第6章常微分方程的數值解法

計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第1頁!考慮常微分方程的初值問題

(6-1)

(6-2)則（6-1）的解存在且唯一。

或與其等價的積分方程

，對任意

滿足Lipschitz條件，即存在常數，均有若計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第2頁!

它是一種離散化方法，利用這種方法，可以在一系列事先取定的中的離散點（稱為節點）上求出未知函數之值的近似值。而通常稱為初值問題的數值解。

首先我們利用數值積分公式建立求解（6-1）或（6-2）的數值方法。

什么是數值解法？（通常取成等距，即稱為步長）其中計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第3頁!

首先，對(6-3)右端積分項使用左矩形求積公式，則得令

上式稱為Euler求解公式，又稱矩形公式。

(6-4)一、Euler法計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第4頁!用Euler公式計算初值問題的解在處的數值解。

小數點后保留4位）。

例：（取步長

，計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第5頁!Euler法（切線法）的幾何解釋計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第6頁!二、梯形法對(6-3)右端的積分使用梯形求積分式計算，則得令上式稱為梯形公式，簡稱梯形法．

(6-5)將Euler公式與隱式Euler公式做算術平均，也可得出梯形公式計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第7頁!

梯形公式與Euler公式相比要精確的多，但是梯形公式的計算量要大一些。每步計算要解一個關于的非線性方程，從而要用如下迭代公式：取初值為，反復迭代，即計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第8頁!為了避免求解非線性代數方程，可以用Euler法將它顯化，

(6-6)建立預測——校正系統：求解公式(6-6)稱為改進的Euler法，其中稱為預測值，稱為校正值.其求解順序為：計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第9頁!三、Milne公式若在區間上，對(6-2)右端的使用Simpson求積公式，得

令

(6-8)

(6-8)可寫成(6-9)其中

此為二步方法，需要已知和，才能由(6-9)計算出的值。二步以上的方法也稱為多步法。計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第10頁!

如果設某求解公式的局部截斷誤差：這樣我們就稱該求解公式具有p階精度。則我們可以證明其整體截斷誤差為：事實上，若則

求解公式的精度越高，計算解的精確性可能越好。通過簡單的分析，可知Euler法具有一階精度，梯形法具二階精度。計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第11頁!

歐拉（LeonardEuler,公元1707-1783年），歷史上最偉大的數學家之一，與阿基米德、牛頓、高斯一起被稱為有史以來貢獻最大的四位數學家．

歐拉從小就特別喜歡數學，不滿10歲就開始自學《代數學》。13歲上大學，兩年后獲得巴塞爾大學的學士學位，次年又獲得巴塞爾大學的哲學碩士學位。1725年，歐拉來到彼得堡，開始了他的數學生涯．

1733年，年僅26歲的歐拉擔任了彼得堡科學院數學教授．過度的工作使他得了眼病，右眼失明，時年28歲．1741年歐拉到柏林擔任科學院物理數學所所長．1766年，重回彼得堡任職．沒過多久，左眼視力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而來，1771年一場大火將他的書房和大量研究成果全部化為灰燼．

沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下．他以驚人的毅力，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世．在失明后的17年間，他還口述了幾本書和400篇左右的論文．當大火燒掉他幾乎全部的著述之后，歐拉用了一年的時間口述了所有這些論文并作了修訂．

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6.1.1基于數值積分的解法

由（6-2），

將節點取為（6-3）的近似值

如果的近似值已經求出，則通過計算(6-3)右端項的數值積分可求出計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第13頁!

歐拉

LéonardEuler萊昂納爾·歐拉（LéonardEuler,1707～1783）是歷史上著作最多的數學家，被同時代的人稱為“分析的化身”。人們評價他：“歐拉計算毫不費力，就像人呼吸、或者鷹在風中保持平衡一樣”，歐拉--算法學家，為解決特殊類型的問題設計“算法”的數學家。歐拉的數學事業開始于牛頓去世的那一年（1727年）。他在1748年、

1755年和1768～1770所著關于微積分的偉大論著(《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》)，立即就成為了經典著作，并且在四分之三個世紀中，繼續鼓舞著想成為大數學家的的年輕人。歐拉1707年4月15日出生于瑞士的巴塞爾，其父是牧師，歐拉是能在任何地方、任何條件下工作的幾個大數學家之一。他常常抱著一個嬰兒寫作他的論文，同時稍大一點的孩子們在他周圍嬉戲著。據說，在家人兩次叫他吃飯的半個小時左右的間隔中，他就能草就一篇數學文章。歐拉是為月球問題形成一個可計算解（月球理論）的人。在生命最后17年中他完全失明，這并沒有妨礙他的無以倫比的多產的；他既靠視覺又靠聽覺記憶。它還有驚人的心算本領，不僅心算算術類型的問題，也心算高等代數和微積分學中要求的更難的問題。他那個時代整個數學領域中的全部主要公式，都精確地儲藏在他的記憶中。歐拉直到他臨終的那一刻仍然神志清醒、思想敏捷，他享年77歲，于1783年9月18日去世。那天下午她計算氣球上升的規律消遣—像往常一樣，在他的石板上計算，然后他和家人一起吃晚飯。天王星是新近發現的，歐拉略述了對它的軌道的計算。過了一會兒，他讓人把他的孫子帶進來。在與孩子玩和喝茶的時候，歐拉突然中風。煙斗從他的手里掉下來，他說了一句“我死了”，就中止了他的生命和計算。計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第14頁!解：

相應的Euler公式：由初值，計算得計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第15頁!隱Euler法

首先，對(6-3)右端積分項使用右矩形求積公式，則得令

上式稱為隱Euler公式，又稱右矩形公式。

(7-4)計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第16頁!二、梯形法

對(7-3)右端的積分使用梯形求積分式計算，則得令

，

(6-5)上式稱為梯形求解公式，簡稱梯形法．

計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第17頁!，，，

若序列收斂于，當時，得到：則取為第個近似值。

如此迭代下去得到迭代序列：，，在實際計算中，通常要求滿足

為終止條件，此時取作為的近似值。

計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第18頁!改進的Euler法還可寫成如下形式：(6-7)

如果關于是線性函數，則隱式公式可以顯式化。

例，若方程為：

后Euler公式：

，

梯形公式：

計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第19頁!衡量求解公式好壞的一個主要標準是求解公式的精度。定義假設，，則稱為求解公式第n步的局部截斷誤差。定義

為求解公式在點上的整體截斷誤差。計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第20頁!下面利用Taylor展開，求Euler法的局部截斷誤差計算方法七常微分方程的數值解法共22頁，您現在瀏覽的是第21頁!

歐拉知識淵博，著作豐富，令人驚嘆不已！他從19歲開始發表論文，直到76歲，一生寫下了浩如煙海的書籍和論文．可以說歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家，據統計他共寫下了886本書籍和論文，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。到今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數論中的歐拉函數，微分方程的歐拉方程，級數論的歐拉常數，變分學的歐拉方程，復變函數的歐拉公式等等，數也數不清．他對數學分析的貢獻更獨具匠心，《無窮小分析引論》一書便是他劃時代的代表作，當時數學家