小波與小波分析初步小波小波變換小波級數自動化系---吳2012-2-231Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第1頁!2012-2-232Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第2頁!小波分析簡史小波分析是自1986年以來由于Y.Meyer，S.Mallat及I.Daubechies等的奠基工作而迅速發展起來的一門新興科學。它是Fourier變換劃時代發展的結果。應用十分廣泛。它的發展歷史可以追朔到1909年Haar的工作。從現代小波分析的觀點看，1930年前后有許多與小波的新方向出現。但是此后的進展一直不大。1960年Caldero’n及20年后1980年Grossmann與Morlet的研究的”原子分解”是小波分析的新開端。3小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第3頁!什么是小波小波

對于函數，稱ψ(t)是小波，如果小波(函數)特點在整個實軸上可得，所以在無窮遠處為零。圖像是振蕩的，即圖像與x軸所夾的上半平面中的面積和下半平面的面積是相等的。小波英文中為Wavelet或Wavelets。研究的信號都是能量有限的，所以2012-2-234Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第4頁!Haar小波及它的Fourier變換2012-2-235Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第5頁!Shannon小波及它的Fourier變換2012-2-236Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第6頁!Mexic帽小波及它的Fourier變換2012-2-237Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第7頁!小波族(Wavelets)其中a為尺度參數，b為位移參數。引入小波函數ψ(t)的平移與伸縮構成函數族8小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第8頁!連續小波變換小波變換是對Fourier變換、Gabor變換的進一步伸延。連續小波變換

設，稱積分小波變換，也稱為連續小波變換。連續小波變換也可寫為內積形式2012-2-239Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第9頁!%設置有效支撐和網格參數，就是自變量的取值范圍和在這個范圍內的取值點的個數lb=-5;ub=5;n=1000;%計算并畫出Mexicanhat小波[psi,x]=mexihat(lb,ub,n);figure(1);subplot(311);plot(x,psi,'r','LineWidth',2);legend('Mexicanhat')title('連續小波變換');%裝載實際信號loadvonkochvonkoch=vonkoch(1:510);lv=length(vonkoch);subplot(312);plot(vonkoch,'LineWidth',2);legend('被分析信號');subplot(313);%執行連續小波Mexicanhat變換，ccfs=cwt(vonkoch,1:32,'mexh','abslvl',[200400]);10小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第10頁!一個實際信號的小波變換11小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第11頁!小波變換重構原來函數的條件在Fourier變換中，給出了函數f(t)的Fourier變換，還可以用Fourier逆變換再變回到f(t)，即可以由重構f(t)。在小波變換中，有無逆變換，或者說，如何用小波變換重構f(t)呢？要解決這一問題，除假定外，還需要ψ(t)滿足容許性條件2012-2-2312Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第12頁!函數用連續小波變換重構定理如果ψ是一個基小波，由它定義了一個連續小波變換，那么對所有成立。而且對任何和f的連續點，有2012-2-2313Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第13頁!代入定理第1式左邊

是Fourier逆變換14小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第14頁!正交小波記正交小波定義

一個小波稱為是一個正交小波，如果是的一個規范正交基，即而且每個能寫為而上面級數的收斂是中的收斂。2012-2-2315Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第15頁!Haar小波Haar小波

Haar小波函數定義為h(t)的Fourier變換2012-2-2316Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第16頁!Shannon小波Shannon函數s(t)是由下述它的Fourier變換定義的函數取Fourier逆變換得到s(t)滿足小波的定義。2012-2-2317Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第17頁!Gauss小波與Mexic帽小波Gauss小波是Gauss函數的一階導數Mexic帽小波是Gauss函數的二階導數18小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第18頁!Haar小波，高斯概率密度函數的一階導數生成的小波，墨西哥帽小波2012-2-2319Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第19頁!20小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第20頁!連續小波變換的Matlab命令Cwt函數-----一維連續小波變換函數語法格式：Coefs=cwt(S,scales,’wname’,‘plot’)Coefs=cwt(S,scales,’wname’,plotmode,xlim)S是信號；scales是正的實尺度；wname小波名，計算向量一維小波系數；plot畫圖；plotmode是圖形著色，它的有效值是：’lvl’—scale-by-scale著色模式,‘glb’—所有尺度的著色模式,‘abslvlorlvlabs’—使用系數絕對值的scale-by-scale著色模式,‘absglborglbabs’—使用系數絕對值并考慮所有尺度的著色模式。Xlim＝[x1x2]并且1<=x1<=x2<=length(S)。21小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第21頁!連續小波變換的圖示用墨西哥帽小波計算出的小波變換作業任給一個信號，計算小波變換，并繪圖22小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第22頁!連續小波變換的頻域表示的Fourier變換對連續小波變換用Parseval恒等式意思是連續小波變換關于b的Fourier變換為23小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第23頁!基小波基小波

如果并且滿足容許性條件，則稱ψ是一個基小波。相應的連續小波變換稱為關于這個基小波的連續小波變換(或積分小波變換)。在以后談到小波時，如無特別聲明，就指的是基小波。前邊幾個小波例子都是基小波?；〔ㄅc積分為0差別并不大，只需加上稍微強一點的條件。2012-2-2324Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第24頁!重構定理證明由Parseval恒等式得類似地2012-2-2325Waveletsanalysis小波與小波分析初步共27頁，您現在瀏覽的是第25頁!這就證明了式。如果f在連續，取則由Gauss函數卷積結論，得而這就證明了第二式。