2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法1/61多屬性決策分析—多目標決策什么是多目標決策問題？(例如購買衣服時，款式、價格、顏色、質量等可能都是決策目標)。多目標決策問題的特點：決策問題的目標多于一個；多個目標間不可公度(non-commensurable)，即各目標沒有統一的衡量標準，難以比較；各目標之間存在矛盾。一般將決策變量離散、決策方案有限的多目標決策問題稱為多屬性(Multi-attribute)決策問題；而將決策變量連續、有無限決策方案的多目標決策問題稱為多目標(Multi-objective)決策問題。兩者又可以統稱為多準則(Multi-criterion)決策問題。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法2/61多屬性決策分析—相關術語屬性(Attribute)：備選方案的特征、品質或性能參數(如描述服裝的款式、顏色、布料、質量、價格)，也稱為指標。指標體系(IndexSystems)：一系列互相聯系、互相補充的指標所組成的統一整體。指標體系往往由多層組成(習慣上稱為一級指標、二級指標等)，層次結構分為樹狀結構和網狀結構，其中以樹狀結構最常用。一級指標總目標二級指標三級指標2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法3/61多屬性決策分析—相關術語目標(Objective)：決策人的愿望或決策人所希望達到的、努力的方向(如物美價廉)。在多目標決策中，目標是求極值的對象，是需要優化的函數式。目的(Goal)：在特定時間、空間狀態下，決策人的期望，是目標的具體數值表現。目標和目的常混用。準則(Criterion)：判斷的標準或度量事物價值的原則及檢驗事物合意性的規則，兼指屬性和目標。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法4/61多屬性決策分析—求解過程2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法5/61多屬性決策分析—目標與屬性在多目標決策中，決策目標常用目標集、目標遞階分層結構以及屬性集描述；目標遞階分層結構的最下層目標要用一個或多個屬性來描述；不同的方案對應的各屬性值存在差異，也就導致目標實現的差異，因此可借此來評價方案的優劣；替代屬性：某些目標無法用屬性值直接度量時，需要使用替代屬性對目標進行度量。如師資隊伍的質量可以用學歷結構、職稱結構、專業結構、科研能力等替代屬性來衡量。(尋找“替代屬性/替代變量”在科學研究中是非常重要的)2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法6/61多屬性決策分析—目標與屬性屬性選擇的要求：每個屬性是可測和可理解的；屬性集是最小完備集：既要能夠描述決策問題的所有(重要)方面，又不能有冗余；屬性的測量值是可運算的；屬性集內的各屬性相互獨立、可分解。但在實際決策中，上述要求很難達到，這也正是我們開展決策理論與方法研究的動力源。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法7/61多屬性決策分析—目標與屬性例：某流域水資源項目建設目標(指標體系)及屬性2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法8/61多屬性決策分析—問題的符號表示MA=<X,A,Θ,V,,f>X表示方案集，X={x1,x2,…,xm}A表示屬性集，A={a1,a2,…,an}Θ表示狀態集，Θ={1,2,…,k}V表示值集，所有可能取值的集合:Θ→V，分布函數，確定各狀態發生的可能性f:X×A→V，目標函數，確定各方案對應的屬性值2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法9/61多屬性決策分析—問題的符號表示例：給定自然狀態的多屬性決策問題方案集發電作物船運COD水流失土流失景點數動物植物減災x18.945557.2827734115887x27.662476.4768245121354x39.246679.59180339124992022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法10/61多屬性決策分析—屬性值預處理剩下的問題是我們如何評價方案的優劣。屬性值預處理的目標是規范化各屬性值，使其能夠真正體現方案優劣的實際價值。屬性值類型：效益型指標：屬性值越大越好；成本型指標：屬性值越小越好；中性指標：屬性值取某一個恰當的值最優，過大、過小都不合適。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法11/61多屬性決策分析—屬性值預處理預處理主要有兩項任務：非量綱化：通過某種方法消除量綱的選用對決策或評價結果的影響。歸一化：不同屬性的屬性值取值范圍存在很大差別，為了真實反映各屬性值的價值，需要將屬性值統一變換到[0,1]區間上以消除屬性取值范圍的差異對決策或評價結果的影響。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法12/61多屬性決策分析—屬性值預處理設fi(a)為方案i的a屬性值，記fmax=max(fi(a))，fmin=min(fi(a))線性變換效益型。變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=fi(a)/fmax；成本型。變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=1-fi(a)/fmax；或者變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=fmin/fi(a)。標準0-1變換效益型。zi(a)=(fi(a)-fmin)/(fmax-fmin)；成本型。zi(a)=(fmax-fi(a))/(fmax-fmin)。向量規范化：zi(a)=fi(a)/(ifin(a))1/n(n可以取1或2)。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法13/61多屬性決策分析—屬性值預處理ji人均論著(a1)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.05681.0000ji人均論著(a1)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)逾期畢業率(a4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000ji人均論著(a1)生師比(a2)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.5550004.721.0740002.233.01012603.041.5430003.9514.022841.2fmax1450004.7fmin0.52841.2(f2)1/214.4471887.25ji人均論著(a1)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.03460.69560.648220.06930.55650.303430.20780.17530.413740.10390.41740.537850.96950.03950.1655線性變換標準0-1變換向量變換2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法14/61多屬性決策分析—屬性值預處理中性屬性(最優值為給定區間)規范化策略下極限f0上極限f0最優區間f1～f21zfzi(a)=(1)fi(a)≤f0，0(2)f0<fi(a)<f1，1-(f1-fi(a))/(f1-f0)(3)f1≤fi(a)≤f2，1(4)f2<fi(a)<f0，1-(fi(a)-f2)/(f0-f2)(5)fi(a)≥f0，02022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法15/61多屬性決策分析—屬性值預處理ji生師比(a2)生師比z(a2)設：f0=2,f1=5,f2=6,f0=12151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000ji生師比(a2)Temp(a2)生師比z(a2)(1)E=5.6000（均值）(2)Tempi(a)=(fi(a)-E)/E(3)應用線性變換或標準0-1變換或向量變換。本例是采用線性變換。zi(a)=1-tempi(a)/max(tempi(a))150.10710.8636270.25000.68183100.78570.0000440.28570.6364520.64290.18182022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法16/61多屬性決策分析—屬性值預處理異常(outlier)處理。對同一個屬性a，若各方案的值差異極大或某方案的值相對其他方案出現明顯的偏離，如按一般方法規范化，在評價時該屬性的影響將被不恰當地放大（如前例中的論著一項，方案5的值是14，顯著大于其他4個方案）。因此需要采用特別方法處理，處理方法有很多，下面介紹一種常用方法。設定一個轉換后的期望值（均值）：M(0.5～0.75)作變換z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=(fi(a)-E)×(1-M)/(fmax-E)+M其中E為當前屬性值的均值；fmax為當前屬性值的最大值2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法17/61多屬性決策分析—屬性值預處理2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法18/61多屬性決策分析—屬性值預處理專家評分范圍差異的處理。當一組專家對若干方案進行評價時，由于習慣不同，各自的評分范圍可能存在較大差異，需要進行規范化處理。映射區間定義：[M0,M*]定義映射z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=M0+(M*-M0)(fi(a)-fmin)/(fmax-fmin)一般取M0=0，M*=1。對應標準0-1轉換。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法19/61多屬性決策分析—屬性值預處理兩個不同專家對方案1-5評價結果(百分制)如下表。ji專家1(a)專家2(a)專家1(z(a))專家2(z(a))174910.84210.8750265810.36840.4583360700.10530.0000477941.00001.0000558720.00000.08332022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法20/61多屬性決策分析—權重確定當決策者面對多個目標時，存在目標的重要性不同的問題，這就需要引入權(Weight)的概念加以解決。權是目標重要性的數量化表示，它的作用有：決策人對目標的重視程度；各目標屬性值的差異程度；各目標屬性值的可靠程度。權重確定方法：兩兩比較法。對不同目標的重要性進行兩兩比較，形成一個判斷矩陣。但判斷矩陣存在兩方面的一致性問題：(1)a1/a2=3,a2/a3=2a1/a3=6?(2)不同專家間的一致性問題a2(1)/a3(1)=2a2(2)/a3(2)=2?2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法21/61多屬性決策分析—權重確定判斷矩陣的構造假設屬性ai的權記為wi，則wij=wi/wj為判斷矩陣A的第i行第j列元素。A=[wij]n×n在實際決策中，wi是未知的，需要借助專家的評價。我們用專家的評價結果aij=ai/aj代替wij。aij=ai/aj的取值如下：=1：同等重要=3：目標i略重要于目標j=5：目標i比目標j重要(相當重要)=7：目標i比目標j明顯重要=9：目標i相對目標j絕對重要=2,4,6,8：上述兩個相鄰判斷的中間值2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法22/61多屬性決策分析—權重確定最小二乘法確定權重。由于用aij代替wij，兩者之間可能存在誤差ij=(wjaij-wi)。利用最小二乘法，得到下列二次規劃方程：

Minijij2=ij(wjaij-wi)2St:iwi=1，wi>0(i=1,2,…,n)利用拉格朗日法可將該優化問題轉為求解下列方程組：2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法23/61多屬性決策分析—權重確定Matlab求解：Functionweight(A)D=diag(diag(A'*A)+1)-A-A';n=length(A);Row1=ones(n,1);Col1=ones(1,n);D=[DRow1;Col10];B=zeros(n,1);B=[B;1];W=inv(D)*B2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法24/61多屬性決策分析—權重確定特征向量法：因為AW=nW，n為A的最大特征值。當判斷矩陣A的估計存在誤差時，則A中元素值的變化帶來最大特征值的變化，記此時的最大特征值為max，則AW=maxW，W為A關于最大特征值max的特征向量，對W進行歸一化處理即得到權重向量。Matlab函數：[V,D]=eig(A)，返回的V為特征向量矩陣；D為特征值矩陣。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法25/61多屬性決策分析—權重確定Satty近似算法：A中每行元素連乘并開n次方，記為wi*；求權重：wi=wi*/iwi*；A中每列元素求和：Sj=iaij；計算最大特征值max=iwiSi判斷矩陣A的一致性檢驗一致性指標CI(ConsistencyIndex)：CI=|max-n|/(n-1)隨機指標RI(RandomIndex)：用隨機方法構造判斷矩陣，經過500次以上的重復計算，求出一致性指標并加以平均得到。一致性比率CR(ConsistencyRatio)：CR=CI/RI。CR≤0.1，一致性好；CR>0.1，一致性差。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法26/61多屬性決策分析—權重確定例：設判斷矩陣為A，求權重。特征向量法最小二乘法Satty近似算法w10.15840.15690.1685w20.18930.18010.1891w30.19800.15080.1871w40.04830.03920.0501w50.15030.09920.1501w60.25580.37370.2550max6.42085.94596.4431CI0.08420.01080.0886CR0.06790.00870.07152022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法27/61多屬性決策分析—決策方法一般加權和法將屬性表值cij規范化，得zij；i=1～m;j=1～n。確定各指標的權重系數，wj；j=1～n。計算各方案的綜合指標Ci=jwjzij。最后根據Ci大小排出各方案的優劣。一般加權和法的使用條件（實際上很難滿足）指標體系為樹狀結構；每個屬性的邊際價值是線性的(優劣與屬性值大小成正比)；任意兩個指標的相互價值都是獨立的；屬性間的完全可補償性：一個方案的某屬性無論多差都可用其他屬性來補償（一個方案優于另一個方案并不要求在所有屬性上都優）。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法28/61多屬性決策分析—決策方法AHP法(層次分析法，Satty)：在實際決策中并不是所有指標的值都是容易測量的，但不同方案的這些指標的優劣性是可以比較的。Satty提出了一種層次分析法(AnalyticHierarchyProcess)來解決此類問題。構造關于指標權重的判斷矩陣，求出各指標的權重wj，并檢驗判斷矩陣的一致性；構造每個方案關于各指標優劣性的判斷矩陣，從而得到各方案關于該指標的規范化屬性值zij；（如果方案關于該指標的值是可測的，則不需要構造此指標的判斷矩陣）計算各方案的綜合指標Ci=jwjzij。根據Ci的優劣確定方案的優劣。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法29/61多屬性決策分析—決策方法根據下圖所描述的指標體系，如果完全使用AHP法進行決策，需要構造多少個判斷矩陣？()162022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法30/61多屬性決策分析—決策方法加權和與加權積的綜合決策法：加權和要求指標具有線性可加（可補償）性，但在實際決策中有些指標之間是不可補償的，此時方案關于這類指標的優劣可用加權積法。例如，設方案的優劣可由四個一級指標A,B,C,D評判，其中A,B滿足可加性，C,D滿足可加性，但A、B與C、D間不滿足可加性，則可用下面的加權和與加權積的綜合決策法確定各方案的優劣：(wAzA+wBzB)×(wCzC+wDzD)2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法31/61多屬性決策分析—決策方法逼近理想解排序方法(TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution,TOPSIS)：借助多屬性問題的理想解和負理想解給方案集X中的各方案排序。在多屬性決策中，每個屬性都有一個最優值，也有一個最差值。取所有屬性的最優值構造一個虛擬方案x*，同時取所有屬性的最差值構造另一個虛擬方案x0，則稱x*為理想解，x0為負理想解。TOPSIS法就是將各實際方案與理想解和負理想解進行比較，離理想解越近、離負理想解越遠的方案越好。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法32/61多屬性決策分析—決策方法TOPSIS法求解步驟用向量規范法求得規范決策矩陣：zij=cij/(icij)1/2確定各屬性的權重系數W={w1,w2,…,wn}確定理想解和負理想解：zj*=maxi(zij)(效益型屬性)或mini(zij)(成本型屬性)zj0=mini(zij)(效益型屬性)或maxi(zij)(成本型屬性)計算各方案到理想解和負理想解的加權距離di*=(j(wjzij-wjzj*)2)1/2di0=(j(wjzij-wjzj0)2)1/2計算綜合評價指標Ci=di0/(di0+di*)按Ci的大小對各方案排序，Ci越大方案越優，否則越劣。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法33/61多屬性決策分析—決策方法權重0.20.30.40.1簡單加權和

屬性方案人均論著(a1)生師比(a2)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.03571.00001.00000.00000.7071420.07140.83330.80000.53190.6374630.21430.33330.25200.36170.2798240.10710.66660.60000.17020.4784251.00000.00000.05680.74470.29719TOPSISdi*di0Ci10.03460.66660.69560.64820.19310.32990.630820.06930.55550.55650.30340.19190.26790.582730.20780.22220.17530.41370.29140.09560.247140.10390.44440.41740.53780.21950.20230.479650.96950.00000.03950.16550.32990.19310.3692x*0.96950.66660.69560.1655x00.03460.00000.03950.64822022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法34/61多屬性決策分析—決策方法TOPSIS法的邊界問題x*x02022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法35/61多屬性決策分析—決策方法級別高于關系的構造由決策人設定各屬性的權重系數W={w1,w2,…,wn}；對給定的兩個方案xi和xk進行和諧性檢驗：(設每個屬性都是效益型指標）屬性集分類：J+(xi,xk)={j|j{1,…,n},(xi)j>(xk)j}；J=(xi,xk)={j|j{1,…,n},(xi)j=(xk)j}；J-(xi,xk)={j|j{1,…,n},(xi)j<(xk)j}；計算和諧指數：2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法36/61多屬性決策分析—決策方法和諧性檢驗：選定0.5<1，若I’ik1,Iik，則通過和諧性檢驗。越大，決策者承擔的風險越小。非不和諧性檢驗：這里的不和諧性是指當兩個方案的某個屬性值的差異常大時還能夠用其他屬性加以補償（即所謂完全補償性）。非不和諧性則只承認部分補償。因此ELECTRE方法由決策人給每個屬性j設定一個閾值dj，當(xk)j-(xi)jdj時，則不再接受其他屬性的補償，決策人不再承認xiOxk。確定級別高于關系：I’ik1,Iik，且對所有j，有(xk)j-(xi)j<dj

，則xiOxk。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法37/61多屬性決策分析—決策方法級別高于關系圖的繪制將每個方案用平面上的一個點代替；若xiOxk，則以xi為起點，以xk為終點繪制一條有向弧；重復繪制所有的級別高于關系，得到級別高于關系圖。級別高于關系圖是決策的依據，具體排序辦法請參閱相關資料。在此基礎上發展起來的決策方法有ELECTRE-Ⅰ法,Ⅱ法，Ⅲ法，Ⅳ法，TRI法；PROMETHEE-Ⅰ法,Ⅱ法等。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法38/61多目標決策分析—問題描述多目標決策問題是指決策變量連續、存在無數決策方案的多準則決策問題。其一般形式為：決策規則：DR{f1(x),f2(x),…,fn(x)}x表示一種方案，且xX={xRN|gk(x)0,k=1,2,…,m,x0}問題共包含n個目標，每個目標可能受N個屬性影響，所有屬性必須滿足一定的約束條件（共計m+N個約束）。多目標決策分析就是根據給定的決策規則（體現了決策人的偏好）從可行方案集X中找出最佳調和解xC。f1(x)f2(x)…fn(x)x1…xN2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法39/61多目標決策分析—決策方法多目標決策問題主要使用多目標規劃方法進行求解。DEA方法(DataEnvelopmentAnalysis)：在多目標決策分析中，除多目標優化問題外，還有一類多目標評價問題：對于多個同質的管理系統(決策單元)，如果已知各系統投入和產出，如何評價這些系統的優劣，或者說相對有效性？問題描述：設有n個決策單元，每個決策單元都有m種資源投入，第j個決策單元第i種投入指標的投入量記為xij>0(已知)；每個決策單元均有p種產出，第j個決策單元第r種產出量記為yrj>0(已知)。vi、ur分別表示第i種投入指標和第r種產出指標的權系數，需要通過建模得到。如何評價這n個決策單元的相對有效性？2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法40/61多目標決策分析—決策方法C2R(Charnes,Cooper,Rhodes)模型(第一個DEA模型)對每一個決策單元j，都定義一個效率評價指標：hj稱為效率指標，可通過對權系數取值的選擇使hj1。評價第j0個決策單元有效性的C2R模型為：2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法41/61多目標決策分析—決策方法模型轉化：將分式規劃轉變成線性規劃。令則分式規劃轉變為下列形式：2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法42/61多目標決策分析—決策方法有效性分析：若線性規劃的最優解0，0滿足條件則決策單元j0為弱DEA有效。若0>0，0>0也成立，則決策單元為DEA有效。xy=f(x)A:規模有效，技術有效C：技術有效生產函數曲線B：既不是規模有效也不是技術有效2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法43/61序貫決策分析—問題描述序貫決策是一類多階段決策問題，前一階段的決策結果對后一階段決策直至最終決策產生影響，整個決策問題的求解需要采取多次行動才能完成。將貝葉斯決策分析方法應用于不同的決策階段，并根據各階段之間的關系可以獲得多階段決策問題的解。動態規劃和馬爾可夫決策是兩類重要的多階段決策方法。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法44/61序貫決策分析—多階段決策經過相互銜接、相互關聯的若干階段決策才能完成的決策任務稱為多階段決策。決策分析的關鍵：劃分決策階段、確定各階段狀態變量、尋找各階段之間的關系；采用從后向前的逆序歸納法進行決策分析。決策方法：根據問題不同，可選用貝葉斯決策分析方法、多屬性決策方法或多目標決策方法。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法45/61序貫決策分析—貝葉斯方法例：某公司計劃購買一種新產品專利，購置費1萬元。若購置了專利，可選擇三種生產規模：大批量生產(a1)，中批量生產(a2)，小批量生產(a3)。市場銷售狀態為：{暢銷1,0.6;一般2,0.3;滯銷3,0.1}。根據歷年資料統計分析，新產品進入市場的銷售收益矩陣如左下表。為了準確掌握市場動向，公司可投入0.5萬元開展試銷。根據統計表明，產品歡迎度和銷售狀態之間的關系如右下表。試幫助該企業做如下決策：是否購買專利？(已知如果不購買專利，1萬元的投資收益為1.1萬元)購買專利后是否試銷？如何確定該公司的批量生產計劃？萬元123a142-3a233-2a3111123H1(歡迎)0.60.20.2H2(一般)0.30.60.3H3(不受歡迎)0.10.20.52022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法46/61序貫決策分析—貝葉斯方法解：這是一個三階段決策問題。第一階段確定是否購買專利，第二階段確定是否試銷，第三階段確定批量生產計劃。決策過程采取逆序歸納法，即先從第三階段開始。試銷：計算后驗概率及各批量生產計劃的收益，得：試銷的期望收益為：0.44*3.406+0.39*2.620+0.17*1.53=2.7805H1H2H3p(Hi)0.440.390.17p(1|Hi)0.8180.4620.353p(2|Hi)0.1360.4620.353p(3|Hi)0.0460.0760.294H1H2H3a13.4062.5441.236a22.7702.6201.530a31.0001.0001.0002022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法47/61序貫決策分析—貝葉斯方法不試銷：結論：123期望p(i)0.60.30.1a142-32.7a233-22.5a31111購買專利不購買試銷不試銷H1,a1：3.406萬元H2,a2：2.620萬元H3,a2：1.530萬元a1：2.7萬元1.1萬元2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法48/61序貫決策分析—Markov法有一類序貫決策問題，其狀態隨著時間變化而隨機變化，決策的任務就是根據當前狀態預測其未來某一時刻的狀態，如銷售狀態預測、股價預測等。下面介紹一種Markov決策方法分析求解此類問題。雖然Markov過程是很嚴格的，實際管理問題并不能總是滿足其條件，但往往將其看作近似Markov過程也能得到很好的結果。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法49/61序貫決策分析—Markov法鏈及其狀態集：設m為隨機變量(如股價)，稱隨機變量序列{m|m=1,2,...}為鏈，稱由m的全體狀態構成的有限集為該鏈的狀態集(如上漲、持平、下跌)，記為N={N1,N2,...,Nn}。Markov鏈：設鏈{m|m=1,2,...}，其狀態為N={N1,N2,...,Nn}。若對于任意正整數k及i(1),i(2),...,i(k),i(k+1)n，條件概率等式：p{k+1=Ni(k+1)|1=Ni(1),...,k=Ni(k)}=p{k+1=Ni(k+1)|k=Ni(k)}成立，則稱鏈{m|m=1,2,...}為Markov鏈。說明：Markov鏈的特點是隨機變量在第k+1時刻出現某狀態的概率僅取決于其在第k時刻的狀態，而與k時刻之前的任何時刻的狀態無關，即無后效性。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法50/61序貫決策分析—Markov法例：如果股價狀態(u:上漲；e:持平；d:下跌)的變化序列構成Markov鏈，則根據下列兩個序列：udeedu,duddeu預測下一個交易日為上漲的概率相同。齊次Markov鏈：設{m|m=1,2,...}，其狀態為N={N1,N2,...,Nn}。對于任意正整數i,j,以及s,t,k，條件概率等式p{s+k=Nj|s=Ni}=p{t+k=Nj|t=Ni}成立，則稱此Markov鏈為齊次Markov鏈。ueue12468101335791112142022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法51/61序貫決策分析—Markov法狀態轉移概率及轉移概率矩陣：設齊次Markov鏈{m|m=1,2,...}，狀態為N={N1,N2,...,Nn}。稱pij=p{s+1=Nj|s=Ni}為隨機變量從狀態Ni到Nj的轉移概率(即s時刻為Ni狀態時，s+1時刻為Nj狀態的概率)。稱對應的矩陣P=(pij)n×n為轉移概率矩陣。顯然有：pij0;jpij=1。k步轉移概率及k步轉移概率矩陣：設齊次Markov鏈{m|m=1,2,...}，其狀態為N={N1,N2,...,Nn}。稱pij(k)=p{s+k=Nj|s=Ni}為隨機變量從狀態Ni經k步轉移到Nj的轉移概率(即s時刻為Ni狀態時，s+k時刻為Nj狀態的概率)。稱對應的矩陣P(k)=(pij(k))n×n為k步轉移概率矩陣。顯然有：pij(k)0;jpij(k)=1。可以證明：P(k)=Pk2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法52/61序貫決策分析—Markov法基于Markov過程的預測：設隨機變量遵從齊次Markov過程，狀態轉移概率矩陣為P，且第k時刻隨機變量的各狀態{N1,N2,...,Nn}的概率分布為u(k)=(u1(k),u2(k),...,un(k))T，則第s時刻(s>k)隨機變量的各狀態的概率分布為：u(s)=(Ps-k)Tu(k)特別地，若k=0(初始狀態)，則有u(s)=(Ps)Tu(0)2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法53/61序貫決策分析—Markov法穩定狀態概率：設有齊次Markov鏈{m|m=1,2,...}，狀態為N={N1,N2,...,Nn}。若對一切狀態Ni，存在不依賴于i的常數j，對于狀態Nj，恒有：limk→∞pij(k)=j，則稱該齊次Markov鏈具有遍歷性。j稱為狀態Nj的穩定狀態概率；=(1,2,...,n)T稱為穩定狀態概率向量。若轉移矩陣P為正規矩陣(即存在正整數k使得Pk>0)，則對應的Markov鏈具有遍歷性，且該Markov鏈的隨機變量各狀態最終收斂于某個與初始狀態完全無關的穩定狀態，穩定狀態概率向量滿足：PT=。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法54/61序貫決策分析—Markov法例：某廠家生產商品A，為了與同類產品B、C的競爭，廠家可采用下列經營策略：(1)發放有獎債券；(2)投放廣告；(3)優質售后服務。統計表明，三種經營策略帶來的市場占有率轉移矩陣分別為：P1=[0.950.0250.025;0.100.800.10;0.100.150.75]P2=[0.900.050.05;0.150.750.10;0.100.150.75]P3=[0.900.050.05;0.100.800.10;0.150.150.70]三種方案實施的成本分別為150萬元、40萬元、30萬元。該類商品的市場總容量為1000萬件，每銷售1件產品可獲利1元。為保證在今后長期經驗中獲取最大利潤，企業該采用什么樣的經營策略？2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法55/61序貫決策分析—Markov法解：這是一個長期經營策略問題，可通過計算市場占有率(Markov過程的隨機變量)的穩定狀態概率向量來確定企業的經營策略。經計算，采取三種經營策略后A、B、C三種商品的市場占有率分別穩定在如下狀態：經營策略1：A=0.667,B=0.190,C=0.143經營策略2：A=0.559,B=0.235,C=0.206經營策略3：A=0.545,B=0.273,C=0.182采取不同經營策略時該廠家的收益如下：經營策略1：0.667*1000-150=517萬元經營策略2：0.559*1000-40=519萬元經營策略3：0.545*1000-30=515萬元。結論：采用經營策略2，即投放廣告。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法56/61序貫決策分析—Markov法例：某種商品的銷售有暢銷和滯銷兩種狀態，暢銷時可獲年利潤100萬元，滯銷時可獲年利潤30萬元。以一年為一期，設不采取廣告策略與采取廣告策略的銷售狀態轉移矩陣為P1=[0.80.2;0.40.6]P2=[0.90.1;0.70.3]每年廣告費為15萬元，假定上一年為暢銷。為保證今后3年獲得的利潤和最大，應該采取什么策略？2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法57/61序貫決策分析—Markov法解：這是一個短期經營決策問題，可通過計算3年的期望利潤總和來確定企業的經營策略。初始狀態：u(0)=(1,0)T，收益矩陣F=(100,30)。不投放廣告：F總=F*(P1+P12+P13)T*u(0)=244.56萬元投放廣告：F總=F*(P2+P22+P23)T*u(0)-3*15=230.92萬元結論：不采取廣告策略。2022/12/1321:36決策理論與方法57/61序貫2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法58/61多屬性決策分析—多目標決策什么是多目標決策問題？(例如購買衣服時，款式、價格、顏色、質量等可能都是決策目標)。多目標決策問題的特點：決策問題的目標多于一個；多個目標間不可公度(non-commensurable)，即各目標沒有統一的衡量標準，難以比較；各目標之間存在矛盾。一般將決策變量離散、決策方案有限的多目標決策問題稱為多屬性(Multi-attribute)決策問題；而將決策變量連續、有無限決策方案的多目標決策問題稱為多目標(Multi-objective)決策問題。兩者又可以統稱為多準則(Multi-criterion)決策問題。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法59/61多屬性決策分析—相關術語屬性(Attribute)：備選方案的特征、品質或性能參數(如描述服裝的款式、顏色、布料、質量、價格)，也稱為指標。指標體系(IndexSystems)：一系列互相聯系、互相補充的指標所組成的統一整體。指標體系往往由多層組成(習慣上稱為一級指標、二級指標等)，層次結構分為樹狀結構和網狀結構，其中以樹狀結構最常用。一級指標總目標二級指標三級指標2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法60/61多屬性決策分析—相關術語目標(Objective)：決策人的愿望或決策人所希望達到的、努力的方向(如物美價廉)。在多目標決策中，目標是求極值的對象，是需要優化的函數式。目的(Goal)：在特定時間、空間狀態下，決策人的期望，是目標的具體數值表現。目標和目的常混用。準則(Criterion)：判斷的標準或度量事物價值的原則及檢驗事物合意性的規則，兼指屬性和目標。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法61/61多屬性決策分析—求解過程2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法62/61多屬性決策分析—目標與屬性在多目標決策中，決策目標常用目標集、目標遞階分層結構以及屬性集描述；目標遞階分層結構的最下層目標要用一個或多個屬性來描述；不同的方案對應的各屬性值存在差異，也就導致目標實現的差異，因此可借此來評價方案的優劣；替代屬性：某些目標無法用屬性值直接度量時，需要使用替代屬性對目標進行度量。如師資隊伍的質量可以用學歷結構、職稱結構、專業結構、科研能力等替代屬性來衡量。(尋找“替代屬性/替代變量”在科學研究中是非常重要的)2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法63/61多屬性決策分析—目標與屬性屬性選擇的要求：每個屬性是可測和可理解的；屬性集是最小完備集：既要能夠描述決策問題的所有(重要)方面，又不能有冗余；屬性的測量值是可運算的；屬性集內的各屬性相互獨立、可分解。但在實際決策中，上述要求很難達到，這也正是我們開展決策理論與方法研究的動力源。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法64/61多屬性決策分析—目標與屬性例：某流域水資源項目建設目標(指標體系)及屬性2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法65/61多屬性決策分析—問題的符號表示MA=<X,A,Θ,V,,f>X表示方案集，X={x1,x2,…,xm}A表示屬性集，A={a1,a2,…,an}Θ表示狀態集，Θ={1,2,…,k}V表示值集，所有可能取值的集合:Θ→V，分布函數，確定各狀態發生的可能性f:X×A→V，目標函數，確定各方案對應的屬性值2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法66/61多屬性決策分析—問題的符號表示例：給定自然狀態的多屬性決策問題方案集發電作物船運COD水流失土流失景點數動物植物減災x18.945557.2827734115887x27.662476.4768245121354x39.246679.59180339124992022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法67/61多屬性決策分析—屬性值預處理剩下的問題是我們如何評價方案的優劣。屬性值預處理的目標是規范化各屬性值，使其能夠真正體現方案優劣的實際價值。屬性值類型：效益型指標：屬性值越大越好；成本型指標：屬性值越小越好；中性指標：屬性值取某一個恰當的值最優，過大、過小都不合適。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法68/61多屬性決策分析—屬性值預處理預處理主要有兩項任務：非量綱化：通過某種方法消除量綱的選用對決策或評價結果的影響。歸一化：不同屬性的屬性值取值范圍存在很大差別，為了真實反映各屬性值的價值，需要將屬性值統一變換到[0,1]區間上以消除屬性取值范圍的差異對決策或評價結果的影響。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法69/61多屬性決策分析—屬性值預處理設fi(a)為方案i的a屬性值，記fmax=max(fi(a))，fmin=min(fi(a))線性變換效益型。變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=fi(a)/fmax；成本型。變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=1-fi(a)/fmax；或者變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=fmin/fi(a)。標準0-1變換效益型。zi(a)=(fi(a)-fmin)/(fmax-fmin)；成本型。zi(a)=(fmax-fi(a))/(fmax-fmin)。向量規范化：zi(a)=fi(a)/(ifin(a))1/n(n可以取1或2)。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法70/61多屬性決策分析—屬性值預處理ji人均論著(a1)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.05681.0000ji人均論著(a1)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)逾期畢業率(a4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000ji人均論著(a1)生師比(a2)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.5550004.721.0740002.233.01012603.041.5430003.9514.022841.2fmax1450004.7fmin0.52841.2(f2)1/214.4471887.25ji人均論著(a1)科研經費(a3)逾期畢業率(a4)10.03460.69560.648220.06930.55650.303430.20780.17530.413740.10390.41740.537850.96950.03950.1655線性變換標準0-1變換向量變換2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法71/61多屬性決策分析—屬性值預處理中性屬性(最優值為給定區間)規范化策略下極限f0上極限f0最優區間f1～f21zfzi(a)=(1)fi(a)≤f0，0(2)f0<fi(a)<f1，1-(f1-fi(a))/(f1-f0)(3)f1≤fi(a)≤f2，1(4)f2<fi(a)<f0，1-(fi(a)-f2)/(f0-f2)(5)fi(a)≥f0，02022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法72/61多屬性決策分析—屬性值預處理ji生師比(a2)生師比z(a2)設：f0=2,f1=5,f2=6,f0=12151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000ji生師比(a2)Temp(a2)生師比z(a2)(1)E=5.6000（均值）(2)Tempi(a)=(fi(a)-E)/E(3)應用線性變換或標準0-1變換或向量變換。本例是采用線性變換。zi(a)=1-tempi(a)/max(tempi(a))150.10710.8636270.25000.68183100.78570.0000440.28570.6364520.64290.18182022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法73/61多屬性決策分析—屬性值預處理異常(outlier)處理。對同一個屬性a，若各方案的值差異極大或某方案的值相對其他方案出現明顯的偏離，如按一般方法規范化，在評價時該屬性的影響將被不恰當地放大（如前例中的論著一項，方案5的值是14，顯著大于其他4個方案）。因此需要采用特別方法處理，處理方法有很多，下面介紹一種常用方法。設定一個轉換后的期望值（均值）：M(0.5～0.75)作變換z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=(fi(a)-E)×(1-M)/(fmax-E)+M其中E為當前屬性值的均值；fmax為當前屬性值的最大值2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法74/61多屬性決策分析—屬性值預處理2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法75/61多屬性決策分析—屬性值預處理專家評分范圍差異的處理。當一組專家對若干方案進行評價時，由于習慣不同，各自的評分范圍可能存在較大差異，需要進行規范化處理。映射區間定義：[M0,M*]定義映射z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=M0+(M*-M0)(fi(a)-fmin)/(fmax-fmin)一般取M0=0，M*=1。對應標準0-1轉換。2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法76/61多屬性決策分析—屬性值預處理兩個不同專家對方案1-5評價結果(百分制)如下表。ji專家1(a)專家2(a)專家1(z(a))專家2(z(a))174910.84210.8750265810.36840.4583360700.10530.0000477941.00001.0000558720.00000.08332022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法77/61多屬性決策分析—權重確定當決策者面對多個目標時，存在目標的重要性不同的問題，這就需要引入權(Weight)的概念加以解決。權是目標重要性的數量化表示，它的作用有：決策人對目標的重視程度；各目標屬性值的差異程度；各目標屬性值的可靠程度。權重確定方法：兩兩比較法。對不同目標的重要性進行兩兩比較，形成一個判斷矩陣。但判斷矩陣存在兩方面的一致性問題：(1)a1/a2=3,a2/a3=2a1/a3=6?(2)不同專家間的一致性問題a2(1)/a3(1)=2a2(2)/a3(2)=2?2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法78/61多屬性決策分析—權重確定判斷矩陣的構造假設屬性ai的權記為wi，則wij=wi/wj為判斷矩陣A的第i行第j列元素。A=[wij]n×n在實際決策中，wi是未知的，需要借助專家的評價。我們用專家的評價結果aij=ai/aj代替wij。aij=ai/aj的取值如下：=1：同等重要=3：目標i略重要于目標j=5：目標i比目標j重要(相當重要)=7：目標i比目標j明顯重要=9：目標i相對目標j絕對重要=2,4,6,8：上述兩個相鄰判斷的中間值2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法79/61多屬性決策分析—權重確定最小二乘法確定權重。由于用aij代替wij，兩者之間可能存在誤差ij=(wjaij-wi)。利用最小二乘法，得到下列二次規劃方程：

Minijij2=ij(wjaij-wi)2St:iwi=1，wi>0(i=1,2,…,n)利用拉格朗日法可將該優化問題轉為求解下列方程組：2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法80/61多屬性決策分析—權重確定Matlab求解：Functionweight(A)D=diag(diag(A'*A)+1)-A-A';n=length(A);Row1=ones(n,1);Col1=ones(1,n);D=[DRow1;Col10];B=zeros(n,1);B=[B;1];W=inv(D)*B2022/12/1321:36決策理論與方法-隨機決策理論2022/12/1522:07決策理論與方法-隨機決策理論與方法81/61多屬性決策分析—權重確定特征向量法：因為AW=nW，n為A的最大特征值。當判斷矩陣A的估計存在誤差時，則A中元素值的變化帶來最大特征值