曲線與方程學習如幾何曲線幸福似小數循環.曲線與方程學習如幾何曲線1教學目標：1、知識與能力:會求各種曲線的方程2、過程與方法:會用直接法、相關點法、定義法求曲線的方程3、情感態度與價值觀：培養合作探討、勇于創新的精神，滲透事物之間等價轉化的辯證唯物主義觀點重點：會用相關點法求曲線的軌跡方程難點：靈活運用各種方法求軌跡方程教學目標：2專題4有關圓錐曲線軌跡方程的求法課件3典例分析題型一直接法求曲線方程【例1】已知點F（1，0），直線l:x=-1,P為坐標平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且求動點P的軌跡方程C.學后反思當動點所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關系或這些幾何條件簡單明了易于表達時，只要將這種關系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法.分析設P點坐標為（x,y），再表示出Q點，,，，的坐標，直接代入滿足的條件求P點軌跡方程.解：設動點P(x,y)，則Q(-1,y).由，得（x+1,0）·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：典例分析題型一直接法求曲線方程學后反思當動點所滿足4舉一反三1.已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程.解析:設P(x,y),則(1)當x≤3時，方程變為,即.化簡，得(2)當x＞3時，方程變為,即化簡,得故所求的點P的軌跡方程是,0≤x≤3,,3＜x≤4.舉一反三解析:設P(x,y),則5題型二利用定義或待定系數法求曲線方程【例2】已知圓:和圓：動圓M同時與圓及圓相外切.求動圓圓心M的軌跡方程.分析設圓半徑,圓半徑,動圓M半徑R,則由兩圓外切性得,∴(定值)＞0，故可考慮用雙曲線定義求軌跡.題型二利用定義或待定系數法求曲線方程分析設圓6解設動圓M與圓及圓分別外切于點A和點B，根據兩圓外切的充要條件，得,∵MA=MB,∴即這表明動點M到兩定點、的距離的差是常數2.根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到的距離大，到的距離小），其中a=1,c=3,則.設點M的坐標為（x,y）,則其軌跡方程為(x≤1).解設動圓M與圓及圓分別外切于點A和點B，7學后反思解決本題的關鍵是找到動點M滿足的條件，對于兩圓相切問題，自然考慮圓心距與半徑的關系.當判斷出動點的軌跡是雙曲線的一支，且可求出a,b時，則直接寫出其標準方程，這種求曲線方程的方法稱為定義法.舉一反三2.如圖，已知線段AB=4,動圓O′與線段AB切于點C，且AC-BC=.過點A、B分別作圓O′的切線，兩切線相交于P，且P、O′均在AB同側.建立適當坐標系，當O′位置變化時，求動點P的軌跡E的方程.學后反思解決本題的關鍵是找到動點M滿足的條件，對于兩圓相8解析:以線段AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A(-2,0),B(2,0).設P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC=<4.根據雙曲線的定義，動點P的軌跡為雙曲線的右支且a=2,c=2,則所以軌跡E的方程為(x>2).題型三用相關點法求軌跡方程【例3】已知長為的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且求點P的軌跡方程.解析:以線段AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，建立9分析由A、B兩點分別在x軸、y軸上,且,得P點的坐標可以用A、B兩點的坐標表示出來，而|AB|=,故可求得A、B坐標滿足的關系式，再把P點的坐標代入所求的關系式即可得到P點的軌跡方程.解設A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因為又,所以,即,因為AB=，即所以化簡得,故點P的軌跡方程為…..分析由A、B兩點分別在x軸、y軸上,且10學后反思對涉及較多點之間的關系問題，可先設出它們各自的坐標，并充分利用題設建立它們之間的相關關系；再對它們進行轉化和化簡，最后求出所求動點坐標所滿足的方程.這種根據已知動點的軌跡方程，求另外一點的軌跡方程的方法稱為代入法或相關點法.舉一反三3.點P是圓上的動點，O是坐標原點，求線段OP的中點Q的軌跡.學后反思對涉及較多點之間的關系問題，可先設出它們各自的坐11解析：設,Q(x,y),則,∴,∵是圓上的動點，∴∴即題型四用參數法求軌跡方程【例4】(14分)設橢圓方程為,過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點,l上的動點P滿足當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.解析：設,Q(x,y),則12分析設出直線l的方程，和A、B兩點的坐標，并將直線l方程與橢圓方程聯立，求出,,由可表示出點P坐標，再用消參法求軌跡方程.解直線l過點M(0,1),當l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1……….1′設、，由題設可得點A、B的坐標、是方程組，①的解.②將①代入②并化簡,得,……………4′則…………………8′

分析設出直線l的方程，和A、B兩點的坐標，并將直線l方程13于是………10′設點P的坐標為（x,y）,則

消去參數k,得(y≠0)③……………….12′當直線l的斜率不存在時，可得A、B的中點坐標為原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為…………………..14’學后反思本題運用了參數法求軌跡.當動點P的坐標x、y之間的直接關系不易建立時，可適當地選取中間變量t,并用t表示動點的坐標x、y，從而得到動點軌跡的參數方程消去參數t，便可得到動點P的軌跡方程.其中應注意方程的等價性和參數t與動點P(x,y)關系的密切性.于是14舉一反三4.過拋物線的頂點O引兩條互相垂直的直線分別與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡方程.解析：由題意知，兩直線的斜率都存在.設直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB:由得同理由得設P(x,y),則①

②舉一反三解析：由題意知，兩直線的斜率都存在.設直線OA的斜15由②^2-2×①，得即

故線段AB的中點P的軌跡方程為易錯警示【例】過點P(0,-2)的直線l交拋物線于A、B兩點，求以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M的軌跡方程.錯解

如右圖，設M(x,y),,,直線l的方程為y+2=kx,即y=kx-2.由消去y，得

由②^2-2×①，得即易錯警示【例16錯解分析直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,則l的斜率一定存在且受有兩個交點的限制，故應由此確定k的取值范圍，錯解中忽視了k的取值范圍，導致錯誤.∴,∴∵四邊形OAMB為平行四邊形,∴

消去k，得∴點M的軌跡方程為正解設M(x,y),,，直線l的方程為y+2=kx，即y=kx-2(k≠0).由消去y,得錯解分析直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,則l的斜率一17∴,∴又四邊形OAMB為平行四邊形，∴消去k,得又l與拋物線交于不同兩點A、B,∴解得且k≠0,又,∴y<-8或y>0.綜上,M點的軌跡方程為(y<-8或y>0).∴,18

想一想:今天在課堂上你學到了什么？求曲線的方程常用的幾種方法（1）直接法（2）定義法(待定系數法)（3）相關點法（4）參數法

想一想:今天在課堂上你學到了什么？求曲線的方程常用的幾19作業：已知點Q是曲線上的動點，點A的坐標為(1,0),求線段QA的中點P的軌跡方程.2.若直線y=kx+b交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=,線段AB的中點縱坐標等于-5,求k,b的值.3.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點T（-1，1）在AD邊所在直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的方程.作業：已知點Q是曲線上的動點，點A的坐標為(20考點演練1.已知點Q是曲線上的動點，點A的坐標為(1,0),求線段QA的中點P的軌跡方程.解析：設P(x,y),Q(x0,y0),則由中點坐標公式，得

解得

∵點Q在曲線上，∴∴,化簡得考點演練1.已知點Q是曲線上的動點，點A的212.若直線y=kx+b交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=,線段AB的中點縱坐標等于-5,求k,b的值.解析:由得設,,則

∴.①又∴,即.②由②，得,代入①，得2.若直線y=kx+b交拋物線于A、B兩點22∴或∴k=±2,b=-3或k=b=.經檢驗均符合要求.3.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點T（-1，1）在AD邊所在直線上.（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓的方程.∴或3.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相23解析：（1）∵AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,且AD與AB垂直，∴直線AD的斜率為-3.又∵點T(-1,1)在直線AD上,∴AD邊所在直線的方程為y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.(2)由x-3y-6=0,3x+y+2=0,得點A的坐標為(0,-2).∵M為矩形ABCD外接圓的圓心，且AM=，∴矩形ABCD外接圓的方程為解析：（1）∵AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,24曲線與方程學習如幾何曲線幸福似小數循環.曲線與方程學習如幾何曲線25教學目標：1、知識與能力:會求各種曲線的方程2、過程與方法:會用直接法、相關點法、定義法求曲線的方程3、情感態度與價值觀：培養合作探討、勇于創新的精神，滲透事物之間等價轉化的辯證唯物主義觀點重點：會用相關點法求曲線的軌跡方程難點：靈活運用各種方法求軌跡方程教學目標：26專題4有關圓錐曲線軌跡方程的求法課件27典例分析題型一直接法求曲線方程【例1】已知點F（1，0），直線l:x=-1,P為坐標平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且求動點P的軌跡方程C.學后反思當動點所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關系或這些幾何條件簡單明了易于表達時，只要將這種關系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法.分析設P點坐標為（x,y），再表示出Q點，,，，的坐標，直接代入滿足的條件求P點軌跡方程.解：設動點P(x,y)，則Q(-1,y).由，得（x+1,0）·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡得C：典例分析題型一直接法求曲線方程學后反思當動點所滿足28舉一反三1.已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程.解析:設P(x,y),則(1)當x≤3時，方程變為,即.化簡，得(2)當x＞3時，方程變為,即化簡,得故所求的點P的軌跡方程是,0≤x≤3,,3＜x≤4.舉一反三解析:設P(x,y),則29題型二利用定義或待定系數法求曲線方程【例2】已知圓:和圓：動圓M同時與圓及圓相外切.求動圓圓心M的軌跡方程.分析設圓半徑,圓半徑,動圓M半徑R,則由兩圓外切性得,∴(定值)＞0，故可考慮用雙曲線定義求軌跡.題型二利用定義或待定系數法求曲線方程分析設圓30解設動圓M與圓及圓分別外切于點A和點B，根據兩圓外切的充要條件，得,∵MA=MB,∴即這表明動點M到兩定點、的距離的差是常數2.根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到的距離大，到的距離小），其中a=1,c=3,則.設點M的坐標為（x,y）,則其軌跡方程為(x≤1).解設動圓M與圓及圓分別外切于點A和點B，31學后反思解決本題的關鍵是找到動點M滿足的條件，對于兩圓相切問題，自然考慮圓心距與半徑的關系.當判斷出動點的軌跡是雙曲線的一支，且可求出a,b時，則直接寫出其標準方程，這種求曲線方程的方法稱為定義法.舉一反三2.如圖，已知線段AB=4,動圓O′與線段AB切于點C，且AC-BC=.過點A、B分別作圓O′的切線，兩切線相交于P，且P、O′均在AB同側.建立適當坐標系，當O′位置變化時，求動點P的軌跡E的方程.學后反思解決本題的關鍵是找到動點M滿足的條件，對于兩圓相32解析:以線段AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A(-2,0),B(2,0).設P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC=<4.根據雙曲線的定義，動點P的軌跡為雙曲線的右支且a=2,c=2,則所以軌跡E的方程為(x>2).題型三用相關點法求軌跡方程【例3】已知長為的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且求點P的軌跡方程.解析:以線段AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，建立33分析由A、B兩點分別在x軸、y軸上,且,得P點的坐標可以用A、B兩點的坐標表示出來，而|AB|=,故可求得A、B坐標滿足的關系式，再把P點的坐標代入所求的關系式即可得到P點的軌跡方程.解設A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因為又,所以,即,因為AB=，即所以化簡得,故點P的軌跡方程為…..分析由A、B兩點分別在x軸、y軸上,且34學后反思對涉及較多點之間的關系問題，可先設出它們各自的坐標，并充分利用題設建立它們之間的相關關系；再對它們進行轉化和化簡，最后求出所求動點坐標所滿足的方程.這種根據已知動點的軌跡方程，求另外一點的軌跡方程的方法稱為代入法或相關點法.舉一反三3.點P是圓上的動點，O是坐標原點，求線段OP的中點Q的軌跡.學后反思對涉及較多點之間的關系問題，可先設出它們各自的坐35解析：設,Q(x,y),則,∴,∵是圓上的動點，∴∴即題型四用參數法求軌跡方程【例4】(14分)設橢圓方程為,過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點,l上的動點P滿足當l繞點M旋轉時，求動點P的軌跡方程.解析：設,Q(x,y),則36分析設出直線l的方程，和A、B兩點的坐標，并將直線l方程與橢圓方程聯立，求出,,由可表示出點P坐標，再用消參法求軌跡方程.解直線l過點M(0,1),當l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1……….1′設、，由題設可得點A、B的坐標、是方程組，①的解.②將①代入②并化簡,得,……………4′則…………………8′

分析設出直線l的方程，和A、B兩點的坐標，并將直線l方程37于是………10′設點P的坐標為（x,y）,則

消去參數k,得(y≠0)③……………….12′當直線l的斜率不存在時，可得A、B的中點坐標為原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方程為…………………..14’學后反思本題運用了參數法求軌跡.當動點P的坐標x、y之間的直接關系不易建立時，可適當地選取中間變量t,并用t表示動點的坐標x、y，從而得到動點軌跡的參數方程消去參數t，便可得到動點P的軌跡方程.其中應注意方程的等價性和參數t與動點P(x,y)關系的密切性.于是38舉一反三4.過拋物線的頂點O引兩條互相垂直的直線分別與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡方程.解析：由題意知，兩直線的斜率都存在.設直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB:由得同理由得設P(x,y),則①

②舉一反三解析：由題意知，兩直線的斜率都存在.設直線OA的斜39由②^2-2×①，得即

故線段AB的中點P的軌跡方程為易錯警示【例】過點P(0,-2)的直線l交拋物線于A、B兩點，求以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M的軌跡方程.錯解

如右圖，設M(x,y),,,直線l的方程為y+2=kx,即y=kx-2.由消去y，得

由②^2-2×①，得即易錯警示【例40錯解分析直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,則l的斜率一定存在且受有兩個交點的限制，故應由此確定k的取值范圍，錯解中忽視了k的取值范圍，導致錯誤.∴,∴∵四邊形OAMB為平行四邊形,∴

消去k，得∴點M的軌跡方程為正解設M(x,y),,，直線l的方程為y+2=kx，即y=kx-2(k≠0).由消去y,得錯解分析直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,則l的斜率一41∴,∴又四邊形OAMB為平行四邊形，∴消去k,得又l與拋物線交于不同兩點A、B,∴解得且k≠0,又,∴y<-8或y>0.綜上,M點的軌跡方程為(y<-8或y>0).∴,42

想一想:今天在課堂上你學到了什么？求曲線的方程常用的幾種方法（1）直接法（2）定義法(待定系數法)（3）相關點法（4）參數法

想一想:今天在課堂上你學到了什么？求曲線