021年

-I 1 1 1-1 1 M 1 ?戰國漢 唐宋A.戰國B.漢C.唐D.宋【解析】選B.因為每經過5730年衰減為原來的一半，所以生物體內碳14的含量P與死亡t t年數t之間的函數關系式為人05730(〉0),由題意可得用5730=0.79,所以』；y2J 5730=-log20.79%0.34,可得948,由2021—1948=73,可推斷該文物屬于漢朝.(2021?濰坊模擬)某地區為落實鄉村振興戰略，幫助農民脫貧致富，引入一種特色農產品種植，該農產品上市時間僅能維持5個月，預測上市初期和后期會因產品供應不足使價格持續上漲，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌.經研究其價格模擬函數為f3=t(t—3”+〃，(0WtW5,其中t=0表示5月1日，1=1表示6月1日，以此類推)，若f(2)=6,為保護農戶的經濟效益，當地政府計劃在價格下跌時積極拓寬外銷，請你預測該農產品價格下跌的月份為()A.5月和6月 B.6月和7月C.7月和8月 D.8月和9月【解析】選B.因為￡(力=Mt—3尸+〃，/(2)=6,所以/'(2)=2+〃=6,所以〃=4所以f(t)=t(t-3)2+4,所以/(?)=(t-3)2+2t(t-3)=3(t-l)(t-3),令f(=VO得IVtV3,所以/1(力在(1,3)上單調遞減，因為t=l表示6月1日，1=2表示7月1日，t=3表示8月1日，所以該農產品價格下跌的月份為6月和7月.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)[64,5.某食品的保鮮時間X單位：小時)與存儲溫度/(單位：C)滿足函數關系、八且Iz,x>0該食品在4℃的保鮮時間是16小時.已知甲在某日上午10時購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時間變化如圖所示，則以下四個結論正確的是()A.該食品在6°C的保鮮時間是8小時B.當xe[—6,6]時，該食品的保鮮時間t隨著x的增大而逐漸減少C.到了此日13時，甲所購買的食品還在保鮮時間內D.到了此日14時，甲所購買的食品已然過了保鮮時間[64,后0【解析】選AD.因為食品的保鮮時間力與儲藏溫度x滿足函數關系式t=\ ,且該食品在4c時保鮮時間是16小時.所以*+6=16,即"+6=4,解得〃=一；.[64,x=0A.當*=6時，t=8,所以該食品在6c的保鮮時間是8小時，故A正確；B.當6,0)時，時間￡不變，故B錯誤；C.由題圖象可知，當到此日12小時，溫度超過12度，此時的保鮮時間不超過1小時，所以到了此日13時，甲所購買的食品不在保鮮時間內，故C錯誤；D由C知，D正確.6.甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一方向運動，它們行走的路程￡(x)(/=l,2,3,4)關于時間x(x20)的函數關系式分別為(x)=2r—1,f2(x)=x2,分(x)=x,/(x)=log2(x+l),則下列結論正確的是()A.當x>\時，甲走在最前面B.當*〉1時，乙走在最前面C.當(KK1時，丁走在最前面，當x〉l時，丁走在最后面D.如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲【解析】選CD.甲、乙、丙、丁的路程￡(x)(/=l,2,3,4)關于時間x(“20)的函數關系式分別為￡(x)=2*—1,E(x)=x\/3(x)=x,工(x)=log2U+1),它們對應的函數模型分別為指數型函數模型、二次函數模型、一次函數模型、對數型函數模型.當x=2時，￡(2)=3,￡(2)=4,所以A不正確；當x=5時，￡(5)=31,￡(5)=25,所以B不正確.根據四種函數的變化特點，對數型函數的增長速度是先快后慢，又當x=l時，甲、乙、丙、丁四個物體走過的路程相等，從而可知，當0<Kl時，丁走在最前面，當力1時，丁走在最后面，所以C正確；指數型函數的增長速度是先慢后快，當運動的時間足夠長時，最前面的物體一定是按照指數型函數模型運動的物體，即一定是甲物體，所以D正確.三、填空題(每小題5分，共10分).已知函數/1(*)=3',g(x)=x,當xGR時，f(x)與g(x)的大小關系為.【解析】在同一直角坐標系中畫出函數￡(*)=3*,/才)=*的圖象，如圖所示：由于函數f(x)=3、的圖象在函數g(x)=x圖象的上方，則/'(x)>g(x).答案：f(x)>g(x).高壓10kV輸電線路電壓損失估算口訣：架空鋁線十千伏，電壓損失百分數；輸距電流積六折，再被導線截面除；輸距千米電流安，截面毫方記清楚.其意義為“對于高壓10kV的架空鋁線，若輸電線路的輸距為xkm,電流為yA,導線截面為zmm2,則電壓損失百分數外="旦%.”據此可知，對于一條長度為10km,高壓為10kV的輸電線路，若當導線截Z面為50mm2,電流為30A時的電壓損失百分數為，臨當導線截面為40mm電流為35A時的電壓損失百分數為期，則或=.U2【解析】由題意可知4=。?6'々><30%=蔡%；50 50.6X10X35 21 d24〃％= 77 %；所以方=*.40 4 Uz35Fw24口案:記四、解答題(每小題10分，共20分).目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人.如果年平均增長率是L2%,請回答下列問題：(已知：1.0121°^1.1267,1.012"^1.1402,1g1.2-0.079,1g1.012%0.005)(1)寫出y關于x的函數解析式；⑵計算10年后該縣的人口總數(精確到0.1萬人)；(3)計算大約多少年后該縣的人口總數將達到120萬(精確到1年).【解析】(1)當x=l時，y=100+100Xl.2%=100(1+1.2%)；當x=2時，y=100(l+1.2%)+100(1+1.2%)X1.2%=100(1+1.2%)2；當x=3時，7=100(1+1.2%)2+100(14-1.2%)2X1.2%=100(14-1.2%)，故y關于x的函數解析式為y=100(l+l.2%)"(xWN*).(2)當x=10時,y=100X(1+1.2%)1°=100X1.O12,°^112.7.故10年后該縣約有112.7萬人.120(3)設x年后該縣的人口總數為120萬，即100義(1+1.2盼、=120,解得x=logi.%而-16.故大約16年后該縣的人口總數將達到120萬..(2021?保定模擬)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為Q,這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m)三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為36nl:鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：m?)與月份x(單位：月)的關系有兩個函數模型尸Aa'G>0,a>l)與尸0元+左(0>0,4>0)可供選擇.(1)試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦時放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份.(參考數據：1g2Q0.3010,1g3-0.4771).1【解析】(1)函數y=4a、(A>0,a>D與y=0石+4(0>0，4>0)在(0,+8)上都是增函數,隨著x的增加，函數y=〃a'G>0,a>l)的值增加的越來越快，而函數尸夕照+〃的值增加

的越來越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，因此選擇模型尸kaXk>0,a>l)符合要求.根據題意可知x=2時，y=24；x=3時，y=36,ka=24…，解得ka=24…，解得所以3 A、x所以3.故該函數模型的解析式為y=g,1W/W12,xCN*；39(2)當x=0時，y=—,元旦時放入鳳眼蓮的面積是與"m°,人32 ⑶* 32汨傳)*cri, , 1g10 1由了遍>1°?了，得舊>10>所以*>腿1°=一=lg3Tg2"5-7,2igi因為xEN*,所以X26,即鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦時放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是六月份.'?素養提升練 2()分鐘4()分.某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內，他的這支股票先經歷了〃次漲停(每次上漲10盼，又經歷了〃次跌停(每次下跌10%),則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A.略有盈利 B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法判斷盈虧情況【解析】選B.設該股民購進這支股票的價格為a元，則經歷〃次漲停后的價格為a(l+10%).=aXl.1〃元，經歷〃次跌停后的價格為aXL「X(l-10%)n=aX1.lnX0.9"=aX(1.1X0.9)"=0.99〃?a〈a,故該股民這支股票略有虧損..(多選題)通過研究學生的學習行為，心理學家發現，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述所用的時間.若用f(x)表示學生掌握和接受概念的能力(f(x)越大，表示學生的接受能力越強)，x表示提出和講授概念的時間(單位：min),長期的實驗和分析表明，f(x)與xr-0.1Z+2.6A-+43,0〈后10有以下關系：f(x)=<59,10〈層16 則下列說法正確的有()1-3%+107,16<^30A.講授開始時，學生的興趣遞增；中間有段時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注意力開始分散B.講課開始后第5分鐘比講課開始后第20分鐘，學生的接受能力更強一點C.講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學生的接受能力最強D.需要13分鐘講解的復雜問題，老師可以在學生的注意力至少達到55以上的情況下完成【解析】選ABC.由題意，f-0.l?+2.6A-+43,0<a<1059,10〈后16〔一3x+107,16〈后30當0<啟10時，/(x)=-0.1V+2.6^+43=-0.lU-13)2+59.9,故函數f(x)在(0,10]上單調遞增，最大值為『(10)=59；當10V后16時，/'(*)=59,當16VA<30時，f(x)=-3x+107,故f(x)單調遞減，所以/'(x)Vf(16)=59,當講授開始時，學生的興趣遞增；中間有段時間，學生的興趣保持較理想的狀態；隨后學生的注意力開始分散，故選項A正確；因為/(5)=-0.IX(5-13)2+59.9=59.9-6.4=53.5,f(20)=-3X20+107=47<53.5,所以講課開始后第5分鐘比講課開始后第20分鐘，學生的接受能力更強一點，故選項B正確;由選項A的分析可知，講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學生的接受能力最強，故選項C正確；當OVxWlO時，令/1(*)=55,則一0.IX(>-13)2=—4.9,所以(*-13產=49,解得*=20或x=6,又OVjt^IO,故x=6,當16Vx^30時，令/'(x)=55,則一3x+107=55,解得x=17^,因此學生達到(或超過)55的接受能力的時間為17；-6-11|<13,所以需要13分鐘講解的復雜問題，老師不可能在學生的注意力至少達到55以上的情況下完成，故選項D錯誤.3.(能力挑戰題)(多選題)如圖，在平面直角坐標系xa中，邊長為2的正方形46徵沿x軸滾動(無滑動滾動)，點，恰好經過坐標原點，設頂點6(x,力的軌跡方程是尸/'(x),則對函數尸f(x)的判斷正確的是()A.函數y=f(x)是奇函數B.對任意的xWR,都有/'(x+4)=f(x—4)C.函數尸f(x)的值域為[0,2y[2]D.函數y=f(x)在區間[6,8]上單調遞增【解析】選BCD.由題意得，當一4WxV—2時，頂點月(x,力的軌跡是以點加一2,0)為圓心,2為半徑的;圓；當一2<xV2時，頂點4(x,力的軌跡是以點(0,0)為圓心，2貶為半徑的;圓；當2WxV4時，頂點6(x,力的軌跡是以點(2,0)為圓心，2為半徑的;圓；當4WxV6時，頂點6(x,力的軌跡是以點(4,0)為圓心，2為半徑的;圓，與當一44xV—2時，B(x,0的軌跡的形狀相同.因此函數y=f(x)在［-4,4］上的圖象恰好為函數尸f(x)的一個周期的圖象，所以函數尸/Xx)的周期是8,作出y=f(x)在［-4,4］上的圖象如圖所示：由圖象及題意得，該函數為偶函數，故A錯誤；因為函數尸f(x)的周期為8,所以/'(x+8)=f(x),所以/'(x+4)=f(x—4),故B正確；由圖象可得，該函數的值域為［0,2鏡］,故C正確；因為該函數是以8為周期的函數，所以函數尸f(x)在區間［6,8］上的圖象與在區間［-2,0］上的圖象相同，所以y=f(x)在［6,8］上單調遞增，故D正確.4.某公司為了實現1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數額y(單位：萬元)隨銷售利潤*(單位：萬元)的增加而增加，但獎金數額不超過5萬元，同時獎金數額不超過利潤的25%,其中下列模型中能符合公司要求的是.(參考數據：L0036°°-6,1g7-0.845)①y=0.025x；②y=1.003*；③y=l+log/；④尸41()0/【解析】由題意知，符合公司要求的模型只需滿足：當xG［10,1000］時，(1)函數為增函數；(2)函數的最大值不超過5；(3)yWx?25%=；x,①中，函數y=0.025x,易知滿足(1),但當x〉200時，y>5不滿足公司要求；②中，函數y=l.003',易知滿足(D，但當x>600時，y〉5不滿足公司要求；3③中，函數尸i+iog,x,易知滿足⑴，且當戶1000時，y取最大值l+log7l000=1+1=lg7

<5,且l+log7X《：x恒成立，故滿足公司要求;④中，函數：（）（）X、易知滿足（1），但當x=400時，y>5不滿足公司要求.答案：③5.用洗衣機洗衣時，洗滌并甩干后進入漂洗階段.每次漂洗都經歷放水、漂洗、甩干三個過程.每次漂洗時，衣服的殘留物都能均勻溶于水，在甩干時也能被均勻甩出，并且每次甩干后重量（殘留物和水分重量總和）不變.假設衣服在洗滌并甩干后，殘留物與水分共有加千克,4其中水分場.（1）求第一次漂洗后剩余殘留物y與這次漂洗放入水的重量x的函數關系式.（2）若進行兩次漂洗，加入水總重量為a千克，求剩余殘留物y的最小值.1=y=ym【解析】（1）由題意可知，—-m+xm5（加+x）（2）設第一次漂洗后殘留物為y,第一次加入水量為乂，第二次加入的水量為蒞，則有乂+及1E勿 2因為=/即必=5（r+汨）又肝1F3Gf-N, 巴 所以尸加+及—5（勿+6（加+及），乂（7+x）（m+X）wj"j'+處）?（2/77+a）2=4'當且僅當小=及笥時取等號，故二次漂洗后殘留物y的最小值為總匕6.（2021?北京模擬）國家發展改革委、住房城鄉建設部于2017年發布了《生活垃圾分類制度實施方案》，規定46個城市在2020年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收、利用率要達35%以上.截至2019年底，這46個重點城市生活垃圾分類的居民小區覆蓋