第九章平面解析幾何第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程最新考綱：1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系．1．直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°．②傾斜角的范圍為0°≤α<180°．(2)直線的斜率①定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線斜率不存在．②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)．問題探究1：直線的傾斜角θ越大，斜率k就越大，這種說(shuō)法正確嗎？提示：由k＝tanθ及正切函數(shù)的性質(zhì)，知在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))內(nèi)k>0，傾斜角越大，斜率越大；同樣在θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))內(nèi)k<0，也是傾斜角越大，斜率越大，這是由正切函數(shù)的單調(diào)性決定的．2．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y1＝k(x－x1)不含垂直于x軸的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線一般式eq\o(\s\up5(Ax＋By＋C＝0,（A2＋B2≠0）)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用3.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．問題探究2：截距是距離嗎？提示：不是．截距是實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0.截距有橫、縱截距之分，分別為直線與x軸、y軸交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．()(2)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.()(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的直線都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示．()(5)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(2016·云南第一次檢測(cè))直線x＝eq\f(π,3)的傾斜角等于()A．0 B．eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D．π[解析]直線x＝eq\f(π,3)與x軸垂直，因此直線x＝eq\f(π,3)的傾斜角為eq\f(π,2).故選C.[答案]C3．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，5)，且斜率為－eq\f(3,4)，則直線l的方程為()A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0[解析]由y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，得：3x＋4y－14＝0，故選A.[答案]A4．過(guò)兩點(diǎn)(－1，1)和(0，3)的直線在x軸上的截距為()A．－eq\f(3,2) B．eq\f(3,2)C．3 D．－3[解析]過(guò)兩點(diǎn)(－1，1)和(0，3)的直線方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－（－1）,0－（－1）)，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－eq\f(3,2)，即為所求．故選A.[答案]A5．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－2，2)，且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為1的直線l的方程為________．[解析]設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)＋\f(2,b)＝1，,\f(1,2)|a||b|＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0為所求．[答案]2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率1．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)．當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.2．直線的斜率k是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)傾斜角α≠90°時(shí)，k＝tanα.直線都有傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率，傾斜角為90°的直線無(wú)斜率．3．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，則有A、B、C三點(diǎn)共線．在應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)求直線的斜率時(shí)，應(yīng)關(guān)注斜率不存在的情況．(1)直線xsinα－y＋1＝0的傾斜角的變化范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B．(0，π)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(－1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為__________．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：直線的傾斜角及斜率的概念；關(guān)鍵點(diǎn)：傾斜角的變化范圍和斜率公式的應(yīng)用．[解析](1)直線xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.當(dāng)0≤k≤1時(shí)，傾斜角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，當(dāng)－1≤k<0時(shí)，傾斜角的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).故選D.(2)如圖，過(guò)A(2，1)，P(－1，0)的直線的斜率為k1＝eq\f(1－0,2－（－1）)＝eq\f(1,3)，過(guò)B(0，eq\r(3))，P(－1，0)的直線的斜率為k2＝eq\f(\r(3)－0,0－（－1）)＝eq\r(3).由圖可知，過(guò)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn)的斜率的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))).[答案](1)D(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3)))(1)要注意斜率的兩種求法：k＝tanθ＝eq\f(y1－y2,x1－x2)；(2)處理斜率范圍和傾斜角范圍時(shí)，由于涉及到正切函數(shù)的單調(diào)性，因此常常借助正切函數(shù)圖象，將角分為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩部分分別對(duì)應(yīng)斜率中的非負(fù)值和負(fù)值．[拓展探究](1)本例(1)改為：“若直線l的方程為xsinα－ycosα＋1＝0，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))”，則直線l的傾斜角為________．(2)本例(2)中的點(diǎn)P(－1，0)改為P(1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍．[解析](1)直線l的斜率k＝eq\f(sinα,cosα)＝tanα，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))∴π＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故k＝tanα＝tan(π＋α)．∴直線l的傾斜角為π＋α.(2)直線PA的斜率為kPA＝eq\f(1－0,2－1)＝1，直線PB的斜率為kPB＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，故過(guò)P點(diǎn)的直線l與線段AB有交點(diǎn)的斜率的取值范圍是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)．[答案](1)π＋α(2)(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)考點(diǎn)二直線的方程求直線方程時(shí)，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形式準(zhǔn)確寫出直線方程．要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論．在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論．在設(shè)所求直線的方程時(shí)，一是要結(jié)合給定條件選擇適當(dāng)?shù)男问剑亲⒁馑O(shè)方程的適用范圍．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為__________；(2)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－eq\f(1,4)的直線的方程為__________；(3)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)且|AB|＝5的直線的方程為__________．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：直線方程的適當(dāng)形式；關(guān)鍵點(diǎn)：直線方程適合的條件及特殊情況下的直線方程．[解析](1)解法一：設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0，0)和(3，2)，∴l(xiāng)的方程為y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，則設(shè)l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l過(guò)點(diǎn)(3，2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0，綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.解法二：由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0，設(shè)直線方程為y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3)，∴直線l的方程為y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×3＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2x＋y－6＝0，))求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，此時(shí)|AB|＝5，即x＝1為所求．設(shè)過(guò)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－6＝0，,y＋1＝k（x－1），))得兩直線交點(diǎn)為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k＋7,k＋2)，,y＝\f(4k－2,k＋2).))(k≠－2，否則與已知直線平行)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)，\f(4k－2,k＋2))).由已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k＋7,k＋2)－1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k－2,k＋2)＋1))eq\s\up12(2)＝52，解得k＝－eq\f(3,4)，∴y＋1＝－eq\f(3,4)(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.[答案](1)x＋y－5＝0或2x－3y＝0(2)3x＋4y＋15＝0(3)x＝1或3x＋4y＋1＝0(1)用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在；(2)兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)，若采用截距式，注意分類討論，判斷截距是否為零．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．過(guò)點(diǎn)A(－1，2)，并且其傾斜角的正切值是eq\f(1,2)的直線的方程為__________．[解析]設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(1,2)，即直線l的斜率為eq\f(1,2)，由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[答案]x－2y＋5＝02．過(guò)點(diǎn)A(2，1)，其傾斜角是直線l1：3x＋4y＋5＝0的傾斜角的一半的直線的方程為__________．[解析]設(shè)直線l和l1的傾斜角分別為α、β，則α＝eq\f(β,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，又tanβ＝－eq\f(3,4)，則－eq\f(3,4)＝eq\f(2tanα,1－tan2α)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1,3)(舍去)．由點(diǎn)斜式得y－1＝3(x－2)，即3x－y－5＝0.[答案]3x－y－5＝03．過(guò)點(diǎn)A(2，1)和直線x－2y－3＝0與2x－3y－2＝0的交點(diǎn)的直線的方程為__________．[解析]解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y－3＝0，,2x－3y－2＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－4.))即兩條直線的交點(diǎn)為(－5，－4)．由兩點(diǎn)式得直線l的方程為eq\f(y－1,－4－1)＝eq\f(x－2,－5－2)，即5x－7y－3＝0.[答案]5x－7y－3＝0考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用1．求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值．2．求直線方程．弄清確定直線的兩個(gè)條件，由直線方程的幾種特殊形式直接寫出方程．3．求參數(shù)值或范圍．注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：直線的截距式方程；關(guān)鍵點(diǎn)：利用基本不等式求解．[解]設(shè)A(a，0)，B(0，b)，(a>0，b>0)，則直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵l過(guò)點(diǎn)P(3，2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)＝1.∴1＝eq\f(3,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(6,ab))，即ab≥24.∴S△ABO＝eq\f(1,2)ab≥12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3,a)＝eq\f(2,b)，即a＝6，b＝4.△ABO的面積最小，最小值為12.此時(shí)直線l的方程為：eq\f(x,6)＋eq\f(y,4)＝1.即2x＋3y－12＝0.求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)法．若題中直線過(guò)定點(diǎn)，一般設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式，也可以設(shè)截距式．注意在利用基本不等式求最值時(shí)，斜率k的符號(hào)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：(1)△AOB面積最小時(shí)l的方程；(2)|PA|·|PB|最小時(shí)l的方程．[解]設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)(k<0)，則l與x軸、y軸正半軸分別交于Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)，0))、B(0，1－2k)．(1)S△AOB＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,k)))(1－2k)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋（－4k）＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))))≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4.當(dāng)且僅當(dāng)－4k＝－eq\f(1,k)，即k＝－eq\f(1,2)時(shí)取最小值，此時(shí)直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.(2)|PA|·|PB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))\s\up12(2)＋1)·eq\r(4＋4k2)＝eq\r(\f(4,k2)＋4k2＋8)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,k2)＝4k2，即k＝－1時(shí)取得最小值，此時(shí)直線l的方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0.————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．過(guò)兩點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)，當(dāng)x1＝x2，y1≠y2時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)直線的傾斜角為90°.2．求斜率可用k＝tanα(α≠90°)，其中α為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割．[易錯(cuò)點(diǎn)睛]1．求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率．2．根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性．課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(四十三)一、選擇題1．過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1 B．4C．1或3 D．1或4[解析]由eq\f(4－m,m＋2)＝1，∴4－m＝m＋2，∴m＝1.故選A.[答案]A2．若直線l的傾斜角為α，且0°≤α≤135°，則直線l的斜率的取值范圍是()A．[－1，0]B．(－1，0)C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)[解析]由正切函數(shù)在[0，π)上的圖象可知，直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．故選C.[答案]C3．給出下列說(shuō)法：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)的直線都可以表示為y＝k(x－1)；(2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)的直線的方程都可以表示為eq\f(y－y2,y1－y2)＝eq\f(x－x2,x1－x2)；(3)在坐標(biāo)軸上截距相等的直線的斜率一定是－1；(4)直線方程的一般式可以表示平面上的任意直線．其中錯(cuò)誤說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]直線x＝1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，0)，但不可以表示為y＝k(x－1)，(1)錯(cuò)誤；若過(guò)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)的直線垂直于坐標(biāo)軸，則直線方程不可以表示為eq\f(y－y2,y1－y2)＝eq\f(x－x2,x1－x2)，(2)錯(cuò)誤；經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的所有直線在坐標(biāo)軸上的截距都相等，但這樣的直線的斜率不一定是－1，(3)錯(cuò)誤；直線方程的一般式可以表示平面上的任意直線，(4)正確．所以錯(cuò)誤的結(jié)論有3個(gè)．故選C.[答案]C4．過(guò)點(diǎn)A(0，2)且傾斜角的正弦值是eq\f(3,5)的直線方程為()A．3x－5y＋10＝0B．3x－4y＋8＝0C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0[解析]設(shè)所求直線的傾斜角為α，則sinα＝eq\f(3,5)，∴tanα＝±eq\f(3,4)，∴所求直線方程為y＝±eq\f(3,4)x＋2，即為3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故選D.[答案]D5．已知直線l1的方程是y＝ax＋b，l2的方程是y＝bx－a(ab≠0，a≠b)，則下列各示意圖中，正確的是()[解析]對(duì)于A，由直線l1可得到a>0，b>0，由直線l2可得到a<0，b<0，矛盾，排除A；對(duì)于B，由直線l1可得到a>0，b<0，由直線l2可得到a<0，b>0，矛盾，排除B；對(duì)于C，由直線l1可得到a<0，b>0，由直線l2可得到a<0，b<0，矛盾，排除C，故選D.[答案]D6．(2016·佛山質(zhì)檢)已知直線l：ax＋y－2－a＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1[解析]由題意得a＋2＝eq\f(a＋2,a)，解得a＝－2或a＝1.故選D.[答案]D7．(2015·長(zhǎng)春三校調(diào)研)一次函數(shù)y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的必要不充分條件是()A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0[解析]因?yàn)閥＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mn<0.故選B.[答案]B8．過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m，4)的直線的斜率等于1，則直線MN繞點(diǎn)M按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后所得的直線方程為()A．x＋y－1＝0 B．x－y－3＝0C．x－y＋3＝0 D．x＋y＋1＝0[解析]由1＝eq\f(4－m,m＋2)，得m＋2＝4－m，即m＝1.直線MN的斜率為1，則旋轉(zhuǎn)后的斜率為k＝tan(90°＋45°)＝－1，又旋轉(zhuǎn)后的直線過(guò)M(－2，1)，所以旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y－1＝－1·(x＋2)，即x＋y＋1＝0，故選D.[答案]D9．已知點(diǎn)A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)且與線段AB有交點(diǎn)，設(shè)直線l的斜率為k，則k的取值范圍是()A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B．－4≤k≤eq\f(3,4)C．k≥eq\f(3,4)或k≤－eq\f(1,4) D．－eq\f(3,4)≤k≤4[解析]如圖所示，過(guò)點(diǎn)B(－3，－2)，P(1，1)的直線斜率為k1＝eq\f(1－（－2）,1－（－3）)＝eq\f(3,4).過(guò)點(diǎn)A(2，－3)，P(1，1)的直線斜率為k2＝eq\f(1－（－3）,1－2)＝－4.從圖中可以看出，過(guò)點(diǎn)P(1，1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)可看作直線繞點(diǎn)P(1，1)從PB旋轉(zhuǎn)至PA的過(guò)程，∴k∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))∪(－∞，－4]．故選A.[答案]A10．點(diǎn)P(x，y)在經(jīng)過(guò)A(3，0)，B(1，1)兩點(diǎn)的直線上，那么2x＋4y的最小值是()A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．16 D．不存在[解析]由點(diǎn)A(3，0)，B(1，1)可得直線方程為x＋2y－3＝0，∴x＝3－2y.∵2x＋4y＝23－2y＋22y≥2eq\r(23－2y·22y)＝2eq\r(8)＝4eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)23－2y＝22y，即y＝eq\f(3,4)時(shí)，取“＝”號(hào)．∴2x＋4y的最小值為4eq\r(2).故選B.[答案]B二、填空題11．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程是________．[解析]設(shè)直線在x軸上的截距為2a，則其在y軸上的截距為a，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2a，0)，(0，a)．當(dāng)a＝0時(shí)，直線的斜率k＝－eq\f(2,5)，此時(shí)，直線方程為y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0.當(dāng)a≠0時(shí)，則eq\f(2－0,－5－2a)＝eq\f(a－0,0－2a)，得a＝－eq\f(1,2)，此時(shí)，直線方程為x＋2y＋1＝0.綜上所述，所求直線的方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.[答案]x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝012．過(guò)點(diǎn)(3，0)且傾斜角是直線x－2y－1＝0的傾斜角的兩倍的直線方程為________．[解析]設(shè)直線x－2y－1＝0的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(1,2).∴所求直線的斜率k＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(4,3).故直線方程為y－0＝eq\f(4,3)(x－3)，即4x－3y－12＝0.[答案]4x－3y－12＝013．若關(guān)于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．[解析]數(shù)形結(jié)合．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y＝kx，y＝|x－1|的圖象如圖所示，顯然k≥1或k＝0時(shí)滿足題意．[答案]k≥1或k＝0三、解答題14．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC中平行于BC邊的中位線所在直線的方程；(2)BC邊的中線所在直線的方程．[解](1)平行于BC邊的中位線就是AB、AC中點(diǎn)的連線．因?yàn)榫€段AB、AC中點(diǎn)坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))，所以這條直線的方程為eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x＋\f(1,2),\f(7,2)＋\f(1,2))，即6x－8y－13＝0.(2)因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為(2，3)，所以BC邊上的中線所在直線的方程為eq\f(y＋4,3＋4)＝eq\f(x－1,2－1)，即7x－y－11＝0.15．如圖所示，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過(guò)點(diǎn)P(1，0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時(shí)，求直線AB的方程．[解]由題意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以射線OA的方程為y＝x(x≥0)，射線OB的方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x(x≥0)．設(shè)A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2)))，由點(diǎn)C在y＝eq\f(1,2)x上，且A、P、B三點(diǎn)共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,\f(m－0,m－1)＝\f(n－0,－\r(3)n－1)，))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3))．又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.16．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．[解](1)證明：直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解之得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴無(wú)論k取何值，直線總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(－2，1)．(2)由方程知，當(dāng)k≠0時(shí)直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限，則必須有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解之得k>0；當(dāng)k＝0時(shí)，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.(3)由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)．依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(（1＋2k）2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的條件是k>0且4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，∴Smin＝4，此時(shí)l：x－2y＋4＝0.第二節(jié)兩直線的位置關(guān)系最新考綱：1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．1．兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2．特別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí)，l1與l2的關(guān)系為平行．(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1．2．兩條直線的交點(diǎn)兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果兩直線相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程組成的方程組的解；反之，如果這個(gè)方程組只有一個(gè)公共解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是l1和l2的交點(diǎn)，因此，l1、l2是否有交點(diǎn)，就看l1、l2構(gòu)成的方程組是否有唯一解．3．距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．(2)點(diǎn)到直線的距離平面上一點(diǎn)P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))．(3)兩平行線間的距離①求一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離；②設(shè)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．4．對(duì)稱問題(1)中心對(duì)稱①若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1∥l2，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．(2)軸對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接P1P2的直線垂直于對(duì)稱軸l，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1.))可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．②直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)來(lái)解決．若已知直線l1與對(duì)稱軸l相交，則交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上，然后再求出l1上任一個(gè)已知點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2，那么經(jīng)過(guò)交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2；若已知直線l1與對(duì)稱軸l平行，則與l1對(duì)稱的直線和l1到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出l1的對(duì)稱直線．問題探究：使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？提示：(1)直線方程必須化成一般式Ax＋By＋C＝0的形式．(2)兩平行線間的距離公式使用時(shí)還要注意x、y的系數(shù)必須相同時(shí)才能讀出C1、C2的值．1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)當(dāng)直線l1和l2的斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交．()(4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.()(5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2016·大連測(cè)試)已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和B(m，4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則實(shí)數(shù)m的值為()A．0 B．－8C．2 D．10[解析]由題意知eq\f(4－m,m－（－2）)＝－2，解得m＝－8.故選B.[答案]B3．a(chǎn)＝1是直線y＝ax＋1和直線y＝(a－2)x－1垂直的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)a＝1時(shí)，y＝x＋1與y＝－x－1互相垂直，若兩直線垂直，則a·(a－2)＝－1，即a2－2a＋1＝0，得a＝1，∴a＝1是兩直線y＝ax＋1與y＝(a－2)x－1垂直的充要條件．故選C.[答案]C4．光線自點(diǎn)M(2，3)射到N(1，0)后被x軸反射，則反射光線所在的直線方程為()A．y＝3x－3 B．y＝－3x＋3C．y＝－3x－3 D．y＝3x＋3[解析]點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′(2，－3)，則反射光線即在直線NM′上，由eq\f(y－0,－3－0)＝eq\f(x－1,2－1)，∴y＝－3x＋3，故選B.[答案]B5．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________．[解析]先將2x＋2y＋1＝0化為x＋y＋eq\f(1,2)＝0，則兩平行線間的距離為d＝eq\f(|2－\f(1,2)|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).[答案]eq\f(3\r(2),4)考點(diǎn)一兩直線的平行與垂直1．應(yīng)注意兩條直線的位置關(guān)系包括三種：平行、重合、相交．2．若用直線的斜率判定兩條直線的平行、垂直等問題要注意其斜率不存在的情況．3．可利用直線的方向向量判定兩直線的平行或垂直．與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程為Ax＋By＋C0＝0(C0≠C)；與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程為Bx－Ay＋C0＝0.(1)“ab＝4”是直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的()A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知兩條直線y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，則實(shí)數(shù)a＝________．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：兩條直線平行、垂直的充要條件；關(guān)鍵點(diǎn)：對(duì)特殊直線的重視，如重合、斜率不存在，斜率為零等．[解析](1)直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行的充要條件是－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)且－eq\f(1,a)≠－1，即ab＝4且a≠1，則“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分條件．故選C.(2)由題意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，則a＝－1.[答案](1)C(2)－1掌握判斷兩直線平行、垂直的條件，當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．直線l過(guò)點(diǎn)(－1，2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則l的方程是()A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0[解析]由題意知，直線l的斜率是－eq\f(3,2)，因此直線l的方程為y－2＝－eq\f(3,2)(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.故選A.[答案]A2．已知直線x＋a2y＋6＝0與直線(a－2)x＋3ay＋2a＝0平行，則a的值為________．[解析]a＝0時(shí)，x＋6＝0與x＝0平行；a＝3時(shí)，x＋9y＋6＝0與x＋9y＋6＝0重合；a＝－1時(shí)，x＋y＋6＝0與－3x－3y－2＝0平行．故a的值為0或－1.[答案]0或－1考點(diǎn)二距離問題1．求點(diǎn)到直線的距離，一般先把直線方程化為一般式，由點(diǎn)到直線的距離公式求得．2．求兩條平行線間的距離有兩種思路，一是利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離；二是直接利用兩條平行線間的距離公式．利用兩條平行線間距離公式時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般式后才能套用公式計(jì)算．(1)過(guò)點(diǎn)P(2，－1)且與原點(diǎn)距離為2的直線方程為__________．(2)若直線4x－3y＋5＝0與直線4x－ay－6＝0平行，則它們之間的距離為__________．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：距離公式；關(guān)鍵點(diǎn)：斜率不存在的直線．[解析](1)①當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)顯然成立，∴l(xiāng)的方程為x＝2；②當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由點(diǎn)到直線距離公式得eq\f(|－2k－1|,\r(1＋k2))＝2，∴k＝eq\f(3,4)，∴l(xiāng)：3x－4y－10＝0.故所求l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)由兩直線平行得a＝3，由兩平行直線間距離公式，得d＝eq\f(|5－（－6）|,\r(42＋（－3）2))＝eq\f(11,5).[答案](1)x＝2或3x－4y－10＝0(2)eq\f(11,5)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程要化為一般式，還要注意公式中分子含有絕對(duì)值的符號(hào)，分母含有根式的符號(hào)．而求解兩平行直線的距離問題也可以在其中一條直線上任取一點(diǎn)，再求這一點(diǎn)到另一直線的距離．[拓展探究](1)本例(1)改為“已知直線l過(guò)點(diǎn)P(3，－4)且與點(diǎn)A(－2，2)，B(4，－2)等距離，則直線l的方程為________．”(2)本例(2)中的直線4x－ay－6＝0改為直線8x－ay－6＝0，其他條件不變，結(jié)果如何？[解析](1)顯然直線l斜率不存在時(shí)，不滿足題意；設(shè)所求直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得eq\f(|－2k－2＋4－3k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|4k＋2＋4－3k|,\r(1＋k2))，∴k＝2或k＝－eq\f(2,3).∴所求直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.(2)∵直線4x－3y＋5＝0與直線8x－ay－6＝0平行，∴eq\f(4,8)＝eq\f(－3,－a)，得a＝6.故直線8x－6y－6＝0方程化為4x－3y－3＝0.∴兩平行直線間的距離d＝eq\f(|5－（－3）|,\r(42＋（－3）2))＝eq\f(8,5).[答案](1)2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0(2)eq\f(8,5)考點(diǎn)三對(duì)稱問題在對(duì)稱問題中，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱是最基本也是最重要的對(duì)稱，處理這種問題關(guān)鍵是抓住垂直與平分兩個(gè)幾何條件，轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系列方程求解．處理線關(guān)于線的對(duì)稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來(lái)解決．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱來(lái)處理．證明曲線的對(duì)稱問題常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱問題．(1)直線l：4x＋3y－2＝0關(guān)于點(diǎn)A(1，1)對(duì)稱的直線方程為()A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l：2x－3y＋1＝0的對(duì)稱直線的方程為________．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：點(diǎn)線的對(duì)稱問題；關(guān)鍵點(diǎn)：中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線垂直的應(yīng)用．[解析](1)在所求直線上任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P′(x′，y′)必在直線l上．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＋x＝2，,y′＋y＝2，))得P′(2－x，2－y)，所以4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3x－12＝0.故選B.(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)．又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4，3)，∴由兩點(diǎn)式得直線方程為9x－46y＋102＝0.[答案](1)B(2)9x－46y＋102＝0解決這類對(duì)稱問題要抓住兩條：一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是以已知點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．(2016·黑龍江調(diào)研)與直線2x－y＋1＝0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程為()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x－2y＋1＝0[解析]設(shè)A(x，y)為所求直線上的任意一點(diǎn)，則A′(x，－y)在直線2x－y＋1＝0上，所以2x＋y＋1＝0，此方程為所求方程，故選A.[答案]A2．(2015·成都模擬)已知直線l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱，則l2的方程是()A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋2y－1＝0[解析]由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,2x－y－2＝0，))得交點(diǎn)(1，0)，由eq\f(|1－2|,|1＋2|)＝eq\f(|1－k|,|1＋k|)得k＝eq\f(1,2)(k＝2舍去)，故直線l2方程為y＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－1＝0，故選B.[答案]B3．一條光線沿直線2x－y＋2＝0入射到直線x＋y－5＝0后反射，則反射光線所在直線方程為__________．[解析]取直線2x－y＋2＝0上一點(diǎn)(0，2)，設(shè)點(diǎn)(0，2)關(guān)于直線x＋y－5＝0的對(duì)稱點(diǎn)是B(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b＋2,2)－5＝0，,\f(b－2,a)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))所以B(3，5)．聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4.))所以直線2x－y＋2＝0與x＋y－5＝0的交點(diǎn)為P(1，4)．所以反射光線所在直線的方程為x－2y＋7＝0.[答案]x－2y＋7＝0————————方法規(guī)律總結(jié)————————[方法技巧]1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.2．對(duì)稱問題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱．3．光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點(diǎn)，這樣就有兩種對(duì)稱關(guān)系，一是入射光線與反射光線關(guān)于過(guò)反射點(diǎn)且與反射軸垂直的直線(法線)對(duì)稱，二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對(duì)稱．[易錯(cuò)點(diǎn)睛]1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無(wú)斜率，要單獨(dú)考慮．2．使用點(diǎn)到直線的距離公式前必須將直線方程化為一般式，同時(shí)此公式對(duì)直線與坐標(biāo)軸垂直或平行的情況也適用；使用兩平行線間的距離公式時(shí)一定要注意先把兩直線方程中的x，y的系數(shù)化成相等．課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(四十四)一、選擇題1．(2016·重慶一中檢測(cè))若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]由已知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝eq\f(3,4)，故選D.[答案]D2．(2015·江西期中聯(lián)考)“a＝3”是“直線ax＋2y＋2a＝0和直線3x＋(a－1)y－a＋7＝0平行”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件[解析]當(dāng)a＝3時(shí)兩直線方程分別為3x＋2y＋6＝0，3x＋2y＋4＝0，顯然兩直線平行，所以充分性成立；若兩直線平行，則a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，經(jīng)檢驗(yàn)都滿足平行條件，必要性不滿足，故選A.[答案]A3．若直線5x＋4y＝2m＋1與直線2x＋3y＝m的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是()A．{m|m<2} B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m>\f(3,2)))))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(m<－\f(3,2))))) D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<m<2))))[解析]解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋4y＝2m＋1，,2x＋3y＝m，))得x＝eq\f(2m＋3,7)，y＝eq\f(3m－6,21)＝eq\f(m－2,7).∵其交點(diǎn)在第四象限，∴eq\f(2m＋3,7)>0，且eq\f(m－2,7)<0.解得－eq\f(3,2)<m<2.故選D.[答案]D4．(2015·湖北八市聯(lián)考)已知M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝3))))，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝?，則a＝()A．－6或－2 B．－6C．2或－6 D．－2[解析]注意到可將式子eq\f(y－3,x－2)＝3變形為3x－y－3＝0，則M∩N＝?意味著直線3x－y－3＝0(去掉點(diǎn)(2，3))與直線ax＋2y＋a＝0無(wú)公共點(diǎn)．若兩直線平行，則eq\f(3,a)＝eq\f(－1,2)≠eq\f(－3,a)，即a＝－6；若直線ax＋2y＋a＝0恰過(guò)點(diǎn)(2，3)，則a＝－2，故選A.[答案]A5．在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P(－1，2)且與原點(diǎn)O距離最大的直線方程為()A．x－2y＋5＝0 B．2x＋y＋4＝0C．x－3y＋7＝0 D．3x－y－5＝0[解析]所求直線過(guò)點(diǎn)P且與OP垂直時(shí)滿足條件，因?yàn)橹本€OP的斜率為kOP＝－2，故所求直線的斜率為eq\f(1,2)，所以所求直線方程為y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0，故選A.[答案]A6．兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為()A．4 B．eq\f(2,13)eq\r(13)C.eq\f(5,26)eq\r(13) D．eq\f(7,20)eq\r(10)[解析]把3x＋y－3＝0化為6x＋2y－6＝0，則兩平行線間的距離為d＝eq\f(|1－（－6）|,\r(62＋22))＝eq\f(7,20)eq\r(10).故選D.[答案]D7．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)()A．(0，4) B．(0，2)C．(－2，4) D．(4，－2)[解析]直線l1：y＝k(x－4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4，0)，其關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0，2)，又直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，故直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0，2)．故選B.[答案]B8．若△ABC的頂點(diǎn)A為(3，－1)，AB邊上的中線所在的直線方程為6x＋10y－59＝0，∠B的平分線所在的直線方程為x－4y＋10＝0，則BC邊所在的直線方程為()A．9x＋2y－5＝0 B．2x－9y－5＝0C．2x－9y＋65＝0 D．2x＋9y－65＝0[解析]設(shè)B(4y1－10，y1)，由題意知，AB的中點(diǎn)在直線6x＋10y－59＝0上，則6×eq\f(4y1－7,2)＋10×eq\f(y1－1,2)－59＝0，解得y1＝5，所以B(10，5)．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x－4y＋10＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x′＋3,2)－4×\f(y′－1,2)＋10＝0，,\f(y′＋1,x′－3)×\f(1,4)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝1,y′＝7))，所以A′(1，7)，則直線A′B(即BC)的方程為2x＋9y－65＝0，故選D.[答案]D9．(2015·杭州一模)若點(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，則m2＋n2的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)[解析]因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0.欲求m2＋n2的最小值可先求eq\r(（m－0）2＋（n－0）2)的最小值，而eq\r(（m－0）2＋（n－0）2)表示4m＋3n－10＝0上的點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離，如圖．當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線與直線4m＋3n－10＝0垂直時(shí)，原點(diǎn)到點(diǎn)(m，n)的距離最小為2.所以m2＋n2的最小值為4.故選C.[答案]C10．(2016·武漢調(diào)研)在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖)．若光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心，則AP等于()A．2 B．1C.eq\f(8,3) D．eq\f(4,3)[解析]分別以AB、AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，設(shè)AP＝x，從而P(x，0)，x∈(0，4)，由光的幾何性質(zhì)可知點(diǎn)P關(guān)于直線BC、AC的對(duì)稱點(diǎn)P1(4，4－x)、P2(－x，0)與△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共線，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－（4－x）,\f(4,3)－4)，求得x＝eq\f(4,3).故選D.[答案]D二、填空題11．直線l1過(guò)點(diǎn)(－2，0)且傾斜角為30°，直線l2過(guò)點(diǎn)(2，0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為________．[解析]直線l1：eq\r(3)x－3y＋2eq\r(3)＝0，直線l2：eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0，聯(lián)立方程組可求得x＝1，y＝eq\r(3).[答案](1，eq\r(3))12．(2015·溫州十校聯(lián)考)過(guò)兩直線2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為__________．[解析]聯(lián)立2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0，得交點(diǎn)P(1，－3)．設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線3x＋y－1＝0平行的直線方程為3x＋y＋m＝0.把點(diǎn)P代入即可得m＝0.[答案]3x＋y＝013．(2015·江蘇南通模擬)直線2x－y－4＝0繞它與y軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,4)所得直線的方程是________．[解析]由已知得所求直線過(guò)點(diǎn)(0，－4)，且斜率k＝eq\f(2＋tan45°,1－2tan45°)＝－3，故所求直線的方程為y＋4＝－3x，即3x＋y＋4＝0.[答案]3x＋y＋4＝0三、解答題14．(2015·合肥一中月考)已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求滿足下列條件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直線l1過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2，∴直線l1的斜率存在．∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即eq\f(4,b)＝b.故a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.15．過(guò)點(diǎn)P(1，2)的直線l被兩平行線l1：4x＋3y＋1＝0與l2：4x＋3y＋6＝0截得的線段長(zhǎng)|AB|＝eq\r(2)，求直線l的方程．[解]設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－1)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋1＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,3k＋4)，\f(－5k＋8,3k＋4)))；由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2－k，,4x＋3y＋6＝0，))解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－12,3k＋4)，\f(8－10k,3k＋4))).∵|AB|＝eq\r(2)，∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3k＋4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5k,3k＋4)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，整理，得7k2－48k－7＝0，解得k1＝7或k2＝－eq\f(1,7).因此，所求直線l的方程為x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.16．(2015·太原期末聯(lián)考)(1)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)P，使得P到A(4，1)和B(0，4)的距離之差最大；(2)在直線l：3x－y－1＝0上求一點(diǎn)Q，使得Q到A(4，1)和C(3，4)的距離之和最小．[解](1)如圖甲所示，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為B′，連接AB′并延長(zhǎng)交l于P，此時(shí)的P滿足|PA|－|PB|的值最大．設(shè)B′的坐標(biāo)為(a，b)，則kBB′·kl＝－1，即eq\f(b－4,a)·3＝－1.∴a＋3b－12＝0.①又由于線段BB′的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(b＋4,2)))，且在直線l上，∴3×eq\f(a,2)－eq\f(b＋4,2)－1＝0，即3a－b－6＝0.②①②聯(lián)立，解得a＝3，b＝3，∴B′(3，3)．于是AB′的方程為eq\f(y－1,3－1)＝eq\f(x－4,3－4)，即2x＋y－9＝0.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,2x＋y－9＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝5，))即l與AB′的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(2，5)．(2)如圖乙所示，設(shè)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為C′，連接AC′交l于點(diǎn)Q，此時(shí)的Q滿足|QA|＋|QC|的值最小．設(shè)C′的坐標(biāo)為(x′，y′)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－4,x′－3)·3＝－1，,3·\f(x′＋3,2)－\f(y′＋4,2)－1＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(3,5)，,y′＝\f(24,5).))∴C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(24,5))).由兩點(diǎn)式得直線AC′的方程為eq\f(y－1,\f(24,5)－1)＝eq\f(x－4,\f(3,5)－4)，即19x＋17y－93＝0.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(19x＋17y－93＝0，,3x－y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,7)，,y＝\f(26,7).))∴所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,7)，\f(26,7))).第三節(jié)圓的方程最新考綱：掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．1．圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)限定條件標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2圓心：(a，b)，半徑：rr>0一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑：eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)D2＋E2－4F>0問題探究：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？提示：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑r，若點(diǎn)M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；若點(diǎn)M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；若點(diǎn)M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2<r2．1．判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．()(3)已知點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.()(5)圓x2＋2x＋y2＋y＝0的圓心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．圓x2＋y2－2x＋2y＋1＝0的圓心到直線x－y＋1＝0的距離是()A.eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3\r(2),2)[解析]配方得(x－1)2＋(y＋1)2＝1，圓心(1，－1)到直線的距離d＝eq\f(|1＋1＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).故選D.[答案]D3．若點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1，1) B．(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．a(chǎn)＝±1[解析]因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故選A.[答案]A4．圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1，2)的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，b)，則由題意知eq\r(（0－1）2＋（b－2）2)＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.故選A.答案：A5．已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為__________．解析：AB的中點(diǎn)D坐標(biāo)為(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)可知，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，所以C的軌跡是以D為圓心，以2為半徑的圓，其方程為(x－1)2＋y2＝4，即x2＋y2－2x－3＝0，其中x≠3且x≠－1.答案：x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)考點(diǎn)一求圓的方程1．應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心坐標(biāo)列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程．2．在求圓的方程時(shí)，常用到圓的以下幾個(gè)性質(zhì)(1)圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．借助圓的性質(zhì)結(jié)合待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)，盡可能減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，可使問題簡(jiǎn)化．(1)(2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．10(2)圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的方程為________．[解題指導(dǎo)]切入點(diǎn)：待定系數(shù)法和幾何法求圓的方程；關(guān)鍵點(diǎn)：依據(jù)條件選取適當(dāng)?shù)男问剑甗解析](1)由已知三點(diǎn)求出圓的方程，然后求出M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|MN|.設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，∴M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，∴|MN|＝4eq\r(6)，故選C.(2)圓心是AB的垂直平分線和2x－y－7＝0的交點(diǎn)，則圓心為E(2，－3)，r＝|EA|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，則圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝r2＝5.[答案](1)C(2)(x－2)2＋(y＋3)2＝5求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．(2015·北京卷)圓心為(1，1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2[解析]因?yàn)閳A心為(1，1)且過(guò)原點(diǎn)，所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2，故選D.[答案]D2．(2016·長(zhǎng)春實(shí)驗(yàn)測(cè)試)若圓C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4，0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．[解析]因?yàn)閳A過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)(4，0)，將點(diǎn)(4，0)代入圓的方程得D＝－4，即圓的方程為x2＋y2－4x＋Ey＝0.又圓與直線y＝1相切，將其代入圓的方程得x2＋1－4x＋E＝0，又方程只有一個(gè)解，所以Δ＝42－4(1＋E)＝0，解得E＝3.故所求圓的方程為x2＋y2－4x＋3y＝0，即(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).[答案](x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4)3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上的圓的方程為__________．[解析]解法一：∵圓過(guò)A(5，2)，B(3，－2)兩點(diǎn)，∴圓心一定在線段AB的垂直平分線上．線段AB的垂直平分線方程為y＝－eq\f(1,2)(x－4)．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為C(a，b)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－b－3＝0，,b＝－\f(1,2)（a－4），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴C(2，1)，r＝|CA|＝eq\r(（5－2）2＋（2－1）2)＝eq\r(10).∴所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.解法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\c