第二章矩陣及其運算第二章矩陣及其運算1§1

矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換§1矩陣一、矩陣概念的引入2√√√√√其中√表示有航班始發地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入√√√√√其中√表示有航班始發地A目的地A3為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數表：ABCDABCD√√√√√√√這個數表反映了四個城市之間交通聯接的情況.為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數4其中aij

表示工廠向第

i家商店發送第j種貨物的數量．例

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發送的貨物數量可用數表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．其中aij表示工廠向第i家商店例某工廠生產四種貨物5

由

m×n

個數排成的

m

行

n

列的數表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義由m×n個數6簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣.這m×n個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元.簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣7行數不等于列數共有m×n個元素本質上就是一個數表行數等于列數共有n2個元素矩陣行列式行數不等于列數行數等于列數矩陣行列式8行數與列數都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣行數與列數都等于n的矩陣，稱為n階方陣．可記作9形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位陣．記作記作．記作記作．10同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數相等、列數相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.同型矩陣與矩陣相等的概念兩個矩陣的行數相等、列數相等時，稱11注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如12表示一個從變量到變量線性變換，其中為常數.四、矩陣與線性變換

n個變量與m

個變量之間的關系式表示一個從變量到變13系數矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.系數矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.14例線性變換稱為恒等變換.對應

單位陣

En例線性變換稱為恒等變換.對應單位陣En15對應投影變換例

2階方陣對應以原點為中心逆時針旋轉j

角的旋轉變換例

2階方陣對應投影變換例2階方陣對應以原點為中心逆時針例16§2

矩陣的運算§2矩陣的運算17例

某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發送貨物的數量可用數表表示：試求：工廠在一年內向各商店發送貨物的數量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發送第

j種貨物的數量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發送第j

種貨物的數量．例某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店試求：18解：工廠在一年內向各商店發送貨物的數量解：工廠在一年內向各商店發送貨物的數量19一、矩陣的加法定義：設有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規定為說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.一、矩陣的加法定義：設有兩個m×n矩陣A=(aij20知識點比較知識點比較21交換律結合律其他矩陣加法的運算規律設

A、B、C是同型矩陣設矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負矩陣．顯然交換律結合律其他矩陣加法的運算規律設A、B、C是同型矩陣22設工廠向某家商店發送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發送第

j種貨物的總值及總重量．例（續）該廠所生產的貨物的單價及單件重量可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．設工廠向某家商店發送四種貨物各l件，試求：工廠向該商例（23解：工廠向該商店發送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發送第j種貨物的總值及總重量其中bi124二、數與矩陣相乘定義：數

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規定為二、數與矩陣相乘定義：數l與矩陣A的乘積記作lA25結合律分配律備注數乘矩陣的運算規律設

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數矩陣相加與數乘矩陣合起來，統稱為矩陣的線性運算.結合律分配律備注數乘矩陣的運算規律設A、B是同型矩陣，l26知識點比較知識點比較27其中aij

表示工廠向第

i家商店發送第j種貨物的數量．例（續）

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發送的貨物數量可用數表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發貨物的總值及總重量．其中aij表示工廠向第i家商店例（續）某工廠生產四28解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發送第j種貨物的數量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：以ci1，ci2分別表示工廠向第i家商店所發貨29可用矩陣表示為一般地，可用矩陣表示為一般地，30一、矩陣與矩陣相乘定義：設，，那么規定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．一、矩陣與矩陣相乘定義：設，31例：設則例：設則32知識點比較有意義.沒有意義.只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.知識點比較有意義.沒有意義.只有當第一個矩陣的列數33例P.35例5

結論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結論．例P.35例5結論：34矩陣乘法的運算規律(1)

乘法結合律(3)

乘法對加法的分配律(2)

數乘和乘法的結合律（其中

l

是數）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣矩陣乘法的運算規律(1)乘法結合律(3)乘法對35(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：36四、矩陣的轉置定義：把矩陣

A的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作AT

.例四、矩陣的轉置定義：把矩陣A的行換成同序數的列得到的新矩37轉置矩陣的運算性質轉置矩陣的運算性質38例：已知解法1例：已知解法139解法2解法240定義：設A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣定義：設A為n階方陣，如果滿足41例：設列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對稱陣．例：設列矩陣X=(x1,x2,…,xn)T42五、方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運算性質五、方陣的行列式定義：由n階方陣的元素所構成的行列式，叫43證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構造一個6階行列式證明：要使得|AB|=|A||B|有意義，A、B44第二章--矩陣及其運算--《工程數學線性代數》課件45第二章--矩陣及其運算--《工程數學線性代數》課件46令，則

C=(cij)=AB．令，則C=(ci47從而．從而．48定義：行列式|A|的各個元素的代數余子式

Aij

所構成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.元素的代數余子式位于第j行第i列性質定義：行列式|A|的各個元素的代數余子式Aij所構成49性質證明性質證明50（設A，B

為復矩陣，l為復數，且運算都是可行的）：六、共軛矩陣運算性質當為復矩陣時，用表示的共軛復數，記，稱為的共軛矩陣.

（設A，B為復矩陣，l為復數，且運算都是可行的）：六、共51§3

逆矩陣§3逆矩陣52矩陣與復數相仿，有加、減、乘三種運算.矩陣的乘法是否也和復數一樣有逆運算呢？這就是本節所要討論的問題.這一節所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復數中的地位．一個復數a

≠0的倒數a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有矩陣與復數相仿，有加、減、乘三種運算.從53定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）.定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.定義：n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，54下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？下面要解決的問題是：55結論：，其中定理：若，則方陣A可逆，而且推論：若，則.元素的代數余子式位于第j行第i列結論：56例：求二階矩陣的逆矩陣.例：求二階矩陣的57例：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=1，則例：求3階方陣58方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.定理：若方陣A可逆，則．方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n59推論：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且推論：如果n階方陣A、B可逆，那么、60線性變換的系數矩陣是一個n階方陣A

，若記則上述線性變換可記作Y=AX.線性變換的系數矩陣是一個n階方陣A，若記61例：設線性變換的系數矩陣是一個3階方陣記則上述線性變換可記作Y=AX．求變量y1,y2,y3

到變量x1,x2,x3的線性變換相當于求方陣A的逆矩陣.例：設線性變換的系數矩陣是一個3階方陣記則上述線性變換62已知，于是，即已知63§4

矩陣分塊法§4矩陣分塊法64前言由于某些條件的限制，我們經常會遇到大型文件無法上傳的情況，如何解決這個問題呢?這時我們可以借助WINRAR把文件分塊，依次上傳.家具的拆卸與裝配問題一：什么是矩陣分塊法？問題二：為什么提出矩陣分塊法？前言由于某些條件的限制，我們經常會遇到大型文件無法上傳的情況65問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，這種操作稱為對矩陣進行分塊；每一個小塊稱為矩陣的子塊；矩陣分塊后，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.這是2階方陣嗎？問題一：什么是矩陣分塊法？定義：用一些橫線和豎線將矩陣分成若66思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？答：不是．伴隨矩陣的元素是代數余子式（一個數），而不是矩陣．思考題伴隨矩陣是分塊矩陣嗎？67問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對于行數和列數較高的矩陣A，運算時采用分塊法，可以使大矩陣的運算化成小矩陣的運算，體現了化整為零的思想.問題二：為什么提出矩陣分塊法？答：對于行數和列數較高的矩陣68分塊矩陣的加法分塊矩陣的加法69若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成是普通矩陣的加法！若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即則有形式上看成70分塊矩陣的數乘分塊矩陣的數乘71若l是數，且

則有形式上看成是普通的數乘運算！若l是數，且則有形式上看成是普通的數乘運算！72分塊矩陣的乘法一般地，設A為ml矩陣，B為ln矩陣

，把A、B分塊如下：分塊矩陣的乘法一般地，設A為ml矩陣，B為ln矩陣73按行分塊以及按列分塊mn矩陣A有m行n

列，若將第i行記作若將第j列記作則按行分塊以及按列分塊mn矩陣A有m行n列，若將74于是設A為ms矩陣，B為sn矩陣，若把A按行分塊，把B按列塊，則于是設A為ms矩陣，B為sn矩陣，75分塊矩陣的轉置若，則例如：分塊矩陣不僅形式上進行轉置，而且每一個子塊也進行轉置．分塊矩陣的轉置若76分塊對角矩陣定義：設A

是n

階矩陣，若

A

的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，對角線上的子塊都是方陣，那么稱A

為分塊對角矩陣．例如：分塊對角矩陣定義：設A是n階矩陣，若77分塊對角矩陣的性質|A|=|A1

||A2

|…|As

|若|As

|≠0，則|A|≠0，并且分塊對角矩陣的性質78例:設，求

A－1

．解：例:設，求A－1．79例：往證

Amn

=Omn的充分必要條件是方陣ATA

=Onn

．證明：把A按列分塊，有于是那么即A

=O

．例：往證Amn=Omn的充分必要條件是方陣ATA80第二章矩陣及其運算第二章矩陣及其運算81§1

矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換§1矩陣一、矩陣概念的引入82√√√√√其中√表示有航班始發地ABCD目的地ABCD例

某航空公司在A、B、C、D四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發地指向目的地.BACD城市間的航班圖情況常用表格來表示:√√一、矩陣概念的引入√√√√√其中√表示有航班始發地A目的地A83為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數表：ABCDABCD√√√√√√√這個數表反映了四個城市之間交通聯接的情況.為了便于計算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一個數84其中aij

表示工廠向第

i家商店發送第j種貨物的數量．例

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發送的貨物數量可用數表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．其中aij表示工廠向第i家商店例某工廠生產四種貨物85

由

m×n

個數排成的

m

行

n

列的數表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣的定義由m×n個數86簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣.這m×n個數稱為矩陣A的元素，簡稱為元.簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣，元素是復數的矩陣稱為復矩陣87行數不等于列數共有m×n個元素本質上就是一個數表行數等于列數共有n2個元素矩陣行列式行數不等于列數行數等于列數矩陣行列式88行數與列數都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣行數與列數都等于n的矩陣，稱為n階方陣．可記作89形如的方陣稱為對角陣．

特別的，方陣稱為單位陣．記作記作．記作記作．90同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個矩陣的行數相等、列數相等時，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個矩陣與為同型矩陣，并且對應元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.同型矩陣與矩陣相等的概念兩個矩陣的行數相等、列數相等時，稱91注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如92表示一個從變量到變量線性變換，其中為常數.四、矩陣與線性變換

n個變量與m

個變量之間的關系式表示一個從變量到變93系數矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.系數矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系.94例線性變換稱為恒等變換.對應

單位陣

En例線性變換稱為恒等變換.對應單位陣En95對應投影變換例

2階方陣對應以原點為中心逆時針旋轉j

角的旋轉變換例

2階方陣對應投影變換例2階方陣對應以原點為中心逆時針例96§2

矩陣的運算§2矩陣的運算97例

某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發送貨物的數量可用數表表示：試求：工廠在一年內向各商店發送貨物的數量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發送第

j種貨物的數量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發送第j

種貨物的數量．例某工廠生產四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店試求：98解：工廠在一年內向各商店發送貨物的數量解：工廠在一年內向各商店發送貨物的數量99一、矩陣的加法定義：設有兩個

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規定為說明：只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.一、矩陣的加法定義：設有兩個m×n矩陣A=(aij100知識點比較知識點比較101交換律結合律其他矩陣加法的運算規律設

A、B、C是同型矩陣設矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負矩陣．顯然交換律結合律其他矩陣加法的運算規律設A、B、C是同型矩陣102設工廠向某家商店發送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發送第

j種貨物的總值及總重量．例（續）該廠所生產的貨物的單價及單件重量可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．設工廠向某家商店發送四種貨物各l件，試求：工廠向該商例（103解：工廠向該商店發送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發送第j種貨物的總值及總重量其中bi1104二、數與矩陣相乘定義：數

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規定為二、數與矩陣相乘定義：數l與矩陣A的乘積記作lA105結合律分配律備注數乘矩陣的運算規律設

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數矩陣相加與數乘矩陣合起來，統稱為矩陣的線性運算.結合律分配律備注數乘矩陣的運算規律設A、B是同型矩陣，l106知識點比較知識點比較107其中aij

表示工廠向第

i家商店發送第j種貨物的數量．例（續）

某工廠生產四種貨物，它向三家商店發送的貨物數量可用數表表示為：這四種貨物的單價及單件重量也可列成數表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發貨物的總值及總重量．其中aij表示工廠向第i家商店例（續）某工廠生產四108解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發送第j種貨物的數量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：以ci1，ci2分別表示工廠向第i家商店所發貨109可用矩陣表示為一般地，可用矩陣表示為一般地，110一、矩陣與矩陣相乘定義：設，，那么規定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．一、矩陣與矩陣相乘定義：設，111例：設則例：設則112知識點比較有意義.沒有意義.只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘.知識點比較有意義.沒有意義.只有當第一個矩陣的列數113例P.35例5

結論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結論．例P.35例5結論：114矩陣乘法的運算規律(1)

乘法結合律(3)

乘法對加法的分配律(2)

數乘和乘法的結合律（其中

l

是數）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對角陣矩陣乘法的運算規律(1)乘法結合律(3)乘法對115(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立(5)矩陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：116四、矩陣的轉置定義：把矩陣

A的行換成同序數的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作AT

.例四、矩陣的轉置定義：把矩陣A的行換成同序數的列得到的新矩117轉置矩陣的運算性質轉置矩陣的運算性質118例：已知解法1例：已知解法1119解法2解法2120定義：設A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對稱陣.對稱陣反對稱陣定義：設A為n階方陣，如果滿足121例：設列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對稱陣．例：設列矩陣X=(x1,x2,…,xn)T122五、方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運算性質五、方陣的行列式定義：由n階方陣的元素所構成的行列式，叫123證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構造一個6階行列式證明：要使得|AB|=|A||B|有意義，A、B124第二章--矩陣及其運算--《工程數學線性代數》課件125第二章--矩陣及其運算--《工程數學線性代數》課件126令，則

C=(cij)=AB．令，則C=(ci127從而．從而．128定義：行列式|A|的各個元素的代數余子式

Aij

所構成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.元素的代數余子式位于第j行第i列性質定義：行列式|A|的各個元素的代數余子式Aij所構成129性質證明性質證明130（設A，B

為復矩陣，l為復數，且運算都是可行的）：六、共軛矩陣運算性質當為復矩陣時，用表示的共軛復數，記，稱為的共軛矩陣.

（設A，B為復矩陣，l為復數，且運算都是可行的）：六、共131§3

逆矩陣§3逆矩陣132矩陣與復數相仿，有加、減、乘三種運算.矩陣的乘法是否也和復數一樣有逆運算呢？這就是本節所要討論的問題.這一節所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復數中的地位．一個復數a

≠0的倒數a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有矩陣與復數相仿，有加、減、乘三種運算.從133定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是n階單位矩陣.根據矩陣的乘法法則，只有方陣才能滿足上述等式.對于任意的n階方陣A，適合上述等式的矩陣B是唯一的（如果有的話）.定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.定義：n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，134下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？下面要解決的問題是：135結論：，其中定理：若，則方陣A可逆，而且推論：若，則.元素的代數余子式位于第j行第i列結論：136例：求二階矩陣的逆矩陣.例：求二階矩陣的137例：求3階方陣的逆矩陣.解：|A|=1，則例：求3階方陣138方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n階方陣A、B，如果那么A、B都是可逆矩陣，并且它們互為逆矩陣.定理：若方陣A可逆，則．方陣A可逆此時，稱矩陣A為非奇異矩陣容易看出：對于n139推論：如果n階方陣A、B可逆，那么、、與AB也可逆，且推論：如果n階方陣A、B可逆，那么、140線性變換的系數矩陣是一個n階方陣A

，若記則上述線性變換可記作Y=AX.線性變換的系數矩陣是一個n階方陣A，若記141例：設線性變換的系數矩陣是一個3階方陣記則上述線性變換可記作Y=AX．求變量y1,y2,y3