第3章平均數、標準差與變異系數第3章平均數、標準差與變異系數1數據有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。表示數據集中趨勢的指標有多個，如平均數（算術平均數、幾何平均數）、中位數、眾數，使用最多的是算術平均數。表示數據離散趨勢的指標有多個，如極差、平均離差、方差與標準差，使用最多的是方差與標準差。數據有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。2資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數所得的商，稱為算術平均數，簡稱為平均數或均數。用符號表示。

平均數的意義：平均數用來描述資料的集中性，即指出資料中數據集中較多的中心位置,常用于同類性質資料間的相互比較。一、集中趨勢資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數所得的商，稱為算術平均數3計算方法1.直接法適用于樣本含量較小的非頻數資料如果一個含量為n的樣本，其n個觀察值分別用x1、x2……xn表示，則它們的平均數為其中，（Sigma）為總和符號，表示從第一個觀察值x1累加到第n個觀察值xn，若在意義上已明確時，簡記為x。計算方法4常數的總和等于該常數的n倍，即代數和的總和等于總和的代數和，即總和符號內的常數因子可以提取到總和符號之外，即其中C為常數（a為常數）關于總和符號的幾個性質常數的總和等于該常數的n倍，即其中C為常數（a為常數）關于52.加權法如果樣本中有n1個x1，有n2個x2，那么，n1+n2個數的平均數是加權平均數。同理：各組的次數fi

是權衡各組中值

xi在資料中所占比重大小的數量，因此f被稱為是x的“權”，加權法也由此而得名。2.加權法6在計算離散型頻數資料的平均數時，式中x為組值，f為頻數，N為總頻數（∑f），k為組數。在計算離散型頻數資料的平均數時，7表3-150只小雞出殼天數的頻數分布表表3-150只小雞出殼天數的頻數分布表8在計算連續型頻數資料的平均數時，式中m為組中值，f、N和k同上式。在計算連續型頻數資料的平均數時，9組別組中值m頻數（f）fm44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合計20010695表3-2某純系蛋雞200枚蛋重的頻數分布表

=10695/200=53.475組別組中值m頻數（f）fm44.25—45.02904510平均數有以下幾個基本特性：（1）平均數的計算與樣本內每個值都有關，它的大小受每個值的影響。（2）若每個xi都乘以相同的數k，則平均數亦應乘以k。（3）若每個xi都加上（或減去）相同的數A，則平均數亦應加上（或減去）A。平均數有以下幾個基本特性：（1）平均數的計算與樣本內每個值都11中位數(median)將資料中所有觀察值從小到大依次排列，處于中間位置的數。以Md表示。適用條件

資料呈偏態分布或頻數分布類型不明，以及一端或兩端無確定數值,這種資料用中位數作為代表值比用算術平均數為好。非頻數資料，先將各觀察值由小到大排列，當n為奇數時，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數，即：Md=x(n+1)/2中位數(median)將資料中所有觀察值從小到大依次12其中：L—中位數所在組的下限；i—組距；f—中位數所在組的頻數；n—總頻數；c—小于中數所在組的累積頻數。當n為偶數時，和位置的兩個觀察值之和的二分之一即為中位數，即：若資料已分組，并編制成了頻數分布表，可利用頻數分布表計算中數。其中：L—中位數所在組的下限；i—組距；f—中位數所在組的頻13潛伏期（小時）病例數f累計例數0——252512——588324——4012336——2314648——1215860——516372——1164[例]某地區有164人因沙門氏菌食物中毒，其潛伏期資料經整理如下表，試計算中位數。潛伏期（小時）病例數f累計例數0——252512——5814眾數（Mode）資料中出現次數最多的那個數或頻數最多一組的組中值，記為Mo。眾數（Mode）資料中出現次數最多的那個數或頻數最多一組的組15

fmax=24,Mo=2250只小雞出殼天數的頻數分布表Md=22fmax=24,Mo=2250只小雞出殼天16組別組中值m頻數（f）fx44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合計20010695表3-2某純系蛋雞200枚蛋重的頻數分布表

=10695/200=53.475fmax=44,Mo=52.5Md=53.35組別組中值m頻數（f）fx44.25—45.02904517幾何平均數(Geometricmean)定義

指n個觀察值乘積的n次方根。即適用條件

主要應用于數據呈倍數關系或不對稱分布的資料，算術平均數對這類資料的代表性差。如抗體效價（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長率或生長率、動態發展速度等。幾何平均數(Geometricmean)定義指n個觀18計算1、應用公式計算（實際應用時常取對數）計算19例海蝦養殖試驗，各旬的生長速度3.0，1.51.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長速度。解：即海蝦平均生長速度為1.38。其算術平均數為例海蝦養殖試驗，各旬的生長速度3.0，1.51.3，1.20當資料編成頻數分布表時，—各組組中值；—各組次數；當資料編成頻數分布表時，21二、離散趨勢資料的另一方面的特征是變異程度。如：

A組資料：3、4、5、6、7平均數為：5

B組資料：1、3、5、7、9平均數為：5

這里的平均數5對于A組資料的代表性好？還是對于B組資料的代表性好？

可見，只表明了數據的集中程度是遠遠不夠的，還需要進一步說明數據的變異程度。只有通過變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數據變異特征的數值叫變異數。常用的變異數有：極差、平均離差、方差、標準差、變異系數等。二、離散趨勢資料的另一方面的特征是變異程度。如：

A組資22極差（全距）極差=最大值-最小值只利用了資料中最大值和最小值，不能準確表達資料中各個觀察值的變異程度。平均離差

極差（全距）23它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統計學中未被采用消除離均差的負號離均差的平方之和（簡稱平方和，記為SS）稱為均方（縮寫為MS），又稱為樣本方差，記為S2標準差S離均差它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統計24首先求出離均差，即每個數與它們的平均數之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統計學理論，不要用樣本含量n去除），所得的商稱為樣本方差，用符號s2表示。方差s2是離均差平方的平均數。雖然方差在實際應用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數據單位的平方，所以它不能直接地指出某個數x與平均數之間的偏離究竟達到什么程度。為此，采用標準差s做標準，衡量x與平均數之間的離散程度。首先求出離均差，即每個數與它們的平均數之間的離差；然后將所有25自由度(degreeoffreedom)：統計學借此來反映一批變量的約束條件。例如一個有5個觀察值的樣本，因為受到統計數的約束，在5個離均差中，只有4個數值可以在一定范圍內自由變動取值，而第五個離均差必須滿足這一限制條件。自由度記作DF，一般樣本自由度等于觀察值個數(n)減去約束條件的個數(k)，即DF＝n－k。

自由度(degreeoffreedom)：統計學26樣本方差樣本標準差樣本方差樣本標準差27為了方便計算，將離均差平方和轉化為另一種形式，同時略去下標，上式可表示為：為了方便計算，將離均差平方和轉化為另一種形式，同時略去下標，28在計算離散型頻數資料的標準差時，式中x為組值，f為頻數，N為總頻數（∑f），k為組數。在計算離散型頻數資料的標準差時，29在計算連續型頻數資料的標準差時，式中m為組中值，f、N和k同上式。在計算連續型頻數資料的標準差時，30標準差的特性（一）標準差的大小受資料中各觀察值的影響，觀察值間變異大的標準差也大，反之則小；（二）計算標準差時，各觀測值加上或減去一個常數，標準差的值不變；(三)當每個觀察值都乘以一個常數a時，所得的標準差是原來標準差的a倍．標準差的特性31樣本的方差為總體的方差為樣本的方差為總體的方差為32變異系數Coeffcientofvariation資料的單位不同或平均數相差很大時，直接利用標準差比較資料間變異程度是不妥的，需用變異系數。變異系數同標準差一樣是衡量資料變異程度的統計量。變異系數消除了不同單位和平均數的影響，可以用來比較不同資料的相對變異程度。變異系數Coeffcientofvariation資料33變異系數是標準差與平均數的比，記為CV。兩個小麥品種株高變異的比較變異系數是標準差與平均數的比，記為CV。34特點和作用（一）變異系數是一個無單位的相對數；（二）變異系數同時受到平均數和標準差的影響，因此，在利用變異系數來表示資料的變異程度時，最好將平均數和標準差也列出。(三)變異系數不受單位不同或平均數不同的影響，對于單位不同和平均數不同的資料，都可以用變異系數來比較其特點和作用35第3章平均數、標準差與變異系數第3章平均數、標準差與變異系數36數據有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。表示數據集中趨勢的指標有多個，如平均數（算術平均數、幾何平均數）、中位數、眾數，使用最多的是算術平均數。表示數據離散趨勢的指標有多個，如極差、平均離差、方差與標準差，使用最多的是方差與標準差。數據有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。37資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數所得的商，稱為算術平均數，簡稱為平均數或均數。用符號表示。

平均數的意義：平均數用來描述資料的集中性，即指出資料中數據集中較多的中心位置,常用于同類性質資料間的相互比較。一、集中趨勢資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數所得的商，稱為算術平均數38計算方法1.直接法適用于樣本含量較小的非頻數資料如果一個含量為n的樣本，其n個觀察值分別用x1、x2……xn表示，則它們的平均數為其中，（Sigma）為總和符號，表示從第一個觀察值x1累加到第n個觀察值xn，若在意義上已明確時，簡記為x。計算方法39常數的總和等于該常數的n倍，即代數和的總和等于總和的代數和，即總和符號內的常數因子可以提取到總和符號之外，即其中C為常數（a為常數）關于總和符號的幾個性質常數的總和等于該常數的n倍，即其中C為常數（a為常數）關于402.加權法如果樣本中有n1個x1，有n2個x2，那么，n1+n2個數的平均數是加權平均數。同理：各組的次數fi

是權衡各組中值

xi在資料中所占比重大小的數量，因此f被稱為是x的“權”，加權法也由此而得名。2.加權法41在計算離散型頻數資料的平均數時，式中x為組值，f為頻數，N為總頻數（∑f），k為組數。在計算離散型頻數資料的平均數時，42表3-150只小雞出殼天數的頻數分布表表3-150只小雞出殼天數的頻數分布表43在計算連續型頻數資料的平均數時，式中m為組中值，f、N和k同上式。在計算連續型頻數資料的平均數時，44組別組中值m頻數（f）fm44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合計20010695表3-2某純系蛋雞200枚蛋重的頻數分布表

=10695/200=53.475組別組中值m頻數（f）fm44.25—45.02904545平均數有以下幾個基本特性：（1）平均數的計算與樣本內每個值都有關，它的大小受每個值的影響。（2）若每個xi都乘以相同的數k，則平均數亦應乘以k。（3）若每個xi都加上（或減去）相同的數A，則平均數亦應加上（或減去）A。平均數有以下幾個基本特性：（1）平均數的計算與樣本內每個值都46中位數(median)將資料中所有觀察值從小到大依次排列，處于中間位置的數。以Md表示。適用條件

資料呈偏態分布或頻數分布類型不明，以及一端或兩端無確定數值,這種資料用中位數作為代表值比用算術平均數為好。非頻數資料，先將各觀察值由小到大排列，當n為奇數時，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數，即：Md=x(n+1)/2中位數(median)將資料中所有觀察值從小到大依次47其中：L—中位數所在組的下限；i—組距；f—中位數所在組的頻數；n—總頻數；c—小于中數所在組的累積頻數。當n為偶數時，和位置的兩個觀察值之和的二分之一即為中位數，即：若資料已分組，并編制成了頻數分布表，可利用頻數分布表計算中數。其中：L—中位數所在組的下限；i—組距；f—中位數所在組的頻48潛伏期（小時）病例數f累計例數0——252512——588324——4012336——2314648——1215860——516372——1164[例]某地區有164人因沙門氏菌食物中毒，其潛伏期資料經整理如下表，試計算中位數。潛伏期（小時）病例數f累計例數0——252512——5849眾數（Mode）資料中出現次數最多的那個數或頻數最多一組的組中值，記為Mo。眾數（Mode）資料中出現次數最多的那個數或頻數最多一組的組50

fmax=24,Mo=2250只小雞出殼天數的頻數分布表Md=22fmax=24,Mo=2250只小雞出殼天51組別組中值m頻數（f）fx44.25—45.029045.75—46.529347.25—48.01048048.75—49.51259450.25—51.026132651.75—52.544231053.25—54.043232254.75—55.5291609.556.25—57.01162757.75—58.515877.559.25—60.0212060.75—61.54246合計20010695表3-2某純系蛋雞200枚蛋重的頻數分布表

=10695/200=53.475fmax=44,Mo=52.5Md=53.35組別組中值m頻數（f）fx44.25—45.02904552幾何平均數(Geometricmean)定義

指n個觀察值乘積的n次方根。即適用條件

主要應用于數據呈倍數關系或不對稱分布的資料，算術平均數對這類資料的代表性差。如抗體效價（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長率或生長率、動態發展速度等。幾何平均數(Geometricmean)定義指n個觀53計算1、應用公式計算（實際應用時常取對數）計算54例海蝦養殖試驗，各旬的生長速度3.0，1.51.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長速度。解：即海蝦平均生長速度為1.38。其算術平均數為例海蝦養殖試驗，各旬的生長速度3.0，1.51.3，1.55當資料編成頻數分布表時，—各組組中值；—各組次數；當資料編成頻數分布表時，56二、離散趨勢資料的另一方面的特征是變異程度。如：

A組資料：3、4、5、6、7平均數為：5

B組資料：1、3、5、7、9平均數為：5

這里的平均數5對于A組資料的代表性好？還是對于B組資料的代表性好？

可見，只表明了數據的集中程度是遠遠不夠的，還需要進一步說明數據的變異程度。只有通過變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數據變異特征的數值叫變異數。常用的變異數有：極差、平均離差、方差、標準差、變異系數等。二、離散趨勢資料的另一方面的特征是變異程度。如：

A組資57極差（全距）極差=最大值-最小值只利用了資料中最大值和最小值，不能準確表達資料中各個觀察值的變異程度。平均離差

極差（全距）58它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統計學中未被采用消除離均差的負號離均差的平方之和（簡稱平方和，記為SS）稱為均方（縮寫為MS），又稱為樣本方差，記為S2標準差S離均差它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統計59首先求出離均差，即每個數與它們的平均數之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統計學理論，不要用樣本含量n去除），所得的商稱為樣本方差，用符號s2表示。方差s2是離均差平方的平均數。雖然方差在實際應用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數據單位的平方，所以它不能直接地指出某個數x與平均數之間的偏離究竟達到什么程度。為此，采用標準差s做標準，衡量x與平均數之間的離散程度。首先求出離均差，即每個數與它們的平均數之間的離差；然后將所有60自由度(degreeoffreedom)：統計學借此來反映一批變量的約束條件。例如一個