電磁場理論小班授課第二講靜態場及邊值問題

電子科技大學2

靜態電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場

時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場靜態情況下，電場和磁場由各自的源激發，且相互獨立故可以分別討論

3靜電場的基本方程和邊界條件靜電場分析邊界條件微分形式：本構關系：基本方程積分形式：靜電場：4即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數稱為靜電場的標量電位或簡稱電位，具有明確的物理意義。

電位函數

位函數的定義電磁標量位靜電場電位的不確定性？電位參考點的選擇？5

位函數滿足的方程和邊界條件由達朗貝爾方程靜電場6由和

設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離⊿l→0時媒質2媒質17

位函數的計算已知電荷分布已知電場分布8對于連續的體分布電荷，由面電荷的電位：

故得點電荷的電位：線電荷的電位：9解決定解問題：

例：兩塊無限大接地導體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。obaxy兩塊無限大平行板10已知電場分布兩端點乘，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得P、Q兩點間的電位差電場力對單位正電荷做的功11

例:

求均勻電場的電位分布。12電容器廣泛應用于電子設備的電路中：在電子電路中，利用電容器來實現濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用；通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜電路；在電力系統中，可利用電容器來改善系統的功率因數，以減少電能的損失和提高電氣設備的利用率；

導體系統的電容與部分電容13

電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統儲存電荷能力的物理量。

孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即

電容

孤立導體的電容

兩個帶等量異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。14(3)由 ，求出兩導體間的電位差；

(4)求比值，即得出所求電容。(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和-q；

(2)計算兩導體間的電場強度E；

計算電容的步驟：15

例：同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數為ε的均勻介質。求此球形電容器的電容。

例:如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

例：同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為為b，內外導體間填充的介電常數為的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。同軸線16

多導體系統1、電位系數2、電容系數3、部分電容

在多導體系統中，任何兩個導體間的電壓都要受到其余導體上的電荷的影響。因此，研究多導體系統時，必須把電容的概念加以推廣，引入部分電容的概念。17電位系數——自電位系數——互電位系數18

αij只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；

具有對稱性，即αij=αji。

αij>

0；

電位系數的特點：19若已知各導體的電位，則各導體的電量可表示為

電容系數20

βij只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；

具有對稱性，即βij=βji。

βii>

0

、；21將各導體的電量表示為

式中：部分電容——導體i與導體j之間的部分電容——導體i與地之間的部分電容

22

Cij只與各導體的形狀、尺寸、相互位置以及導體周圍的介質參數有關，而與各導體的電位和帶電量無關；

具有對稱性，即Cij=Cji。

部分電容的特點：23

在多導體系統中，把其中任意兩個導體作為電容器的兩個電極，設在這兩個電極間加上電壓U，極板上所帶電荷分別為，則比值稱為這兩個導體間的等效輸入電容。等效電容如圖所示，有三個部分電容導線1和2間的等效電容為導線1和大地間的等效電容為導線2和大地間的等效電容為12大地大地上空的平行雙導線24

靜電場的能量

電場能量密度：

電場的總能量：

靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。

用電荷分布表示電場能量？用于多導體帶電系統適用條件？25——

第i個導體的電位式中：——

第i個導體所帶的電荷所有電荷產生的電位對于兩個導體：自能自能相互作用能26點電荷系統的能量——

第i個點電荷所在位置ri處的電位——

第i個點電荷的電量除以外的其余點電荷產生的電位27

例：半徑為a的球形空間內均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算

方法二：利用計算

28

恒定電場與恒定磁場

恒定場問題：■導電媒質中的恒定電（流）場由麥氏方程組：恒定電場恒定磁場29導電媒質中存在恒定電流分布邊界條件?導電媒質中的恒定電場基本方程恒定電場的場量：E和J將在空間的分布作為一個矢量場——恒定電流場為維持該恒定電流分布，必須存在恒定的電場——恒定電場與區域的靜電場比較30媒質2媒質1媒質2媒質1

如2>>σ1、且2≠90°，則1＝0，即電場線近似垂直于與良導體表面。此時，良導體表面可近似地看作為等位面；

若媒質1為理想介質，即1＝0，則

J1=0，故J2n=0且

E2n=0，即導體中的電流和電場與分界面平行。媒質2媒質1電力線與良導體表面不垂直31媒質2媒質1

如媒質2為導體，則即電場線垂直于導體表面。此時，導體表面為等位面；媒質2媒質1對于靜電場32(1)即導體內有電荷流動,恒定電場與靜電場重要區別：(2)恒定電場同時存在于導體內部和外部，在導體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導體表面，因而導體表面不是等位面；（3）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補充被損耗的電場能量。33由由由引入電位電位滿足的方程電位滿足的邊界條件恒定電場的電位關于在恒定電場中的34●均勻導體內不會出現電荷堆積；●對于分塊均勻的導體，電荷只能分布在分界面上。？導體內的電荷分布●恒定電場的源？35——駐立電荷電源中的非靜電力產生，分布不變的動態面電荷36

例一個有兩層介質的平行板電容器，其參數分別為1、1和2、2，外加電壓U。求分界面上的面電荷密度。37

例填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為a，外導體半徑為c，介質的分界面半徑為b。兩層介質的介電常數為1和2

、電導率為

1和2

。設內導體的電壓為U0

，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上的電荷面密度。外導體內導體介質2介質138

工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導率遠遠小于金屬材料的電導率，但畢竟不為零，因而當在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導，即其倒數稱為絕緣電阻，即漏電導39

例求同軸電纜的絕緣電阻。設內外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質的電導率為σ、介電常數為ε。電導絕緣電阻則設由內導體流向外導體的電流為I。40環形導電媒質塊r1hr20σ●設在沿方向的兩電極之間外加電壓U0

●設在沿

方向的兩電極之間外加電壓U0●設在沿z方向的兩電極之間外加電壓U041環形導電媒質塊r1hr20σ沿方向的兩電極之間外加電壓U0

沿

方向的兩電極之間外加電壓U0沿z方向的兩電極之間外加電壓U0？42恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區域）本構關系位函數邊界條件恒定電場（電源外）對應物理量靜電場恒定電場43

恒定磁場基本方程基本方程邊界條件本構關系恒定磁場的矢量磁位矢量磁位的引入矢量磁位的不確定性和規范條件矢量磁位滿足的方程矢量磁位的邊界條件？已知電流分布計算矢量磁位？44矢量磁位的邊界條件45對于面電流和線電流分布？已知電流分布計算矢量磁位由46

例求小圓環電流回路的遠區矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I。

解如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與無關，計算xz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環電流aIxzyrRθIP細線電流：47對于遠區，有r>>a

，所以由于在=0面上

，所以上式可寫成于是得到48式中S=πa2是小圓環的面積。

載流小圓環可看作為磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或

49恒定磁場的標量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標量位函數來描述磁場。

標量磁位的引入標量磁位或磁標位

磁標位的微分方程將代入——等效磁荷體密度50

標量磁位的邊界條件？在線性、各向同性的均勻媒質中或——

等效磁荷面密度51IH0H1H252靜電位 磁標位

磁標位與靜電位的比較靜電位0

P磁標位

m

0

m531.磁通與磁鏈

電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量N匝線圈形成的導線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細回路磁力線套住的電流回路的電流CI細回路II54CI粗回路

粗導線構成的回路，磁通分為兩部分：一部分是粗導線(全部電流）包圍的、磁力線不穿過導體的外磁通量

；另一部分是磁力線穿過導體、只有粗導線的一部分(部分電流）包圍的內磁通量。55

設回路C中的電流為I，所產生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關系，其比值稱為回路C的自感系數，簡稱自感。——外自感

自感——內自感；粗導體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質有關，與電流無關。

自感的特點：56則故單位長度的外自感為

例求同軸線單位長度的自感。設內導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。

解：內、外導體間的外自感。設同軸線中的電流為I，由安培環路定理57

求內導體的內自感。設同軸線中的電流為I，由安培環路定理與dΦi交鏈的電流為與dΦi對應的磁鏈為58因此內導體中總的內磁鏈為故單位長度的內自感為單位長度的總自感為59

例計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設導線的半徑為a，兩導線的間距為D，且D>>a。導線及周圍媒質的磁導率為μ0。PII60稱為回路C1對回路C2的互感系數，簡稱互感。

互感同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro61

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質有關，而與電流無關。

滿足互易關系，即M12=M21

當與回路交鏈的互感磁通與自感磁通具有相同的符號時，互感系數M為正值；反之，則互感系數M為負值。

互感的特點：62

紐曼公式

如圖所示的兩個回路C1和回路C2

，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點產生的矢量磁位回路C1中的電流I1產生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro故得同理紐曼公式63長直導線與三角形回路

例如圖所示，長直導線與三角形（矩形）導體回路共面，求它們之間的互感。長直導線與矩形形回路64長直導線與矩形回路65

恒定磁場的能量

磁場能量密度：

磁場的總能量：

用電流分布表示磁場能量？適用條件？66回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能兩個電流回路12一個電流回路?67

例

同軸電纜的內導體半徑為a，外導體的內、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環路定律，得68三個區域單位長度內的磁場能量分別為69單位長度內總的磁場能量為單位長度的總自感內導體的內自感內外導體間的外自感外導體的內自感70靜態場的邊值問題及解的惟一性定理

邊值問題的類型

已知場域邊界面上的位函數值，即

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數的泊松方程或拉普拉斯方程

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數的法向導數值，即

已知場域一部分邊界面上的位函數值，而另一部分邊界面上則已知位函數的法向導數值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）71

在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一值。惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態場邊值問題具有惟一解的條件為靜態場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據為求解結果的正確性提供了判據

惟一性定理的表述

惟一性定理的證明？7272qq′非均勻感應面電荷等效電荷

當有電荷存在于導體或介質表面附近時，導體和介質表面會出現感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。

接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。鏡像法7373接地導體球附近有一個點電荷，如圖接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應電荷q′等效電荷

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代74

鏡像法的原理

鏡像法的理論基礎——解的惟一性定理

個數、位置及其電量大小

鏡像法應用的關鍵點確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場域”。

鏡像電荷的確定：

像電荷必須位于所求解的場區域以外的空間中；

像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區域的邊界條件來確定。方法：在求解域外設置等效電荷，集中代表邊界上分布電荷的作用目的：使復雜邊值問題，化為無限大單一媒質空間的問題751.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結果是正確的。

接地導體平面的鏡像鏡像電荷電位函數因z=0時，q有效區域q76有效區域2.線電荷對無限大接地導體平面的鏡像上半空間(z≥0）的電位函數？導體平面上的感應電荷密度為？導體平面上的總感應電荷為？773.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像

如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1：對于平面2：電位函數qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1其中+q、-q各為多少個？78

例一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？。q'qx=∞0d-d79

導體球面的鏡像1.點電荷對接地導體球面的鏡像方法：利用導體球面上電位為零確定

和q′。PqarRdqPaq'rR'Rdd'80像電荷的位置像電荷的電量球外的電位函數?導體球面上的總感應電荷為?球面上的感應電荷面密度?？？qPaq'aR'Rdd'812.點電荷對接地空心導體球殼的鏡像

如圖所示接地空心導體球殼的內半徑為a

、外半徑為b，點電荷q位于球殼內，與球心相距為d(d<a)。

由于球殼接地，感應電荷分布在球殼的內表面上。

|q‘|>|q|像電荷的位置和電量與外半徑b無關。?aqdobq'rR'Raqdod'球內的電位函數?導體球面上的總感應電荷為?球內表面上的感應電荷面密度?823.點電荷對不接地導體球的鏡像

導體球不接地時的特點：

導體球面是電位不為零的等位面

球面上既有感應負電荷分布也有感應正電荷分布，但總的感應電荷為零

點電荷q位于一個半徑為a的不接地導體球外，距球心為d。PqarRd83

而原問要求r=a的球面總電荷為零。將電荷－q’加于r=a的球面上，從而使總電荷為零。為保持導體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即球外任意點的電位為qPaq'rR'Rdd'q"

先在d’放置q’

r=a的球面電位為零，有總電荷量為q'的感應電荷分布84PqarRdUPqarRdQaqQbQqaboo'd85qdha86

導體圓柱面的鏡像圖1線電荷與導體圓柱圖2線電荷與導體圓柱的鏡像1.線電荷對接地導體圓柱面的鏡像導體圓柱面外的電位函數?導體圓柱面上的感應電荷面密度?導體圓柱面上單位長度的感應電荷?87由于導體圓柱接地，所以當時，電位應為零，即

設鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產生的電位函數

線電荷與導體圓柱的鏡像RR’88上式對任意的都成立，因此，將上式對求導，可以得到比較